1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 52

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 52)

Так, если Н состоит из диагональных невырожденных матриц (. ,) Ь, О Х г о а К состоит из трех матриц: ( 1, ), ее квадрата ( О) -1 — 1 Х /! Ох ) и ее куба ! О 1), то НК состоит из матр!щ вида сгл. х ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП 252 ( „'), ( ' ' ) и ( ' ). Объединение этих трех множеств матриц не образует группы, ибо при Ьс чь Ьз матрица ь ь) ( ь о) (ьь ь ьь) не входит в это множество, Теорема 6 (вторая теорема о гомоморфизме). Пусть Н и К— подгруппы группы б, причем Н вЂ” нормальная подгруппа.

Тогда НК/Н изоморфна К/КДН. Доказательство. Рассмотрим какой-либо гомоморфизм ср группы б на группу 5 с ядром Н, например, естественный гомоморфизм 6 на б/Н. Образы элементов подгруппы К составят, очевидно, некоторую иодгрушсу Р группы 5, являющуюся гомоморфным образом К при отображении чс', совпадающем с ср на К. Ядром отображения ср' является, очевидно, пересечение К() Н группы К с ядром Н гомоморфизма ср, Поэтому Р и»аморфна К/КД Н. С другой стороны, если г ен Р является образом элемента с ~К, то полный прообраз чс-с(г) есть смежный класс Нс, и обьединение всех этих прообразов есть подгруппа НК группы б. Поэтому образ НК при гомоморфизме ср снова совпадает с Р и, так как ядро Н гомоморфизма ср содержится в группе НК, группа Р изоморфна НК/Н.

Отсюда уже следует, что факторгруппы К/К() Н и НК/Н изоморфны, что и требовалось доказать. 4. Подгруппы факторгруппы. Пусть Н вЂ” нормальная подгруппа группы 6 и К вЂ” какая-либо промежуточная подгруппа, т. е. 6:»К:» Н. Тогда Н есть нормальная подгруппа для К и фактор- группа К/Н имеет смысл. Ясно, что К/Н есть подгруппа группы б/Н. Если же задана некоторая подгруппа /. факторгруппы 6/Н, то, «рассьспав на элементы 6> классы смежности, из которых составлена Е (точнее — построив объединение элементов, составляющих классы смежности, из которых состоит Е), мы получим множество К элементов группы 6, которое, очевидно, будет подгруппой группы б и К/Н = /. Таким образом, между подгруппами факторгруппы б/Н и промежуточными между 6 и Н подгруппами имеется естественное взаимно однозначное соответствие.

б. Третья теорема о гомоморфизме. Теорема 7. Пусть имеются два гомоморфизма Чзс и срз группьс 6 на группы 5с и 5», причем ядро срз содержит ядро срс. Тогда суи(ествует гомоморфизм срз группы 5с на группу 5з такой, что срзсрс = срз (т. е. срз(срс (а) ) = срз(а) при любом а ен 6), Переформулируем эту теорему в понятиях и терминах, имеющих широкое применение в некоторых разделах современной гомомоРФизм алгебры. Изобразим эпиморфизмы ф1 и фз стрелками: Т А Получится рисунок, называющийся диаграммой с отображениями. В теореме утверждается, что если ядро ф1 содержится в ядре фз, то существует эпиморфизм фз группы Зз на 5» такой, что В терминах диаграмм это означает, что исходную диаграмму можно замкнуть эпиморфизмом фз, т. е. перейти к диа.

грамме, причем так, что получившаяся диаграмма будет коммугатавной, т. е. при «движении» из 6 в Яз по стрелке фз и по составному пути, состоящему из стрелок ф1 и фз, будет получаться одинаковый результат. Употребление коммутативных диаграмм очень облегчает рассуждения в ситуациях, где одновременно рассматривается много отображений (в частности, гомоморфизмов).

В нашей достаточно простой ситуации в использовании языка диаграмм необходимости нет. Доказательство теоремы. Возьмем любой элемент геи51 и любой его прообраз а ~ 6. Все прообразы элемента г отличаются множителями из ядра ф1 и, так как ядро ф1 содержится в ядре фз, их образы в Яз будут совпадать с фз(а).

Таким образом, мы построили отображение 81 в Бз. Обозначим его через фз, т. е. положим фз(г)=фз(а). Ввиду того, что любой элемент а ен 6 является прообразом некоторого г = ф,(а) ен Зь мы видим, что фз(а)=фз(ф~(а)), так что фзф~ = фз. Произведению г~гз элементов из Яз соответствует произведение а~аз их прообразов с точностью до множителей из ядра фь содержащегося в ядре фз, так что фз(г~гз)=фз(а1аз)= фз(а~)фз(аг)=фз(г~)фз(гз), т. е. фз есть гомоморфнзм 51 в Яз. Наконец, любой элемент у из Яз есть образ фз(а) некоторого элемента из 6, и а, в свою очередь, есть прообраз некоторого г~5ь Поэтому любой элемент у~8» есть фз(г)' при г еи Яь так что фз есть гомоморфизм 81 иа Зз, т. е.

эпиморфизм. Теорема доказана. (Рассуждения, составившие доказательство теоремы, удобно проследить на диаграмме.) Пусть теперь фз и фз — естественные гомоморфизмы группы 6 на факторгруппы 6/Н~ и 6/Нз, причем Нз-з Нь Тогда фз из тео. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП [гл. х ремы б есть гомоморфизм 6/Н~ на О/Н,. Ясно, что его ядром является Н,/Н,. Поэтому верна следующая теорема.

Теорема В. Пусть 6:зН»~НН где Н, и Нг — нормальные подгруппы в группе 6. Тогда Нг/Н1 есть нормальная подгруппа еруппы 6/Н, и (О/Н1)/(Н,/Н,) изоморфна 6/Нм Разумеется, теорему В нетрудно доказать н непосредственно, исходя из рассмотрения классов смежности, из которых составлены упомянутые в условии факторгруппы, Теорему 7 можно рассматривать также как следующее свойство «универсальности» факторгруппы. Пусть Н вЂ” нормальная подгруппа группы 6.

Тогда любой образ 0 при гомоморфизме, прн котором элементы группы Н отображаются в единицу, является гомоморфным образом группы 6/Н, Для того чтобы в этом убедиться, достаточно положить, что ~р1 есть естественный гомоморфизм 6 на 6/Н и ~г — какой-то гомоморфизм, при котором элементы Н отображаются в единицу. Тогда ядро ~рг содержит Н, т. е. ядро пч, н по теореме 7 образ Ч~г есть гомоморфный образ фактор- группы 6/Н. 6. Наименьшая подгруппа, содержащая данное множество элементов. П р е д л о ж е н и е 9. Пусть дана группа 6 и некоторое множество 5 ее элементов.

Тогда существует наименьшая подгруппа еруппы 6, содержащая множество 5 (т. е. содержащпяся во всякой другой подгруппе, содержащей 5). Мы дадим два доказательства этого предложения. ! - е д о к а з а т е л ь с т в о. Из свойств, характеризующих подгруппу (предложение б из Ч 1), ясно, что пересечение любого множества подгрупп группы 0 есть подгруппа группы 6. Рассмотрим множество всех подгрупп, содержащих 5.

Оно непусто, так как ему принадлежит сама группа 6. Пересечение всех подгрупп этого множества является подгруппой. Она содержит 5 и содержится в любой подгруппе, содержащей 5. 2-е доказател ьство. Рассмотрим множество Т = 5() 5-'. Множество Т содержит 5 и вместе с каждым своим элементом содержит его обратный. Пусть Н есть множество всех (конечных, разумеется) произведений а~а, ... аь элементов множества Т.

Ясно, что произведение двух элементов из Н снова принадлежит Н и элемент, обратный к элементу а|а» ... аь из Н, тоже принадлежит Н, ибо(а,а, ... а„) '=а;,' ... а а а множество Т вместе с каждым элементом содержит обратный. Таким образом, Н есть подгруппа группы 6. Далее, Н содержит 5, ибо среди его элементов имеются все «одноэлементные произведения» ага Т, в частности, элементы из 5. Наионец, любая подгруппа, содержащая 5, содержит и множество обратных элементов 5 — ', тем самым и множество Т и все произведения, составленные из элементов Т, т. е. всю подгруппу Н. Гомомогеизм Возможно, что наименьшая подгруппа, содержащая множество 5, есть вся группа 6.

В этом случае говорят, что множество 5 порождает группу б и элементы множества 5 называются порождающими 6 или образующими. Так, циклическая группа поро>кдается одним элементом. Нетрудно видеть, что для симметрической группы 5„ всех подстановок п элементов можно взять две образующих — транспозицию а = (1, 2) и круговую подстановку г1 2 З...пх 4 г! всех элементов.

Действительно, г'от=(2, 3), т '(2, 3)т =(3, 4) и т. д. Таким образом, в группе, порожденной подстановками а и т, содержатся все транспозиции соседних элементов, следовательно, и все транспозиции и все подстановки. Группа, которая порождается конечным множеством образующих, называется конечно порожденной.

Класс конечно порожденных групп довольно обширен, и в него входят, очевидно, все конечные группы. 7. Наименьшая нормальная подгруппа, содержащая данное множество элементов. Предложение 1О. Пусть дана группа 0 и некоторое мно;.с.;тво 5 ее элементов. Тогда существует наименьшая нормальная подгруппа группы 6, содержащая множество 5. Д о к а з а т е л ь с т в о.

Рассмотрим множество Т = 5 () 5-' и множество У, состоящее из всех элементов Т и всех с ними сопряженных в б. Множество У содержит вместе с каждым элементом обратный и все с ним сопряженные, ибо (с-'ас)-' = с-'а-'с и с (с ас,)с,=(с,с,) а(с,с,). Пусть Н есть множество всех произведений а,аг ... а» элементов множества У. Тогда Н есть подгруппа труппы 6 и, более того, нормальная подгруппа, ибо при любом с~ б будет с-!(а!аг... а,)с =(с-'а!с) (с-!а»с) ... (с-'а»с). Конечно, Н содержит 5.

Далее, каждая нормальная подгруппа, содержащая 5, должна содержать все обратные элементы к элементам 5, все сопряженные в 6 с элементами из 5 и с обратными к ним элементами н все их произведения, т. е. всю группу Н. Таким образом, Н есть наименьшая из нормальных подгрупп группы 6, содержащих множество 5. Предложение 10 можно было доказать аналогично первому доказательству предложения 9.

Характеристики

Список файлов лекций