1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 55

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 55)

Тогда, чтобы получить подстановку т-'ат, нужно сделать подстановку т в каждол! цикле подстановки о. Доказательство. Пусть о=(ао а!, ..., а»-!) (Ьо Ь! "°, Ь„,) ... (со сь ..., ср !), т»» =( ао а! '" а»-! Ьо Ь! "' Ь -! "' "о о! " ор-! » р » / / ао а! "° а»-! Ьо Ь! " Ьт-! ... со р! " ор-! Тогда »» / Р / ао а!...а» ! Ьо Ь|...Ь !...оо с!...ср т о,ао а!" а» ! Ьо Ь!" Ь, !-"оо о!" рр ! Проследим за действием подстановки т-'от на элементы а,'„а„..., ае, н т. д. Подстановка т-' переводит а', в ао, а переводит ао в аь т переводит а, в а,. Следовательно, т-!ат переводит а' в ан ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП 1ГЛ Х Таким же образом прослеживается судьба элемента а',. Он сперва переходит в аь затем а~ в аз и ат в а', так что а', переходит в а',. Наконец, и'„, переходит в а» ь аг ~ в а1 и а, в а'„так что цикл (а', а'„..., а',) замыкается.

То же самое происходит и с остальными циклами, так что г 'от = (а', а'„..., а'„,) (Ь', ЬР ..., Ь',) ... (с', с'„..., с',). Отсюда следует Теорема 3. Для того чтобы две подстановки были сопряжены в симметрической группе, необходимо и достаточно, чтобы они имели разложения на циклы одинаковых порядков. Необходимость непосредственно следует нз предложения 2. Достаточность — нз того, что в симметрической группе существуют подстановки, переводящие любое расположение элементов в любое другое. В силу этой теоремы число классов сопряженных элементов в симметрической группе 5„равно числу разбиения числа и на слагаемые, порядок которых безразличен.

Так, число 5 допускает разбиения 5= 5, 5=4+1, 5=3+2, 5=3+1+1, 5=2+ 2+ 1, 5 = 2+ 1+ 1+ 1 и 5 = 1+ 1+ 1+ 1+ 1. Поэтому в группе 5з имеется 7 классов сопряженных элементов. 5. Примеры из геометрии. Пусть М вЂ” множество точек на плоскости и 6 — группа всех движений плоскости, Стабилизатором точки является группа вращений вокруг этой точки. Между точками плоскости и левыми классами смежности группы всех движений по группе вращений вокруг точки имеется нзоморфное соответствие. Элементарная геометрия изучает свойства геометрических фигур, остающиеся неизменными при движениях.

Одно из основных понятий геометрии — расстояние между двумя точками — можно рассматривать как инвариантную величину, связывающую пару классов смежности полной группы движений плоскости по подгруппе вращений. Можно сказать, что пара групп 6:з Н определяет некоторую геометрию, в которой точиами являются левые классы смежности 6 по Н, а движениями — правые умножения классов смежности на элементы из 6. Взгляд на геометрию с точки зрения теории групп был развит немецким математиком Ф. Клейном в конце 19-го века.

Геометрия Лобачевского укладывается в эту схему следующим образом. Рассматривается группа дробно линейных преобразований е Р— комплексных чисел, где и, 5, у, 5 — вещественные ы+е Те+ Ь коэффициенты, удовлетворяющие зависимости иб — 57=1 Вер». няя иолуплоскость оказывается однородным пространством для ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП зев [ГЛ Х называемую централизатором элемента а. В силу п. 3 элементы класса сопряженных с а элементов находятся во взаимно однозначном соответствии с левыми классами смежности группы 6 по централизатору элемента а. В частности, если класс сопряженных элементов конечен, то число составляюгпих его элементов равно индексу централизатора любого элемента из этого класса.

Термин «централизатор» элемента а связан с тем, что централизатор а является наибольшей подгруппой, содержащей а в своем центре. Элементы группы 6 можно рассматривать как действующие на множестве всех подгрупп группы О в виде соответствующих внутренних автоморфизмов: Н- з-'Не. В этой ситуации орбитами будут классы сопряженных подгрупп. Стабилизатором для подгруппы Н является множество всех таких з~ О, что е-'Нз = Н. Этот стабилизатор носит название нормализатора группы Н, ибо он является максимальной подгруппой, для которой Н является нормальной подгрушюй. Отсюда следует, что между сопряженными с группой Н подгруппами и левыми классами смежности группы О по нормализатору Н имеется взаимно однозначное соответствие, осуществляющее изоморфизм между однородными пространствами, состоящими из сопряженных с Н подгрупп, и классами смежности по нормализатору.

7. Центр р-группы. Конечная группа называется р-группой, если ее порядок есть степень простого числа р. Ясно, что все подгруппы р-группы являются р-группами и индекс любой подгруппы в р-группе равен некоторой степени р. Разобьем р-группу 6 порядка р" на классы сопряженных элементов.

Среди классов будут одноэлемейтные, образованные элементами центра, причем их число не меньше 1, ибо единица группы образует одноэлементный класс. Пусть число элементов центра равно й Все элементы, не принадлежащие центру, порождают классы сопряженных, содержащие больше одного элемента. Пусть эти классы Сь Сь ..., С». Число элементов в каждом таком классе есть индекс централизатора любого элемента класса и, следовательно, является степенью р'" с большим нуля показате- ЛЕМ ГП. Пусть число элементов в классе С; равно р"", пи ) О.

Подсчет числа элементов группы 6 как суммы чисел элементов во всех классах сопряженных дает р" =1+ р"ч + р" + " + р '. Из этого равенства заключаем, что 1 делится на р, и, так как 1,м 1, будет 1) р. Таким образом, мы доказали, что любая конечная р-группа имеет нетривиальный центр. Конечно, порядок 1 центра равен степени р. 8. Преобразования. Взаимно однозначное отображение множества М на себя называется его преобразованием.

Тождествен- ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИИ ное или единичное преобразование заключается в том, что каждый элемент отображается на себя. Последовательное осуществление двух преобразований равносильно третьему преобразованию, называемому их произведением. Умножение преобразований (в указанном смысле), очевидно, ассоциативно. Для каждого преобразования существует обратное, в силу взаимной однозначности преобразований.

Для конечных множеств преобразования называются подстановками, и мы уже встречались с группой всех подстановок конечного множества — так называемой симметрической группой. Для бесконечных множеств группы всех преобразований совершенно необозримы, и рассматриваемые в математике группы преобразований выделяются посредством тех или иных достаточно сильных ограничений, связанных с особенностями строения рассматриваемых множеств.

Гомоморфнос отображенис группы 6 в группу преобразований некоторого множества называется представлением группы О посредством преобразований. Множество М, преобразованиями которого представляется группа 6, становится О-множеством, если каждому элементу О сопоставить в качестве действия на элементы М соответствующее ему в силу гомоморфизма преобразование.

В свою очередь, каждое О-множество М задает представление группы О преобразованиями. Множество преобразований 6-множества М, вызванных действиями элементов О на М, не обязано быть группой, изоморфной 6. Оно, вообще говоря, является лишь гомоморфным образом группы О. Ядром гомоморфизма является множество всех элементов 6, вызывающих тождественное преобразование М, т. е. пересечение стабилизаторов всех точек.

Следовательно, пересечение стабилизаторов всех точек есть нормальная подгруппа группы О, и группа преобразований, вызванных элементами 6 на 6-множестве М, изоморфна факторгруппе 6 по пересечению стабилизаторов всех точек множества М. Если пересечение стабилизаторов состоит только из 1, то представление группы 6 преобразованиями 6-множества М будет точнылк т. е.

группа 6 будет изоморфна группе вызванных ее элементами преобразований множества М. Если О-множество М есть однородное пространство, то стабилизаторами его точек являются все подгруппы, сопряженные со стабплнзатором О одной из точек. В этом случае группа преобразований М, вызванных элементами группы 6, изоморфна фактор- группе 6 по пересечению группы О со всеми сопряженными.

9. Автоморфизмы группы. Мы чже упоминали, что автоморфизмами группы называются изоморфные отображения группы 6 на себя, Среди автоморфизмов мы выделили внутренние автоморфнзмы, вызываемые преобразованиями сопряжения посредством элементов группы. Предложение 4. Внутренние автоморфизмы образуют нормальную подгруппу группы всех автоморфизмов. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП !ГЛ Х Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем обозначать автоморфизмы как правые операторы в показателе, внутренний автоморфизм, вызванный сопряжением посредством элемента г, обозначим а,.

Нужно доказать, что при любом автоморфизме а автоморфизм а — 'а,а есть тоже внутренний автоморфизм. Применим автоморфизм и-'и,а к произвольному элементу а группы. Получим: (г-1 (аа ) г) В силу того, что а — автоморфизм, это выражение равно 1 а (г') (а' ) га=(г ) аг", так что а 'а,а есть внутренний автоморфизм посредством элемента г", Факторгруппа группы всех автоморфизмов группы но подгруппе внутренних автоморфизмов называется группой внешних автоморфизмов. П р е дл о ж е н и е 5. Группа внутренних автоморфизмов группы 6 изоморфни факторгруппе группы 6 по ее центру.

Характеристики

Список файлов лекций