1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 64

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 64)

П р е д л о ж е н и е 7. Пусть ин ..., и — линейно независимая совокупность векторов, при«ель их число меньше размерности пространства. Тогди к ним можно присоединить вектор и ы так, что совокупность иь ..., и~, и и останется линейно независимой. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим множество линейных комбинаций с1и~+ ... + с.,и„. Оно нс исчерпывает всего пространства, ибо ин ..., и„ие составляют порождающую совокупность векторов, Возьмем вектор, не являющийся линейной комбинацией иь ..., и„.

Тогда ин ..., и, и„»1 — линейно независимая сово- ввктоеныв пгостгхнствд 304 ггл, хи купность, так как иначе и +1 был бы линейной комбинацией векторов иь ..., и, в силу предложения 2, Из предложения 7 следует, что любую линейно независимую совокупность векторов можно дополнить до базиса. Это же предложение и его доказательство указывают на характер произвола в выборе базиса. Действительно, если взять произвольной ненулевой вектор, то его можно достраивать до базиса, взяв второй вектор как угодно, только не линейную комбинацию первого, третий как угодно, только не линейную комбинацию первых двух, и т. д.

К базису можно «спуститься>, исходя из произвольной порождающей совокупности. Предложение 8. Любая порождаюи4ая совокупность векторов содержит базис. Действительно, пусть иь им ..., и„, — порождающая совокупность векторов. Если она линейно зависима, то один из ее векторов есть линейная комбинация остальных, и его можно исключить нэ порождающей совокупности. Если оставшиеся векторы линейно зависимы, то можно исклкзчить еще один вектор, и т. д., до тех пор пока нс останется линейно независимая порождающая совокупность, т, е. базис. 3.

Координаты вектора. Пусть еь ..., е, — базис и-мерного пространства 5 над полем К и х — произвольный вектор этого пространства. Тогда х есть линейная комбинация еь ..., е„: х = х~е1 + хзез + ... + х„е, прн х;~К. Такое представление единственно. Действительно, если х = =х',е, + х.',е,+ ... + х'„е„, то (х', — х,) е, +(х,'— х,)е + ... +(х'„— х„)е„=О, и, в силу линейной независимость базиса, х,' — х, =х' — х,= ... ... =х — х =О, т. е. > « / / х,=х„х,=хм ..., Х„=х„. Коэффициенты хь хм ..., х„называются координатами вектора х.

Координаты вектора будем представлять себе в виде столбца. Два векторных пространства над одним и тем же полем называются изоморгрными, если между их элементами имеется взаимно однозначное соответствие (изоморфизм), сохраняющее линейные комбинации. Из определения ясно, что образ при нзоморфизме линейно зависимой совокупности векторов будет линейно зависимой совокупяостью, образ линейно независимой совокупности будет линейно независимой совокупностью, образ порождающей совокупности будет порождающей совокупностью, и, следовательно, ОПРЕДЕЛЕИИЯ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА 305 % и (я сознательно применил необычную индексацию: здесь в матрице коэффициентов второй индекс обозначает номер строки и пер.

вый — номер столбца). Матрица и с„си ... с„, си! си ° °, слг называется магриаей замены базиса е„е.„..., е„на е'„е'„..., е'. В свою рчередь, векторы исходного базиса выражаются через векторы нового: е, = Ьие', + Ь„е,' + ...

+ Ь„,е', е =Ь„е', + Ь,е'+ ... +Ь„,е', е„ = Ь,„е, + Ь „е' + ... Подставив в эти формулы вместо еи через еь ег, ..., е., получим: е, = !(Пе! + !Аг!ег + ... ег — — !(„е! + аггег + + Ь„„е'„. с е„..., е„их выражения + !г„!е, + С(сгсс> е„=с(г„е!+ !тг„ег+ ... +а!,„е„, образом базиса будет базис. Таким образом, изоморфные конечно- мерные пространства имеют одинаковую размерность. Сопоставление каждому вектору а-мерного пространства 8 столбца из его координат по отношению к некоторому базису осуществляет изоморфизм пространства 5' и пространства столбцов с элементами из г(.

Действительно, это сопоставление взаимно однозначно и сохраняет линейные комбинации. Именно, если вектор х имеет координатный столбец (х!, хг, ..., х,)' и у — столбец (у!,у,, ..., у„)т, то х=х~е!+хгег+ ... +х„е„, у=у,е!+ +у е+... +у,е, и с!х+ с у=(с!х!+сгу!)е!+(с х+сгу,)ег+... ... + (с!х + сгу,)е, т, е. столбец нз координат вектора с!х+ с,у есть линейная комбинация с коэффициентами с, и сг столбцов из координат векторов х и у. 4. Замена базиса и преобразование координат. Пусть в пространстве 3 наряду с исходным базисом е!, ..., е„ рассматривается другой базис е,', е', ..., е'„. Векторы, составляющие этот базис, выражаются через векторы исходного базиса линейно, с коэффициентами из основного поля: е, =сне, + сме, + ...

+ с„,е„, ег = с!ге! + Сжег + ° ° ° + с е, ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [Гл. хн где матрица В силу линейной независимости системы базисных векторов заключаем, что дп = ам = ... =д„,=1 и дп = 0 пРи 1Ф1'. , лп, лл| Х Следовательно, ~ . ~ — единичная матрица, а матрицы и|» "° Плл ( ) ( ) со ... сл|; Ь|| ° Ьл| . ~ и ~....

) взаимно обратные, и потому каждая .......лл Ь!л ... Ьлл из них невырожденна. Выясним теперь, как изменяются координаты векторов при замене базиса. С этой целью обратимся к координатной записи векторов. Формулы (1) в координатах означают, что в базисе еь ем ..., е. вектор е', имеет координатный столбец (сп, см, ... ..., сл,)т, вектор е' — столбец (см, сет, ..., с т)т, ..., вектор е„' — столбец (с|л,схл, ..., с„л)т.

Пусть вектор х имеет координатный столбец (х|, х|ь ..., хл)т в базисе е|, е|ь ..., Сл и столбец (хн х', ..., х'„) — и базисе е'„е', ..., е'„. Тогда х=х',е', + х',е'+... ... + х'е''с Сравнивая координаты по отношению к базису еь с,...,, ел в левой и правой части последнего равенства, получим х, = снх', + с„х,' + ... + с,лх'„, У хт сих| + с ~хт + + стлхл С с„... с|л Матрица ~ ) называется матрингй преобразования сл| ° ° ° слл координат. Она транспонирована с матрицей замены базиса. Ее элементы являются коэффициентами в линейных выражениях исходных координат через новые. Обратная матрица дает выражения новых координат через старые.

Матрица, обратная к транспонированной для некоторой матрицы, называется контраградиентной с ней. Таким образом, матрица, дающая выражение новых координат через исходные, контраградиентна с матрицей замены базиса или, что то же самое, координаты вектора изменяются коптравариантно с векторами базиса, Легко видеть, что матрица, контраградиентная с произведением матриц, равна произведению контраградиентных в том же по- поппРОстРАнстВА рядке.

Действительно, ((А~А~ ° ° ° Аэ) ) =(Аа ° ° ° ЛгА~) =(Л~) (Аз) ... (Аь) Таким образом, .переход к контраградиентным есть автоморфизм в группе всех невырожденных матриц. $2. Подпространства 1. Определение и размерность. 77одпросгранством Р п-мерного пространства 5 называется множество векторов, образующих векторное пространство по отношению к действиям, которые определены в 5, Иными словами, подпространство есть множество векторов, содержащее вместе с любым конечным множеством векторов все нх линейные комбинации.

Подпространство п-мерного пространства конечномерно и его размерность не превосходит и. Действительно, любая линейно независимая совокупность векторов из Р будет линейно независимой и по отношению к 5, так что максимальное число линейно независимых векторов нз Р не превосходит и, т.

е. гДгп Р ( б1т 5. Если йгпР = б1гп 5 =и, то Р = 5. Действительно, в этой ситуации базис Р есть линейно независимая совокупность векторов, содержащая и элементов, т. е. она максимальна, базис Р есть вместе с тем базис 5, и следовательно, подпространство Р совпадает с 5. В любом пространстве 5 существуют два тривиальных подпространства — само 5 и нодпространство, состоящее только из нулевого вектора.

Прн п ) 1 имеются и нетривиальные подпространства. Строить их можно так. Взять любую конечную совокупность векторов иь ..., и и ввести в рассмотрение множество всех их линейных комбинаций с~и~ + ... + с и . Это множество, очевидно, есть подпространство. Его размерность равна пг, если иь ..., и линейно независимы, и меньше т, если они линейно зависимы. Поэтому в и-мерном пространстве существуют нетривиальные подпространства всех возможных размерностей, от 1 до и — 1. В силу предложения 7 предыдущего параграфа базис любого подпространства может быть дополнен до базиса всего пространства.

Характеристики

Список файлов лекций