1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Пусть е!, ..., е,— какой-либо базис 5 относительно кег,РР. Тогда векторы лсе!, ..., .Фе, образуют базис,Ф5. Действительно, эта совокупность векторов порождает ЛР5, ибо любой вектор из 5 есть линейная комбинация е!, ..., е, с точностью до слагаемого из кег,Ф, и поэтому любой вектор из .~Ф5 есть линейная комбинация .Ме!, ..., зтсе,. Вместе с тем векторы .яРе!, ..., лФе, линейно независимы, ибо из с!.Фе!+ ... + С„Фе, = О следует Ф(с!е!+ ... '.. + с,е,) = О, откуда с!е! +... + с,е, е= нег .Ф и г, = ...
=. с, = О в силу определения относительного базиса. Пусть е,+!, ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА игл. хн ..., е„— какой-либо базис йегФ. Тогда еь ..., е„,РП ..., е„ можно принять за базис пространства 5. В пространстве Т линейно независимую совокупность,Феь ..., Фе, дополним каким-либо образом до базиса Т. Обозначим я1 =,Феь ..., й', =.Фе, н через Я,еь ..., Аг — какие-либо вектоРы, дополнЯющие дь ..., н, до базиса Т. В выбранных базисах матрица оператора А есть: (', е, о„„, о,, о,,„,)' Здесь В,— еди~ичная гас-матрица, ОО»-г, О~-., ° и О~~-г, Р ° — ну- левые матрицы указанных размеров.
Полученному результату можно придать следующую форму на языке теории матриц. Ввиду того, что любую т,'к, л-матрнцу А можно принять за матрицу линейного оператора нз п-мерного про- странства 5 в гп-мерное пространство Т, для любой гп Х и-матрнцы можно найти тание невырожденные т Х т-матрицу В и и Х и-ма- трицу С, что В 'АС=(о о)' где г — ранг матрицы А. Это равенство можно переписать и так: А=В(о' о)СР где Со=С ~ег от -! Пусть В =(Вь Вз), где В1 — матрица, состоящая из первых г столбцов матрицы В, матрица Вз составлена из остальных т — г ГЕ~ х столбцов В. Соответственно, пусть С — — ( ), где С, составлена нз ~с,) первых г строк матрицы С,, а С, составлена из остальных и — г строк.
По правилу умножения матриц, разбитых на клетки, по- лучим А=(В1 Вт)(о о)(С )=(В О)(С )=ВСР Итак, мы получили, что любая тХп-матрица ранга г может быть представлена в виде произведения (и Х г-матрицы В~ на гХп-матрицу Сь Обе эти матрицы имеют ранг г, ибо у матрицы В~ столбцы линейно независимы, а у матрицы С1 — строки. 4. Линейные действвя над операторами. Пусть яг и Я вЂ” линейные операторы, действующие из п-мерного пространства 5 в т-мерное пространство Т. Определим линейную комбинацию операторов формулой (с~,Ф+ сзЯ)х = с1Фх+ стЯх. Ясно, что по отношению к этому действию операторы образуют векторное пространство. Выбор базисов в 5 и Т задает нзоморфизм пространства операторов н пространства т Х п-матриц.
Поэтому размерность пространства операторов равна тп. $ е! ЛННЕПНЫР ОПЕРАТОР!! В ЕЕКТОРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ з!т б. Умножение линейных отображений. Пусть даны три пространства 5н 5м 5» и даны линейные отображения: Я, отображающее 5! в 5з, и,Ф, отображающее 5! в 5». «Сквозное» отображение 5, в 5», т. е. отображение, действующее на векторы из 5! по формуле .Ф(Ях), называется произведением,~ФЯ отображений .М и Я.
Обращаю внимание на то, что первым действующим на х оказывается правый множитель, и затем на результат действует левый множитель. Такой порядок обусловлен левой записью: оператор расположен слева от объекта, к которому он применяется. Пусть в 5!, 5ь 5» выбраны базисы.
Пусть по отношению к этим базисам операторы,я» и Я имеют матрицы А и В, и пусть Х— столбец из координат вектора хек 5!. Тогда столбцом из координат вектора Ях будет ВХ и столбцом из координат вектора,ФЯх будет АВХ. Таким образом, произведению операторов соответствует, по отношению к выбранным базисам, произведение матриц.
Ясно, что для умножения операторов и взятия их линейных комбинаций верны соотношения билинейности: (с, Ф! + с,лй») Я = с!Ф!Я + с».ФЕЯ, .Ф(с,Я, + с,Я,) = с,ФЯ! + ЕЕ,ФЯ,. 6. Обращение невырожденных линейных отображений. Линейное отображение пространства 5 в пространство Т называется не- вырожденным, если образом,Ф является все пространство Т и ядро Ф состоит только из нуля, так что из равенства .Фх = О следует х = О. Невырождениое отображение взаимно однозначно, так что существует обратное отображение .Ф-!. Из линейности Ф следует линейность,Ф-!. Действительно, Ф-!(с!х+сеу) есть такой вектор еен5, что Фг= с!х+ с!у.
Пусть и=Ф х и О=.Ф у т. е. л»и=х, .Фп=у. Тогда з!Фа =с,Фи+ с,л»О =Ф(с!и+ с,о) и, следовательно, г — с!и — с!о = О, ибо ядро Ф состоит только из нуля. Итак,,я»-!(с х+ с!у) = с!и+ с!о = с!М вЂ” 'х+ с»Ф-!р. Линейность л»-! доказана, Из определения,Ф ясно, что л» Ф является единичным оператором на 5 и .ФФ-! есть единичный оператор на Т. % б. Линейные операторы в векторном пространстве 1. Матрица линейного оператора. В настоящем и следующих параграфах будут рассматриваться линейные операторы, действующие из векторного пространства 5 в себя. Пусть еь ..., е,— базис 5. Тогда оператору,М! соответствует матрица, составленная пз столбцов координат векторов Фе!, л»е„..., .~Фе, относительно базиса е!, е„..., е„, так что зта матрица квадратная. В отличие от ситуации, когда мы рассматривали линейные операторы действующие из пространства 5 в пространство Т, и мы имели возможность выбира ь базисы в каждом из этих пространств, здесь сво- 318 [гл хн ВекТОРНЫе пРОстглнствл бода в выборе базиса меньше, мы можем выбирать базис лишь в самом пространстве 5.
Матрицы преобразования координат В и С, независимо выбиравшиеся в ситуации $4, здесь совпадают, так что формула для изменения матрицы при преобразовании коОрдинат принимает вид А' = С-'АС. Здесь А — матрица оператора Ф, отнесенная к исходному базису, С--матрица преобразования координат и А' — матрица оператора зв в преобразованном базисе. Таким образом, при преобразовании координат матрица линейного оператора претерпевает преобразование подобия. Выше мы видели, что характеристический полипом бе((~Š— А) матрицы А не изменяется при преобразовании подобия.
Следовательно, характеристический полипом матрицы оператора зависит лишь от самого оператора и не зависит от выбора базиса пространства. Поэтому будем его называть характеристическим полиномом оператора. 2. Действия иад операторами. Векторное пространство над полем К, для элементов которого определено действие умножения, сопоставляющее упорядоченной паре векторов третий вектор, называемый их произведением, называется алгеброй над К, если выполнены соотношения билинейности произведения: (С1Х1 + СЕХЕ) Ц = С1Х1Ц + СЕХ2Ц, Х (С1Ц1 + С~ЦЕ) = С1ХЦ1 + С1ХЦ1. Таким образом, в алгебре соединяются структуры векторного пространства и кольца, согласованные свойствами билинейиости.
Алгебра называется ассоциативной, если действие умножения ассоциативно. Примером ассоциативной алгебры служит алгебра квадратных матриц с элементами из поля К. Операторы, действующие из 5 в 5, образуют, очевидно, алгебру, ибо они образуют векторное пространство и для ннх определено действие умножения, удовлетворяющее соотношениям билинейности.
Алгебра операторов ассоциативна. Роль единицы в ней играет единичный оператор 1Р, сопоставляющий каждому вектору самого себя. Оператор называется неэырождеиным, если его ядро состоит только из нуля или, что то же самое (в силу зависимости между размерностями ядра и образа), если 5 отображается на все 5. Для невырожденного оператора существует обратный.
Алгебра операторов из 5 в 5 изоморфна алгебре квадратных 11',к',л-матриц, где и = д1ш5. Иэоморфизм задается сопоставлением каждому оператору Ф его матрицы относительно некоторого фиксированного базиса. Единичному оператору прн этом соответствует единичная матрица, невырожденпым операторам— иевырожденные матрицы и взаимно обратным операторам — взаи м но о бр атиые матрицы. Для дальнейшего нам будут нужны значения полиномов от оператора. Именно, если [(~) = аз1" + ° ° ° + а»-1(+ а„ен К[([, то 3 и ЛИПЕИНЫЕ ОПКРАТОРЫ В ВЕКТОРНОМ ПРОСТРАНСТВВ зш ан ...
аы а, „ , ... а,„ -( А) вм " "»»». »+! " ' в»» »»ь»»~ . "»+ь» О ... О а»,, ... а»» /ен ". "и Матрица А~ —— ~ ° ° есть, очевидно, матрица опера- 'И ". '»» тора Ф на Р. Далее, Фе»+1 — а»+,,»+1е»+~+ ... + а»+1 „е„, (Р), Фе» е— м а,, »+~е»+1+ ... +а„„е„ так что правый нижний квадрат А» матрицы А есть матрица опе- ратора, индуцированного оператором се на фактопространстве 5/Р. П р едл о же н не 1. Характеристический полипом оператора .Ф, действующего в пространстве 5, делится на характеристиче- ский полинам оператора Ф на инвариантном подпространстве Р.
Частным от их деления является характеристический полипом опе- ратора, индуцированного оператором .Ф на факторпространстве 3/Р, положим 1(.Ф) = а,Ф»+ ... + а„~Ф+ а„д'. Ясно, что матрицей (по отношению к некоторому базису) оператора 1(.Ф) является 1(А), где А — матрица оператора Ф. 3. Инвариантные надпространства. Подпространство Р пространства 5, в котором действует оператор ,Ф, называется инвариантным относительно этого оператора, если для любого хев Р вектор я»х тоже принадлежит Р.
Таким образом, оператор,Ф отображает Р в Р, и, ограничив область определения оператора .Ф подпространством Р, мы получим оператор нз Р в Р. Для краткости, вместо того чтобы говорить об ограничении оператора .Ф на Р, скажем короче — оператор,Ф на Р. Далее, если х — = у "(Р), т. е. х — уен Р, то .Ф(х — у)е= Р, так что .Фх = .4у (Р). Таким образом, оператор .Ф сохраняет сравнимость по инвариантному подпространству, и тем самым действие оператора хФ естественно переносится на факторпространство. В результате на факторпространстве возникает оператор, нндуцированный оператором .Ф.
Пусть еь ..., е» вЂ” базис инвариантного подпространства Р, и пусть еь ..., е», е»+ь ..., е„— базис 5, включающий базис Р. Тогда для венторов .Феь ...,,Фе» координаты, начиная с (й+1)-й, равны нулю„так что в выбранном базисе оператору Ф соответствует матрица ВактОРныв пРОстРАнстВА ЗЗО 1Гл хп Доказательство т 1д» вЂ” А, в де1(1ń— А) =бе1~ о 1к„,— А, г По теореме об определителе ступенчатой матрицы де1(Тń— А) = де1(1Е» — А1)де1(1Е, » — Аг), что и доказывает предложение. Матрица оператора еше больше упрощается, если 5 разлагается в прямую сумму двух или нескольких инвариантных подпространств.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
