1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Операторы в векторных пространствах над полем С комплексных чисел Над полем комплексных чисел любой полипом разлагается на линейные множители. Поэтому, в силу последних пунктов преды- дущего параграфа, для любого оператора найдется базис, в кото- ром матрица оператора имеет каноническую жорданову форму и, в частности, если характеристический полинам оператора не имеет кратных корней, каноническая форма диагональна. В настоящем параграфе повторим эти результаты, войдя в не- которые подробности, представляющие самостоятельный интерес. 1. Собственные векторы оператора, Ненулевой вектор х назы- вается собственнь1м вектором для оператора,Ф, если имеет место равенство Фх = Лх при некотором Л ~ С.
Это число носит назва- ние собственного значения оператора. П р едложение !. Собственнылш значениями оператора яв- ляются корни характеристического полинома и только они. ° ац ... а,л ° Пусть в пространстве выбран базис, А =~ ал! ° ° ° алл матрица оператора гчл в этом базисе и (х1, хм ..., хл)т — столбец из координат вектора х. В координатной форме уравнение .Мх = Лх запишется в виде системы уравнений ацх, + а„х, + ... + а,лх„= Лх„ а21А1 + а22х2 + ° ° ° + 122»х» = Лх2, а»,Х, + а»,Х2+ ...
+а»„Х» =ЛХ» или, что то же самое, (Л вЂ” ац)х, — а„х2 —... — а,лх, =О, — аз,х, +(Л вЂ” а,з) х, —... — а,Ах» =Π— а„1х1 — а„2х2 — ... +(Л вЂ” а„„)х„=О. Для того чтобы эта система имела ненулевые решения относительно х1, хм ..., х„, необходимо и достаточно равенство нулю ее определителя." Л вЂ” а — а ... — а н 12 1л — а Л вЂ” а ... — а 21 22 2л =Π— а ...
Л вЂ” л »2 лл — а л! ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [Гл. хп а зто и значит, что Л есть корень характеристического полинома бе[([Š— А) оператора Ф. П р едло же н не 2. Линейная комбинация собственных векторов, принадлежащих одному и тому же собственному значению, есть собственный вектор, принадлежащий тому же собственному значению, или нулевой вектор. Действительно, если,Фх = Лх и,Фу = Лу, то .Ф(с[к+ сгу)= = с[.Фх+ сем'у = Л(с[х+ сеу), так что если с[х+ с[у Ф О, то с[х+ сгу — собственный вектор.
Таким образом, все собственные векторы, принадлежащие собственному значению Л, вместе с нулевым вектором образуют надпространство — подпространство собственных векторов. П р е д л о ж е н и е 3. Собственные векторы, принадлежащие попарно различным собственным значениям, линейно независимы. Проведем индукцию по числу векторов. Для одного вектора предложение верно, нбо собственный вектор ненулевой. Пусть предложение верно для совокупности собственных векторов, число которых меньше й, и пусть и[, иь ..., иь — совокупность собственных векторов, принадлежащих попарно различным собственным значениЯм Л1, Лм ..., Ль ДопУстим, что с1и1 + сгиг+ ...
+ сьиь О. Применив к обеим частям этого равенства оператор, получим с, Л,и, + сгЛ,и, + ... + СЕЛ,иь = О. Умножим первую зависимость на Ль и вычтем из второй. Получим с,(Л[ — ЛА)и[+ с,(ЛŠ— ЛА)и,+ ... + сь 1(ЛА 1 — ЛА)и,, = О, откуда, в силу индуктивного предположения, с1 (Л[ — ЛА)= СЕ(ЛŠ— Ль)=... =сь 1(ЛА 1 — Ль)=О, По условию все разности Л[ — Лы ..., ЛА 1 — Ль отличны от нуля, Следовательно, с[ — — сг —— ... = сь 1=0 и сань =О.
Вектор иь ненулевой. Значит, и сь = О. Предложение 4. Если характеристический полинам оператора аР не имеет кратных корней, то существует базис пространства, в котором матрица опеоатора диагональна. Действительно, в этом случае, в силу предложения 3, существует базис иь иг, ..., и„из собственных векторов, и в этом базисе матрица оператора Ф диагональна, в силу равенств я[и[ = = Л1и1, зйиг = Лгиг,, я[и„= Л„и,. П р е д л о ж е н и е 5. Для того чтобы существовал базис, диагонализирующий матрицу оператора ге[, необходимо и достаточно, чтобы разл[ерности надпространств собственных векторов были равна[ кратностям соответствующих собственных значений как корней характеристического полинома.
$ н ОПЕРАТОРЫ В ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ НАД С дзз Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть размерность надпространства собственных векторов, принадлежащих собственному значению А., равна й. Ясно, что это подпространство инвариантно, матрица оператора на нем равна АЕА и характеристический полипом оператора .Ф на этом подпространстве равен (à — А)А.
Ввиду того, что характеристический полинам оператора Ф на всем пространстве делится иа характеристический полипом,Ф на любом нивариантном подпространстве, й не превосходит кратности А, как корпя характеристического полинома. Ясно, что базис, в котором оператор лР имеет диагональную форму, состоит из собственных векторов и на диагонали находятся соответствующие собственные значения. Кратность корня характеристического полинома диагональной матрицы равна кратности вхождения этого корня на диагонали.
Поэтому число базисных собственных векторов, отвечающих собственному значению )„ равно кратности ). как корня характеристического полинома. Следовательно размерность пространства собственных векторов, соответствующих А., не меньше кратности ). как корня характеристического полинома, но и не больше, как было установлено выше.
Предложение 6. Любое собственное значение оператора является корнем его лшнимального полинома. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть и — собственный вектор оператора,зФ, принадлежащий собственному значению ),. Тогда минимальным аннулятором вектора и является линейный двучлен à — ). Минимальный полипом оператора аннулирует все векторы, так что делится на все минимальные аниуляторы, в частности, иа 1 — Т.. Следовательно, ). есть корень минимального полинома, что и требовалось доказать. Из предложения 6 следует, что характеристический полипом оператора и его минимальный полипом разлагаются на одинаковые линейные множители, различны могут быть лишь их кратности.
2. Корневые векторы. Вектор и называется корневым для оператора лт6, если при некотором Х выполняется равенство (,Ф вЂ” ХЮ) и = О, т. е. если вектор и аннулируется полиномом '(1 — ).) . Наименьший показатель т называется высотой корневого вектора. Собственный вектор — это корневой вектор высоты 1.
Число А„участвующее в определении корневого вектора, является собственным значением. Действительно, для корневого вектора и высоты т будет о = (лФ вЂ” )Ю) -'и ~О, но (.Ф вЂ” )Й)о = О, т. е. о есть собственный вектор, принадлежащий собственному значению ).. Высота корневого вектора, соответствующего собственному значению )., не превосходит кратности ) как корня минимального полинома оператора. Эта верхняя грань достигается, т. е.
сущест. вует корневой вектор, высота которого равна кратности соответ. ствующего собственного значения как корня минимального поли- ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ззв [ГЛ. ХИ нома. Действительно, пусть минимальный полинам оператора .~Ф равен ([ — Л)"'т([), где Г(Л)МО. Полинам ([ — Л) -[Р([) аннулирует не все векторы, так что найдется вектор о, не аннулируемый этим полиномом. Тогда вектор и = Р(Ф)о не аннулируется полнномом ([ — Л)"-', но аннулируется полиномом (1 — Л), т.
е. является корневым вектором высоты т. П р едл о же ни е 7. Линейная комбинация корневых векторов, соответствующих одному и тому же собственному значению Л, является корневым вектором, соответствующим тому же собственному значению. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть и[ и иг — два корневых вектора, соответствующих собственному значению Л, н пусть и[, н п[т — их высоты, [и, ) [пь Тогда полипом ([ — Л) ' аннулирует оба вектора, а также любую их линейную комбинацию.
Таким образом, корневые векторы, соответствующие данному собственному значению, образуют надпространство, называемое корнев»он подпространством. П р е дл о ж е н и е 8, Корневые векторы, соответствующие попарно различным собственным значениям, линейно независимы. Д о к а з а те л ьс т во. Пусть иь ..., и» вЂ” корневые векторы для оператора з[», соответствующие собственным значениям Л[, ...
, Лы Л;~ Ль и пусть гпь ..., и[» — нх высоты. Допустим, что с[и[+ ... + с;и[+ ... + с,и» = О. Рассмотрим полинам [ [ ([) ([ Л[) .. ([ Л[) [ ° ° ° ([ Л») Применим оператор [';(,Ф) к обеим частям линейной зависимости. Этот оператор аннулирует все корневые векторы, кроме и„ибо полинам [,([) делится на аниуляторы этих векторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
