1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Тогда АХ = ВСХ =(с х| + с х, + ... + С„х„) В. Поэтому Х = В является собственным вектором оператора .Ф, принадлежащим собственному значению с~Ь1+ с»Ь»+ ... +с,Ь,. Далее, любой вектор с компонентами, удовлетворяющими требованию с1х~+ с»х»+ ... + с„х, = О, является собственным вектором при собственном значении,равном О. Таких линейно независимых векторов существует и — 1 Пусть это будут Хь ..., Х„,. Если Л = с Ь|+ с»Ь»+ ... + с»Ь»чьО, та векторы В, Хь ..., Х„» составляют базис из собственных векторов, и в этом базисе матрица оператора левого умножения на А принимает вид Если же с1Ь~+с»Ь»+ ... +с„Ь„=О, то вектор В попадает в пространство, натянутое на Хь ..., Х„ь В этом случае А' = = ВСВС=О, ибо СВ=О, т.
е, А нильпотентна показателя 2. В этом случае в канонический базис, кроме собственных векторов, нужно включить один корневой. В качестве корневого можно взять $71 опклхтолы в вектолных плостлхнствхх нлд я З41 любой такой вектор Х, что АХ ФО, что будет, если с~х~ + саха+ ... ... +с„х„~О. Можно взять, в частности, Х=(1, О, ..., О)т. Тогда АХ = с,В.
Вектор с,В нужно дополнить до базиса пространства собственных векторов. Для того чтобы обеспечить линейную независимость этих векторов с вектором с~В =(с,Ьь .., ..., с~Ь,)т, достаточно взЯть дополнЯюшие вектоРы Хм ..., Х„, с нулевой первой компонентой и с остальными, удовлетворяющими соотношению сэхз+ ...
+ с„х, = О. Таких найдется и — 2 линейно независимых и не больше, ибо среди чисел сь ..., с„имеется хотя бы одно отличное от нуля, иначе равенство сА + сзЬ, + ... ... -1- с„Ь„= О было бы невозможно. В выбранном базисе Х, с,В, Хм ..., Х„~ матрица оператора умножения иа А принимает вид о о ... о 1 0 ... 0 о о ... о 0 0 ... 0 Итак, в терминах матриц, существует такая невырохгденная матрица Р, что О ...
О Р ЛР= "', если Л=Ь,с, + ... +Ь„с„М О, 0 О... 0 о о ... о или о о ... о о ... о Р АР= 0 0 "° О, если Ь,с,+ ... +Ь„с„=О. 0 0...0 й 7. Операторы в векторных пространствах иад полем И вещественных чисел Поле вещественных чисел не алгебраически замкнуто, т. е. не каждый полином с вещественными коэффициентами имеет только вещественные корни. В частности, характеристический полином матрицы может иметь корни с ненулевой мнимой частью, и таким корням не соответствует собственный вектор в исходном пространстве.
Поэтому преобразование матрицы оператора к канонической форме Жордана не всегда возможно. Цель настоящего параграфа — вывести достаточно наглядную каноническую форму в этом случае. 1. Комплексификация вещественного пространства. Пусть 5— векторное пространство над полем Р. Погрузим его в векторное пространство 8 пад полем ( следующим образом Введем в рассмотрение формальные суммы х+ 1у при х е= 5, и г— : 5. Условимся ВЯХТОРНЫВ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. ХИ .считать, что х+ [у = х'+ 1у' в том и только в том случае, если х = х' и у у', Определим сложение по формуле (х+ [у)+ +(х'+Еу')=к+А'+Е(у+у') и умножение на комплексные числа по формуле (а+ ЬЕ) (х+ Еу)= ах — Ьу+ Е(Ьх+ ау), Легко проверить, что множество 8 всех'х+у[, хен5, уе=5, удовлетворяет по отношению к введенным действием всем аксиомам векторного пространства над полем А, Пространство 8 называется комплексификацией пространства 5 Базис е[, ..., е„пространства 5 оказывается базисом и для 8 по отношению к полю Е ь Действительно, пусть х = Ь[е[ + ...
+ Ь„е„, у = с[е, + ... + с„е„, при Ьь с[ Й (х, тогда х+ [у = (Ь[ + с,!) е, + ... + (Ь, + с,[) е„. Поэтому комплексификация 8 и-мерного вещественного пространства 5 оказывается тоже и-мерной по отношению к полю .С:. Векторы из 5, отождествляемые с векторами из 8 с нулевой второй компонентой, будем называть вещественными. Векторы г = х+ [у и г = х — [у, х, у ~ 5, будем называть комплексно сопряженными. Легко проверить, что ах =аг при цен С и г+г' = = г+ г'. Предложение 1. Если векторы о[, ..., Р» ~ 8 линейно независимы над х.'т то сопряженные векторы й[, ..., й» тоже линейно независимы.
Действительно, если с[й[+ ... + с»й» = О, то с[о[ + ... ... + с»о» = О, откуда Е[ ... = с» = О н, следовательно, с, =... ... =с» — — О. 2. Продолжение операторов, действующих в вещественном пространстве, на комплекснфнкацию. Пусть Ф вЂ” оператор, действующий в вещественном векторном пространстве 5. Продолжим его на комплекснфикацию 8 по формуле Ф(х+ Еу)=м[х+ Елйу. Покажем, что продолженный оператор останется линейным и над полем А:. То, что он переводит сумму в сумму, очевидно, нужно только убедиться в том, что комплексный множитель можно вынести за знак оператора. Это легко проверяется. Действительно, Ф(а+ ЬЕ) (х+ Еу) = Ф(ах — Ьу+ Е(Ьх+ ау)) = лй (ах — Ьу) + ЕФ (Ьх + ау) = аМх — ЬФу + Е(Ьльх + а Фу) = = (а + ЬЕ).яФ(х+ Еу).
Заметим еще, что вектор, сопряженный с .4г, при г ни 8 равен,~яг. П редло жение 2. Пусть г принадлежит комплексификации 8 вещественного пространства 5 с оператором Ф. Пусть ч~(1) = 1» -(- + а[1»-[+ ... + а»' — полинам с комплексными коэффициентами, являющийся аннулятором для вектора г. Тогда полинам ф(1)= = Е»+а[1»-[+ ... +а» с сопряженными коэффициентами есть аннулятор для вектора г. Действительно, переход к сопряженным в равенстве,Ф»г+ + а,,мЕ»-'г+ ... + а»г= О дает Ф»г+а[лР-[г+ ° „+аьг= О, что и доказывает предложение. ОПЕРАТОРЫ В ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ НАД В 343 Из доказанного предложения следует, что если г — корневой вектор, соответствующий комплексному собственному значению Л, то г — кориееой вектор, соответствующий сопряженному собствен. ному значению Л.
Более того, учитывая сохранение линейной независимости при переходе к сопряженным векторам, мы моитем заключить, что векторы, сопряженные с каноническим базисом в корневом подпространстве, соответствующем Л, составляют канонический базис в корневом подпространстве, соответствующем Л, и каждой «башне» векторов канонического базиса для Л соответствует башня из сопряженных векторов для Л.
3, Каноническая форма оператора в вещественном пространстве. Разобьем пространство 8 в прямую сумму корневых подпространств для оператора лР и затем корневые подпространства — в прямые суммы циклических, натянутых на «башни» канонического базиса. Ясно, что для каждого нз вещественных собственных значений канонический базис может быть взят в самом пространстве 8, и этим базисам соответствуют вещественные блоки Жордаиа. Пусть теперь Л = а+ Ь1 — комплексное собственное значение при Ь Ф О, Л вЂ” сопряженное собственное значение, Р— подпространство, натянутое на башню канонического базиса корневого подпространства для Л, Р— подпространство из сопряженных векторов, входящее прямым слагаемым в корневое подпространство.
для Л. Сумма подпространств Р+Р есть прямая сумма, ибо корневые подпространства для различных собственных значений Л и Л пересекаются только по нулевому вектору. Пусть г2 = х~+1у,„ г» = х»+ 1у»,, г»=х»+ 1у» — базис подпространства Р. Тогда гн ..., г* вместе с гн ..., г» составляют базис подпространства РЕ Р. Базис (относительно поля ( ) составят также вещественные вектоРы хн Ун ..., хы У», ибо вектоРы гн г», ..., г», гь г»,...
..., г» выражаются через них линейно и, обратно, хн ун ..., х», у» выражаются линейно через гн гн .. г», г». Вещественное подпространство, натянутое на векторы хь ун х»,ум, хм у», есть пересечение 5 и РОТ Р. Выясним, как действует оператор,яФ на эту совокупность векторов. Вспомним, что 㻠— — (Ф вЂ” Л«2 ) гь г» = = (лФ вЂ” Л4«Р') г», ..., г» = (л~ — Л»22') г» 2 и (,яР— ЛТР') г» = О. Перепишем эти соотношения в форме: 2»г2 = Лг! + г2, 2»г» = ЛЕ2+ г», ..., .явг» 2 = Лг» 2+ г», лаг» =Лг» Подставив Л = а + Ь1 и г2 = х2+ 1уь получим: Фх, + 1лЯу, = ах, — Ьу, + 1'(Ьх, + ау,) + х»+ 1у», .Фх»+ Юу» = ах» — Ьу»+ 1(Ьх, + ау2) + х»+ гуз, Фх», + 1Фу», — — ах,, — Ьу», + 2 (Ьх», + ау»,) + х» + 1уы Фх»+ 1лФу» = ах» — Ьу»+ 1(Ьх» + ау»).
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [гл. хи Отделив вещественные и мнимые части в зтих равенствах, получим: .4х! =ах, — Ьу[+ х„ Фу[ = Ьх[ + ау, + у„ Фх» [=ах» ! — Ьу», +х, Фу» ! =Ьх,, +ау», +у», А[»х» = — ах» — Ьу», .4у» = Ьх„+ ау». Таким образом, в рассматриваемом базисе оператору М соответ- ствует матрица 0000...1 0 аЬ 0000...01 — Ьа а Ьх Обозначив диагональные блоки ( ь ! через 1» и единичную матрицу второго порядка через Е, получим блочно-жорданову форму А 0....0 Е й....о 0 Е....О 0 0 ... Е й Мы рассмотрели одну пару сопряженных башен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
