1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 75
Текст из файла (страница 75)
+ сд ,О т. е. каждый вектор О', получается из о; посредством прибавления линейной комбинации предыдущих векторов О1, ..., О1 1. Доказательство. Применим индукцию по й. База индукции при й = 1 тривиальна. Пусть теорема доказана для совокупности из А — 1 вектора, и в этом предположении докажем для Ь. Будем искать О' в виде суммы Од и линейной комбинации уже / оРтогональных вектоРов о„о„..., Од,: О'д = Од + Ь,О1 + Ьр', + ° ° ° + Ь,О' О Приравняем нулю (од, Оз) при 1 й. Получим: О =(Од, О',.)+ Ь1(О'„Оз)+ ...
+ Ьз(О,', оз)+... -1- Ьд, (Од О о,') =(Од' Ог)+ Ьзчтоз О') (зд, з;) откуда Ь1 определяется однозначно: Ь, = —,, Выразим (З1 61) тепеРь о' чеРез од, О„..., Од 1. ПолУчим О', = Од+ ь1О1 + +уз(оз+сно1)+. ° ° +Ьд 1(Од 1+сд 1,1О1+ ° ° . +сд 1,д зод з)= = од + с О1 + с1 Оз + ... + сд д 1од / пРн некотоРых сд1,смь ..., сд,д 1 ОстаетсЯ показать, что од~О.
По если бы о' =О, то векторы Оь Ом..., од-ь од были бы ли. нейио зависимы. Теорема доказана. Процесс ортогонализации можно провести несколько иначе. Сначала постРоить вектоРы игь из..., ид, добавив к Оз, Оз, ..., Од подходЯщие кРатные О1 так, чтобы иь из, ..., ид стали бы ОРгогональны О1. Затем построить векторы и'..., ид за счет добавления к им ., и, подходящего кратного вектора из с тем, чтобы и'„..., и' стали ортогональны к из. При этом ортогональность О1 сохранится. Процесс продолжается до конца. В итоге векторы ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА о„и,, и,', ... — это те же векторы о',, о', ..., о', что и в первом процессе.
Заметим, что так осуществленный процесс ортогонализации точно воспроизводит процесс преобразования положительно определенной эрмитовой (илн квадратичной) формы к каноническому виду. Дадим еще одну интерпретацию процесса ортогоналнзацин. Последовательность Р вложенных Надпространств О = Р,с Р,с .. ... с Р,, сР, называется флагом, если размерность каждого надпространства на единицу больше размерности предыдущего. так что б(гоР; = й Базисом флага называется базис пространства Р,, включающий базисы всех подпростраиств, составляющих флаг, так что если оь ом ..., ое — базис флага, то о! — базис Рь о! и о, — базис Р, и т. д.
Пусть оь ом ..., ое — базис флага Р, и пусть О, =СРР / ое = смо! + смог ог = сз!о! + Смог + с!гож г ое =се!о!+с,о,+ ... +с о, причем си Ф О, сгг Ф О, ..., САА ныл. Тогда о', — ненулевой вектор в Р„о', принадлежит Р, и не является линейной комбинацией о', и т. д., о', принадлежит Р; и не является линейной комбинацией о'„..., о',, при всех 1. Следовательно, о,', о'„..., о,' линейно независимы и образуют базис Р„так что о'„о'„..., о' есть базис флага Р. Ясно, что любой базис флага Р связан с базисом оь ом, ог формулами указанного вида. Вернемся к теореме об ортогонализации.
Примем исходную систему векторов оь см... ог за базис некоторого флага Р. Тогда векторы оп о,'„..., о'„после проведения ортогонализации составят базис того же флага, но составленный из попарно ортогональных векторов. Поэтому теорема об ортогоналнзации может быть сформулирована следующим образом: Для любого флага существует ортогональный базис, т. е. ба-. зис, состоящий из попарно ортогональных векторов. 6, Ортонормальный базис. Вектор в унитарном (или евклидовом) пространстве называется нормированньсм, если его длина равна 1. Любой отличный от нуля вектор можно умножить на некоторое число так, что в результате получится нормированный вектор. Действительно, пусть х М О. Тогда (ах, ах) = аб(х, х) = 1 ! =~а('(х, х).
Достаточно взять а таким, что ~а) == = —. у'(х, х) ) к) ВВКЛНДОВО И УПИТАРНОВ ПРОСТРАНСТВА 1гл. Х111 Так подобранное число а называется нормируюи(им множителем для вектора х. В унитарном пространстве нормирующий множитель определен с точностью до множителя с модулем, равным 1. В евклидовом пространстве нормирующий множитель определен с точностью до знака. Ясно, что если векторы ортогональны, то и после их нормирования получатся ортогональные векторы. Пусть теперь О1, оь ..., о — какой-либо базис унитарного (или евклидова) пространства. Применив к нему процесс ортогонализации, придем к ортогональному базису.
После нормирования всех базисных векторов придем к базису, составленному из попарно ортогональных и нормированных векторов е1, ег, ..., е,. Такой базис носит название оргонормального. Для ортонормального базиса выполняются соотношения (е1, е1)=1 и (еь е1)=0 при 1~1, так что матрица Грама для ортонормального базиса есть единичная матрица. Скалярное произведение векторов в координатах в ортоиормальном базисе имеет, очевидно, вид (х, у) = х;у1 + хгуг + ... + х„у„ т. е. точно такой же, как в арифметическом пространстве столбцов. Тем самым установлен изоморфизм, с сохранением скалярных произведений, унитарного (или евклидова) пространства с арифметическим пространством столбцов.
7. Преобразование координат при замене ортонормального базиса. Напомним, что матрица преобразования координат, с которой координаты векторов в базисе еь ег, ..., е, выражаются через координаты в базисе е'„е', ..., е'„, имеет своими столбцами координаты векторов е',, е'„ ..., е„' относительно базиса е1, еь ..., е„. Допустим, чтое„ е„ ..., е„ и е,', е,', ..., е„' — ортонормальные базисы унитарного (или евклидова) пространства. Векторы еп е', ..., е„' нормированы, следовательно, суммы квадратов модулей элементов столбцов матрицы равны 1.
Далее, (е'„ е')=0 при 1 ~=1, так что суммы произведений элементов 1'-го столбца на числа, сопряженные с элементами 1-го столбца, равны О. Следовательно, матрица преобразования координат при замене ортоиормальных базисов унитарна (ортогональна для евклидова пространства). Ясно, что любая унитарная (ортогональная) матрица является матрицей преобразования координат при замене ортоиормального базиса иа некоторый тоже ортонормальный базис. $ 2. Подпространства унитарного (или евклидова) пространства 1. Ортонормальный базис подпростраиства и его дополнение до ортонормального базиса пространства.
Любое подпространство унитарного (или евклидова) пространства само является унитар. ПОДПРОСТРАНСТВА УНИТАРНОГО ПРОСТРАНСТВА $2) звз. ным (евклидовым) по отношению к тому же скалярному умножению. Пусть Р есть й-мерное подпространство л-мерного унитарного (евклидова) пространства 5. Пусть еь ..., еА — ортонормальный базис Р. Дополним его до базиса о, присоединив векторы ОА+и . ..., о„. ПРименим к базисУ еь ..., ем ОА+ь ..., О„пРоцесс оРтогонализации. Первые векторы еь ..., еА при этом не изменятся, так как они попарно ортогональны.
Получим ортогональный базис е„..., Рм ОА+и ..., о'„. Чтобы получить ортонормальный базис 3, остается только нормировать векторы о'„+„..., о',. 2. Ортогональное дополнение. Пусть 5 есть л-мерное унитарное (илн евклидово) пространство и Р— его л-мерное подпространство, 1 ( Й ( п — 1. Ортогональным дополнением РА к подпространству Р называется множество всех векторов из 5, ортогональных всем векторам из Р. Ясно, что если векторы ортогональны всем векторам из Р, то любая их линейная комбинация обладает тем же свойством. Поэтому РА есть подпространство о. Пусть еь ..., еь — ортонормальный базис Р и еь ..., ел, еА+ь ..., е — включающий его ортонормальный базис 5. Натянем на векторы еА+ь ..., е, подпространство Я.
Любой вектор из Я, будучи линейной комбинацией векторов еА+ь ..., е„ортогонален векторам еь ..., еА и, следовательно, любой их линейной комбинации, т. е. любому вектору из Р. Следовательно, Я с= Р'-. Пусть теперь вектор х х1е1+ ... +хьеА+хА+2еА+2+ ... +х е„яР'-. Тогда (х, Рл)=х2 = 0 при 1=1, ..., Ф, так что х=хА+2еА+2+ ... ...
+ х„е„ен Я. Итак, любой вектор из Я принадлежит Рх и любой вектор из РА принадлежит Я. Подпространства (;2 и РА совпадают. Таким образом, ортогональное дополнение РА к подпространству Р есть подпространство, натянутое на векторы, дополняющие ортонормальный базис Р до ортонормального базиса о. Теперь легко установить следующие свойства ортогональных дополнений. 1.
б)гп РА = б(ш 5 — д1ш Р. Непосредственно следует из построения базиса РА. 2, (Рх)А = Р. Действительно, в качестве векторов, дополняющих ортонормальный базис еА+ь ..., е„подпространства РА до ортанормального базиса о', можно взять еь ..., еА, и натянутое на эти векторы подпространство (Рх) А совпадает с Р. 3. Если Р1 с: Р2, то Р~~ -зР2. Ясно из определения ортогонального дополнения. 4. (Р~ + Р2)" Р1~ П Р2~. Действительно, любой вектор из (Р2+ Р2) А ортогонален всем векторам из Р, и всем векторам иэ Р„т.
е. принадлежит Р~ ))Р1 ВВКЛИДОВО И УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВА игл. Хш Обратно, любой вектор из Р1 ()Р~~ ортогонален всем векторам нз Р, и всем векторам из Рз и любым их суммам, т. е. принадлежит (Р| + Рз)". Перейдя в свойстве 4 к ортогональным дополнениям, получим Р1+ Рз=(Р~~ПР2)~. Заменив в этом равенстве Р1 и Р~У на Р1 и Р„ получим: б. (Р~ () Р4 Р~~+ Р~и. Таким образом, переход к ортогональным дополнениям обращает отношение включения подпространств и переставляет операции сложения и пересечения подпространств. б, 5=РЩРА.
Действительно, базис 5 есть объединение базисов Р и Р~-. В этой ситуации говорят, что пространства 5 есть ортогональная сумма подпрострапств Р и Р~-. Более общо, скажем, что 5 есть ортогональная сумма своих подпространств Рь .. Ры если 5 = Р~+ ... + Ры причем векторы, взятые из различных подпространств, ортогональны. Ортогональная сумма всегда прямая, ибо из равенства п1+ ... + ОА = = 0 при п;ее Р~ следует равенство нулю всех слагаемых иь ибо наличие ненулевых слагаемых в левой части противоречило. бы линейной независимости ненулевых попарно ортогональных векторов.
й 3. Пространства, сопряженные с евклидовым н унитарным пространствами !. Пространство, сопряженное с евклидовым пространством. Пусть 5 — евклидово пространство. Любому вектору у ее 5 можно поставить в соответствие линейную функцию („~ 5' со значениями )У(х) =(х, у). Если и Ф г, то (У Ф 6, ибо раврнство (х, у) = (х,г) прн всех хее5 значит, что (х,у — г)=0 при всех к, что возможно только при у =а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
