1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 79
Текст из файла (страница 79)
3. Для любых точек т> и тг из М найдется такой вектор х, что т|+ х = тг. 4. Если т + х = т, то х = О. Первые два требования означают, что М есть множество, на котором определено действие «сдвига» на векторы из 5, т. е. М есть 5"-множество (здесь 5Р обозначает адднтивную группу пространства 5). Третье условие означает однородность М как 5+-множества. Наконец, четвертое, — что,стабилизаторы всех точек состоят только из О.
Зафиксировав некоторую точку тг в М, мы можем сопоставить каждой точке т нз М вектор, переводящий тг в т. Этот вектор назовем координатным вектором для т при выбранном начале координат т,. Соответствие между точками и их координатными векторами взаимно однозначно. Началу координат соответствует нулевой вектор. Если изменить начало координат, перенеся его на вектор хя в точку т,', то координатные векторы х и х' любой точки т АМ « относительно начал тг и то связаны очевидным соотношением х = хе+ х', Выбор начала координат в пространстве точек и выбор базиса в векторном пространстве 5 дает возможность сопоставить ка>кдой точке ее координаты, именно, координаты координатного вектора точки относительно выбранного базиса. Если 5 — евклидова пространство, то соответствующее пространство точек называется евклидовым.
Координаты точек относительно некоторого начала и ортонормального базиса в 5 носят название прямоугольных координат. Преобразование координат при фиксированном начале, но с переходом от одного ортонормального базиса 5 к другому, называется преобразованием поворота осей. В дальнейших пунктах этого параграфа пространство точек будет предполагаться евклидовым. 2. Алгебраические гиперповерхности. Множество всех точек в пространстве, координаты х>, ..., х„ которых связаны соотношением Р(хп ..., х„) = О, где Р— полинам с вещественными коэффициентами, называется алгебраической гиперповерхностью, Степень полинома р называется степенью нли порядком гиперповерхности.
Гиперповерхностн первой степени называются гпперплоскостями. В векторной форме уравнение любой гиперплоскости можно ЕВКЛНДОВО И УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВА ~гл. х!и записать в виде (Ь, х) = р, где Ь вЂ” некоторый ненулевой вектор, х — координатный вектор точни. Без нарушения общности можно считать вектор Ь нормированным. Тогда уравнение (Ь, х) = р называется нормальным уравнением гиперплоскости.
Если уравнение гнперповерхности в л-мерном пространстве имеет вид г(хь ..., х») = О прн л ( л, то координаты х»+ь..., х, остаются произвольными. В этом случае говорят, что гиперповерхность является цилиндрической гиперповерхпостью с (л — Ф)-мерными образующими, построенной на гиперповерхности с тем же уравнением, в й-мерном подпространстве, натянутом на первые Й базисных векторов, исходящих из начала координат. 3. Гиперповерхности второго порядка. В векторной форме уравнение гиперповерхности второго порядка можно записать в виде (я~х, х)+ 2(Ь, х)+ с = О, где Вà — самосопряженный оператор, Ь вЂ” вектор и с — число. Действительно, в виде (,Фх, х) записывается квадратичная форма, составленная из членов второй степени полинома, 2(Ь, х) является записью суммы членов первой с~висни, наконец, с — свободный член. Выясним, как изменяется уравнение при переносе начала координат.
Пусть х — координатный вектор при исходном начале координат, у — координатный вектор при новом начале и хо — координатный вектор нового начала относительно исходного. Тогда, подставив х = хо+у в уравнение поверхности, получим, как легко видеть, преобразованное уравнение в виде (.Фу, у)+ 2(Фхо+ Ь, у)+ с+ 2(Ь, хо)+(,Фхо, хо) = О. Если уравнение м!хо+ Ь = О разрешимо, то за счет переноса начала можно в уравнении уничтожить первые степени координат.
Если же уравнение Фхо+ Ь = О не имеет решений, то этого достигнуть нельзя. Таким образом, нужно рассмотреть два случая, в зависимости от разрешимости или неразрешимости уравнения Фхо + Ь = О. 4. Первый случай гиперповерхности второго порядка. Пусть уравнение Фхо+Ь = О разрешимо. Тогда, сдвинув начало координат на вектор хо, придем к уравнению (м'-у, у)+ с'= О, где с' = с+ 2(Ь, хо)+ (Фхо, хо). Теперь сделаем поворот осей, приняв за базис пространства векторов ортонормальный базис из собственных векторов оператора .Ф. Пусть этот базис образован векторами иь ..., и», и»+н ...
..., и„, причем иь ..., и» принадлежат ненулевым собственным значениЯм Хь ..., А,», а и»+ь ..., и, пРинадлежат нУлевомУ собственному значению. Обозначив через У~ ° °" у», у»+„° ' у,', координаты вектора у в этом базисе, получим уравнение гиперпо- гнпвгповвэхности втогого погядкд верхности в виде Х,у" ,+ ... + Х„у' + с' = О. Если й ( л, то гиперповерхность будет цилиндрической с (п — й)-мерными образующими, построенной на гиперповерхности с уравнением А,у, + ... + Х у' + с'=О в й-мерном подпространстве.
Если с' = О, то поверхность коническая, именно, если точка т с координатным вектором у лежит на поверхности, то и прямая, проходящая через начало координат и точку и, т. е. множество точек с координатными векторами 1у, — со«1(+со, целиком лежит на гиперповерхности. Если при этом Хь ..., Хл одного знака, то конус вырождается в одну точку — начало координат. Конусы классифицируются по максимальному числу коэффициентов одного знака. Если же с'чьО, то, разделив обе части уравнения на — с', придем к уравнению м чз ау, + ... +а,у„=1. Если все коэффициенты аь ..., ал отрицательны, то на гиперповерхности нет точек.
Если все коэффициенты положительны, то для координат точек на гиперповерхностн имеют место неравенства у'„~(1/ ~~а, так что гнперповерхность ограничена. В этом случае гиперповерхность в к-мерном пространстве носит название эллинсоида или, в случае а1 = ... = аы сферы радиуса 11 Х~аи Если же среди коэффициентов аь ..., ак имеются как положительные, так и отрицательные, то гиперповерхности (в й-мерном пространстве) носят название гиперболоидов. Гиперболоиды классифицируются по числу отрицательных коэффицеинтов аь ..., а„.
Конусы, эллнпсоиды, гиперболоиды и построенные на них цилиндрические гиперповерхностн носят название центральных, так как начало координат после преобразования к каноническому виду оказывается центром симметрии. Действительно, точки с координатными векторами у и — у одновременно принадлежат или не принадлежат гиперповерхиости.
5. Второй случай гиперповерхностн второго порядка. Пусть теперь уравнение вФхе+ Ь = О не разрешимо. Это возможно, только если размерность образа оператора М' меньше л, т. е. оператор имеет нетривиальное ядро и среди его собственных значений имеется число О. Напомним, что для самосопряженного оператора образ и ядро ортогонально дополнительны. Образ есть подпространство, натянутое на собственные векторы оператора, принадлежащие ненулевым собственным значениям, а ядро состоит из собственных векторов, принадлежащих собственному значению О. Разобьем вектор Ь на два слагаемых, Ь = Ь1+ Ьм нз которых первое принадлежит образу оператора ,яФ, второе — его ортого- зто ЕВКЛИДОЗО И УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТЗА (гл.
хи| нальному дополнению, т. е. ядру. В рассматриваемом случае Ьгчь ~0. Тогда уравнение Фа+ Ь~ = 0 разрешимо, и все его решения получаются из частного решения х, добавлением произвольного вектора из ядра оператора .Ф. Если хг = х|+ х при х из ядра, то (Фхг, хг) = (эохь х|+ з) = (Фхь х|) + (эохн е) = (.Фхь х|) + + (х,, Фз) = (Фх|, х|).
Таким образом, для любого решения хг уравнения .РРх+ Ь| — — 0 число (Фхг, хг) остается неизменным. Будем искать вектор сдвига начала в виде хо = х|+ (Ьг, при вещественном б Так как Ьг принадлежит ядру,Ф, будут иметь место равенства я(хо+ Ь~ = 0 н (эяхо, хо)=(Фхь х|). После такого сдвига начала уравнение примет вид (Фд, д)+ 2(э»хо+ Ь! д)+ 2(Ьг д)+ с+ 2(Ь!, хо)+ + 2 (Ьг, х,) + (Фхо, хо) = О. Слагаемое 2(эяхо+ Ь|, д) в левой части исчезает. Далее, (Ь|, хо)= = (Ь,, х| + (Ьг) = (Ь|„х|),. ибо Ь, и Ь, ортогональны; (Ь,, хо) = = (Ь,„х|)+ ((Ьг, Ьг); (Фхо, хо) = (Фхь х|). Таким образом, уравнение принимает внд (лад, д)+ 2(ЬИ д)+ 2((Ьг, Ьг)+ 2(Ьг, х|) + 2(Ь|, х|)+ + (,Фхн х|)+ с = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
