1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 83
Текст из файла (страница 83)
2. Базис и размерность тензорного произведения. Пусть сс, ... ..., е, — базис пространства 5 и уь ..., У»с — базис пространства Т. Тогда, в силу эквивалентности 2) н определения произведения пары на элемент поля К, любая сумма пар эквивалентна сумме с,(сь у,)+ с»(есь у»)+ ... + с„(с„, д ) при некоторых сс, ..., С„н ееК и дс, ..., У„БЕТ. Далее, в силу эквивалентностей 3) и !), такая сумма эквивалентна сумме сн (сь ус)+ с„(еь у,)+... + с,„, (с„д,„) + + С»С (С2 КС) + С22 (С2 К2) + + С2~ (С2 К»с) + +с„, (е„, дс]+с„,(е„,д»)+...
+ с„(е„, с ). Таким образом, векторы ес Э Ус, с = 1, ..., п, 1 = 1, ..., т, порождают пространство 5 Э Т. Докажем, что они линейно независимы. Пусть 1с, ..., („и и йь ..., й — базисы сопряженных пространств 5' и Т', дуальные к выбранным базисам пространств 5 и Т. Рассмотрим пары (1ь Ьс) н определим их действие как линейных функций на пространстве сумм пар по формуле ((ь йс) (сс(хс, ус)+ ...
+ с»(хм д»)) = = С4хс йсус+' ... + СДх».й;у», Линейность этой функции на пространстве сумм пар очевидна. %»1 твнзогныв пэонзвядвння ввктогных пгостглнств зэб Покажем, что эта функция принимает одинаковые значения на эквивалентных суммах пар. Это достаточно проверить для эквивалентностей 1), 2), 3). Получаем 1) (~ь Ь) (ах, д)= Ц|хх)Ь|д = а(;(х)Ь|(д), (|';, Ь;) (х, ид) = 1; (х) Ь| (ад) = а|*' (х) Ь> (д); 2) Ць Ь,) ((хь д)+(хз, д))=~х, Ь!д+~х» Ь!д, ((|, Ь ) (х| + х|ь д) = (|(х| + хз) Ь|д = (;х| Ь д+ (;хз Ь д. Проверка для эквивалентности 3) аналогична.
Таким образом, функция ф, Ь;) определена на классах эквивалентных пар как линейная функция. Допустим теперь, что имеется зависимость сн(е, Зд|)+ ... + с|„(е| З д,„)+ ... + с.,(е„Зд|)+ ... ... + с.„(е» Эд„)=0. Применим к этому равенству функцию ((ь Ь;). Ясно, что ее значения на всех произведениях базисных векторов, кроме ечЭдь равны нулю, а значение на е| Зд; равно 1. Поэтому сп = 0 при всех 1 и /.
Таким образом, элементы е; З д; составляют базис пространства 5 З Т, причем размерность этого пространства равна тп. 3. Тензорное произведение несколькик пространств. Тензорное произведение нескольких пространств 5ь 5м ..., 5» вводится аналогично тензорному произведению двух пространств. Рассматриваются наборы компонент (хь хм ..., х») при х|еп 5; и их формальные суммы. Вводятся действия сложения (формально) и умножения на элементы основного поля, посредством присоединения множителя к первой компоненте. Множество таких формальных сумм становится векторным пространством (бесконечномерным при бесконечном основном поле).
Вводятся эквивалентности 1) (|ххьхм ..., х») (х|,ихм ° ° ., х») ... (х|,хм, ах»); 2)(хп...,х,'.+х,',...,х ) (хп...,х,', ...,х„)+(хн..., х|...,х„). Две формальные суммы рассматриваемых наборов считаются эквивалентными, если от одной нз ннх можно перейти к другой посредством конечного числа эквивалентностей вида 1), 2).
Структура векторного пространства формальных сумм наборов компонент переносится на множество классов эквивалентности. Получившееся пространство называется тензорным произведение»| 5, Э 5, Э ... З 5» пространств 5ь 5м ..., 5». Класс, содержащий набор (хь хм ..., х»), обозначается х~ Э х» Э ... Э х».
Тензорные произведения базисов пространств 5ь 5,, ..., 5» составляют базис 5| З 5»З .. Э 5». Это доказывается аналогично подробно разобранному выше случаю Ь = 2. Поэтому размерность тензорного произведения пространств равна произведению размерностей этих пространств. 4. Инвариантное определение тензора. Сейчас мы дадим определение тензора, отличное от данного в $ 1, но, разумеется, тесно элементы АлГеБРы тензоРОБ ~ГЛ Х1» Ззб с ннм связанное. Пусть дано векторное пространство 5 и сопряженное с ним пространство 5". Элементы тензорного произведения л» экземпляров 5 и й экземпляров 5' называются л» раз контравариангными и й раз новариантными тензорами.
Если выбран базис вь еь ..., е пространства 5 и дуальный с ннм базис 1'...,, 1" пространства 5', то тензоры представляются в виде ай" Г»'е Э...Эе. 91 9...9 1»». ' ...'» Из формул преобразования координат следует, что набор коэффициентов а!' "' ~" составляет й раз ковариантный и л» раз контра' " '» вариантный тензор в смысле определения, данного в З 1. Данное здесь определение тензора хорошо своей инвариантностью, в его формулировке никак ие участвует выбор базиса пространства. Однако в приложениях теизоров чаще оказывается более удобным определение через компоненты и формулы преобразования. б.
Действия над теизорами в свете инвариантного определения. Действия сложения и умножения на скаляры -совпадают с одноименными действиями в пространстве тензоров данного типа. Действие умножения тензоров равносильно их тензорному умножению как векторов в своих пространствах. Это с очевидностью следует из представления тензоров через базис: (':: а" '"~"'е Э... Э е 91 ' 9...91'») 9 й" '» Г 9(Ь»~" »Ге ®, Эв 91» ®...®~Р»)~— А »~ " »» »1 »» =ай "' Гмй»' '" »се Э... 9 е Э ~" Э...
9 ~ » 9 »1 ~» Р1 Р» б lщ Эе, Э...Эе,Э~" 9...® 1Р. Операция свертки заключается в том, что в каждом слагаемом суммы тензорных произведений х Э...Эх Э...Эх Эу'9...9у»9...9у» выбираются одинаково для всех слагаемых один ковектор у Г и один вектор х», они выбрасываются, но при этом появляется в качестве множителя значение ковектора у'~ на векторе хГ . Инвариантность этой операции легко проследить. Если ее выполнить в записи тензора через базис: ай "' ~» "' '"' е Э ... Э е Э ...
Э е Э 1 ' Э ... Э 1 Г Э ... Э 1 », й -й" с» б "' Г, '' г„ мы получим, что значение 1» на вГ отлично от нуля и равно ! только прв 1. = 1ь и при фиксированных остальных индексах нужно сложить получившиеся свободные члены, что и сводится к «41 твнзогиыя пгоизвидвния вектогных пгост»листа 381 суммированию по и компонент а,' '",'"',, т. е, описанная опера- 1"' 1"' » ция свертки в инвариантной форме совпадает со сверткой прн задании тензора компонентами.
6. «Прямоугольные» тензоры. Компоненты тензора полной валентности и естественно сопоставляются точкам с целыми координатами от 1 до и (и — размерность пространства) в гп-мерном пространстве. Они образуют как бы т-мерно кубическую таблицу, подобно тому, как при полной валентности 2 компоненты располагаются в виде квадратной матрицы.
Аналогами прямоугольных матриц могут служить компоненты тензоров, связанных с несколькими пространствами. Пусть даны пространства Яь Яи ..., 5, над одним и тем же полем К. Рассмотрим тензорное произведение нескольких экземпляров Я, и Ян нескольких экземпляров Зз и Я; и т. д. Векторы получившегося пространства будут иметь вид ай~а "' ~ь «~«а "' «с '" е я> й ~2 ° ° ~м »~ »~ ." Р« "° й ".®е,9~'9."Э~"Эй,®...®д,®Ь" ®. ®Л"9... Здесь индексы гь ..., 1ы 1ь ..., /~ принимают значения от 1 до и, = б1гп5ь индексы дь ..., д» и рь ..., р, принимают значения от 1 до и» = д1гп Я» и т, д,; е„..., е„— базис 5„1, ... 1„— дуальный базис Я;, дн ..., я„и 6„..., Ь вЂ” базисы 5 и 3, и т.
д. Компоненты при преобразованиях координат в пространствах 8ь Зи ... изменяются по правилам преобразования компонент тензора, только первая группа индексов связана с Яь вторая группа с 5, и т. д. Сложение, умножение на скаляры и умножение тензоров выполняются по тем же правилам, что и для обычных тензоров. Свертка допустима только по нижнему и верхнему индексам из одной группы. ГЛАВА ХЧ АЛГВБРЫ ф 1. Общие сведения 1. Определение и простейшие свойства алгебр. В различных разделах математики возникает потребность рассматривать векторные пространства (над данным полем К), в которых кроме действий сложения н умножения на скаляры определено еще действие умножения, сопоставляющее каждой упорядоченной паре векторов третий вектор того же пространства — их «произведение».
В этой ситуации всегда естественно предполагать, что результат умножения ху лннеен по каждому из множителей при фиксированном втором, т. е. (с,х, + с,х,)у = с1х~у+ сзх,у, х(с,у~+ сзу,) = с1ху~+ с,ху,, Пространство с умножением, удовлетворяющим такому требованию билннейностн, называется алгеброй над полем К. Иначе можно сказать, что алгебра есть одновременно кольцо и линейное (векторное) пространство с естественным согласованием кольцевого умножения и векторных действий. Именно, сложение в кольце и сложение в векторном пространстве совпадают, а свойства днстрибутивностн для умножения «усиливаются» до линейности по каждому множителю, для чего достаточно потребовать, чтобы (сх)у = х(су) = сху при любых с еп К н х, у из алгебры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
