1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Ядро этого гомоморфизма состоит из таких пар (у, (1), для которых у-'хб = х при всех х. Положив х = 1, получим, что у = р. Из ()-'х6 =х при всех х следует, как мы виделн в предыдущем пункте, что р = ~ 1. Итак, ядро состоит из элементов (1, 1) и ( — 1, — !). Таким образом, мы доказали следующую теорему. Теорема 4. Группа 80(4) собственно ортогоналвных преобразований четырехмерного пространства изоморфна факторгруппе прямого произведения двух групп кватернионов единичного модуля по подгруппе, состоящей из (1, 1) и ( — 1, — 1). Заметим еще, что группа 30(4) содержит циклическую подгруппу второго порядка, образованную операторами ~М', где е'— тождественный оператор. Факторгруппа РЗО(4) группы 50(4) по этой подгруппе изоморфна, как легко видеть, прямому произведению двух групп 60(3).
Такое разложение группы 30(4) ставит ее в исключительное положение среди групп 80(п). Именно, все группы 50(п) при нечетном и ) 3 простые и факторгруппы РВО(п) групп 60(п) по подгруппе (~Ю) при четном и > 6 тоже простые. Установленное разложение группы 60(4) показывает, что и ней имеются два замечательных нормальных делителя, соответствующих операторам правого н левого умножения в алгебре, кватернионов.
Интересно охарактеризовать эти группы в терминах самой группы 30(4). Это нетрудно сделать. Выше мы видели, что каждый оператор правого умножения и каждый оператор левого умножения имеет в некотором ортонормадьном базисе матрицу, состоящую из двух одинаковых блоков второго порядка. Оказывается, что этим свойством вполне характеризуются элементы 30(4), допускающие реализацию в виде оператора правого или левого умножения, Действительно, пусть оператор гз чь ~д' обладает этим свойством.
Тогда зР— 2созфзч'+1 = О, ибо этому ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА уравнению удовлетворяют оба блока. Отсюда следует, что каков бы ни был вектор к, векторы х и Фх линейно независимы, порождают инвариантное двумерное подпространство и ортогональное дополнение к нему тоже инвариантно. Пусть ЛВ действует в пространстве алгебры кватернионов и пусть (1 = Ф(1). Кватернион й будет иметь единичный модуль и будет отличен от ~1, ибо 1 и (1 линейно независимы. Положим р = саз ~р + и з(п ~. Пусть и— какой-либо вектор„ортогональный векторам и и ш = ио.
Тогда либо в базисе 1, и, о, и, либо в базисе 1, и, ш, и матрица оператора Ф будет состоять из двух равных блоков. В первом случае .Ф есть оператор левого умножения на р, во втором — правого. Итак, мы получили следующее. 1. Элементы ЗО(4), имеющие в некотором ортонормальном базисе матрицу, состоящую из двух равных блоков второго порядка, разбиваются на два класса в зависимости от ориентации этого базиса.
Эти два класса имеют общими элементами лишь ~-Ю. 2. Элементы каждого класса образуют группу по умножению. 3. Элементы из разных классов коммутнруют. Прямое доказательство этих утверждений без обращения к алгебре кватернионов непросто. 3 3. Внешняя алгебра 1. Определение внешней алгебры.
Под названием внешней алгебры известна ассоциативная алгебра, введение которой, в частности, полезно при построении теории интегрирования в многомерных пространствах. Внешняя алгебра (над данным полем К) строится, если задано некоторое векторное пространство над тем же полем. Элементами внешней алгебры являются формальные «внешние» произведения векторов, причем попарное умножение векторов считается антикоммутативным. Никаких соотношений, кроме тех, которые следуют из дистрибутнвности, ассоциативности н антикоммутативностн, при умножении векторов не предполагается.
Строже определение внешней алгебры можно дать различными способами. Мы дадим следующее формальное определение. Пусть М = (1,2, ..., Л) — множество чисел, составляющее от. резок натурального ряда г1. Символами Г, Гь Гг, будем обозначать подмножества множества Ф, включая само У и пустое мно» жество 8. Каждому Гс: У сопоставим базисный элемент ег внешней алгебры.
Тем самым размерность конструируемой алгебры равна числу подмножеств множества У, 'т.е. 2".Действие умножения во внешней алгебре обозначается знаком Л. Для базисных элементов оно задается следующим образом: 1. Если Г| ПГ, ~ О, то ег, Л ег,=О. 2. Если Г,ПГ,=О, то ег, Лег,=( — 1)~ <г,,гвег пг; Здесь 1пт(ГНГз) обозначает число инверсий, которое образуют числа, составляющие Гь с числами, составляющими Гм АЛГЕБРЫ !Гл хч 2. Ассоциативность. Докажем ассоциативность умножения во внешней алгебре.
Пусть Гь Гг и Гз — три подмножества множества М, Нам нужно доказать, что (ег, Л ег,) Л ег, =вг, Л (ег, Л вг,). Допустим сначала, что хотя бы одно нз множеств Г1 П Гг, Г1 ПГз, Г»П Гз непусто. В этом случае обе части равенства равны нулю. Действительно, левая часть равна нулю, ибо непусто либо Г, Д Гг, либо (Г1() Гг)Д Гз. Аналогично„правая часть равна нулю, ибо непусто либо Гг П Гз, либо Г| П(Гг () Гз). Теперь допустим, что Г1 () Гг = Г| () Гз = Гг () Гз = О. Имеем (ег, Л ег,) Л ег, = ( — 1)'"" Ггп гиег,ц г, Л ег, = ( 1)!пп (Гп ГЯ+!пп (с~ЦГп ГОВГ ег, Л (ег, Л ег,) = ( — 1)'и" гп г'ег, Л ег, и г, =-- — ( 1)Ып (Гп Гн+!пп (Гп Ги ц Г >В г,цг,цг; Но !пч(Г» 0 Гг.
Гз) = шч(ГБ Гз)+ !пч(ГЫ Гз) и 1пч(ГБ Гг() Гз) = =(пч(ГБ Г,)+ !пч(ГБ Гз). Поэтому (ег, Лвг,) Л ег, ег, Л (ег, Л ег,). 3. Градуировка. Степенью базисного элемента ег внешней алгебры называется число элементов, составляющих Г. Элемент ~, агвг называется однородным, если все базисные элементы, вхог дящие с ненулевыми коэффициентами, имеют одинаковую степень. Эта степень называется степенью однородного элемента. Нулевой элемент алгебры причисляется к однородным элементам любой степени. Ясно, что однородные элементы фиксированной степени й образуют линейное подпространство в пространстве внешней алгебры, и его размерность равна числу й-элементных подмножеств множества М, т.
е числу сочетаний С„". Ясно также, что произведение двух однородных элементов есть однородный элемент, степень которого равна сумме степеней сомножителей, если эта сумма не превышает л. Если же сумма степеней двух однородных элементов больше п, то их произведение равно нулю, ибо в этом случае подмножества, индексирующие любую пару базисных элементов, входящих в сомножителн, имеют непустое пересечение. Разложение внешней алгебры в прямую сумму подпространств однородных элементов называется ее градуировкой. Вообще, алгебра конечной или бесконечной размерности называется градуированной, если она может быть разложена в прямую сумму подпространств У», й = О, 1, 2, ..., причем если хеп У», узнать то ху~ У»+ь Разумеется, если градуированная алгебра имеет конечную размерность, то пространства У» при достаточно больших й состоят только из О. Примером градуированной алгебры может служить алгебра многочленов от одной или нескольких переменных.
Эта алгебра имеет бесконечную размерность. Элементы внешней алгебры нулевой степени являются кратными элемента еец который, очевидно, есть единица внешней алгебры. Поэтому элементы нулевой степени естественно отожде- э з! внешняя ьлгеввя ствить с элементами основного поля и называть скалярами. Элементы первой степени образуют п-мерное пространство, на- тянутое на базисные векторы е!, ем ..., е, (мы обозначаем одно- элементные множества (1), ..., (и) просто 1, ..., и, что здесь не приведет к недоразумению). Элементы первой степени будем называть векторами и образованное ими пространство считать пространством, над которым построена внешняя алгебра. Однородные элементы степени 2 называются бивекторами, сте- пени 3 — тривекторами и т.
д.; общий термин — поливекторы: Как уже было сказано, пространство г-векторов имеет размер- ность С'„. В частности, пространство и-векторов одномерно, его элементы имеют вид се» при се= К; пространство (и — 1)-векто- ров п-мерно, и вообще, пространства г-векторов и (и — г)-векторов имеют одинаковую размерность. Из определения произведения ясно, что ег = е„ Л е,, Л . Ле,„ если Г = (1!, см . ° Ц и !! < !г « ... 1,.
Поэтому общий вид г-вектора есть с'*"''е! Ле„Л... Лв,„. с,<с,«...с, Если (!!,!м ..., 1,) — какая-либо перестановка чисел с!,!и ..., !„ то е„Л е!. Л ... Л е!,— — ( — 1)'""1!» ""!г)е!! Л е„Л... Л е,, Выписав индексы !!, гв ..., 1, во всех возможных порядках и положив Ь ! ! "' = — ( — 1) ° ь '" с ' ' "', получим запись !! ...! 1 !ч»1!,!,...г) гс ...с г! г-вектора в тензорной форме: Ь! ' "' 'вг, Л е! Л ... Л ег,. Совокуп!! "! ность коэффициентов Ь ! "' ~ составляет антисимметричный кон!! травариантный тензор. 4. Свойства внешнего умножения векторов. Предложение !. Пусть ! — вектор, Тогда ! Лг=О.
Действительно, если ! = а!е!+ агег+... + а„е„, то ! Л! = !! а !! Я ~ а,а,(е, Л е,) ~ а',(е, Л е,) + )' а,а, (е, Л е, + е, Л е,) = =О, ибо е;Ле!=О, е!Ле!=е<, >и е;Ле!= — е,. при !<!. Предложение 2. Пусть !! и !г — два вектора. Тогда 1! Л Л (г = — !гг Л 6 Действительно, О = (1!+ !г) Л(!! + !т) = ! ! Л !! + !! Л !г+ 6 Л Л(, +(, Л(,=(,'Л Ь+ЬЛ(!. Предложение 3.
Если во внешнем произведении !!Л ... ... Л !» имеется хотя бы одна пара равных сомножителей, то оно равно нулю. Действительно, попарно переставляя соседние множители, добьемся того, чтобы равные оказались рядом. Предложение 4. Пусть 1!, )м ° ° °, !ь — векторы и (аь аь... , а„) — перестановка чисел 1, 2, ..., й. Тогда !„Л („Л . ° ... Л(„„=(-1)'"1 "— ")~,Л),Л ... Л(,. ллгвБРЫ 1гл. хч Доказательство.
От расположения )„,, ~,,, ..., 1„«можно перейти к расположению 1!, )м ..., 1«посредствам транспозиций соседних элементов. При каждой такой транспозиции меняется знак внешнего произведения. Четность или нечетность числа нужных транспознций совпадает с четностью или нечетностью числа инверсий 1пч(и!, г«м ..., а«), что и доказывает предложение. ПУсть тепеРь даны вектоРы 1!, )ь ..., 1,, т ( и, и пУсть Г = = (у!, уь ..., у«) — подмножество множества (1, 2, ..., т). Будем считать, что у! < у«< ... < у».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
