1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Внешнее произведение 1»! Л !т«Л <- Л1»«назовем стандартным (по отношению к выбранной нумерации векторов 1!, 5, ..., 1 ) и обозначим через Рг. Ясно, что если индексы а!, а,, ..., а«составляют множество Г, так что лишь порядком отличаются от уьум, у«, то 1„! Л 1„Л ... ... Л !,« —— ( — 1)'""1"'*"'"'' «1Рг Это следует из предложения 4» П р е д л о ж е н и е 5 Рг, Л Рг.
= О, если Г! П Г«Ф И, и Рг, Л Рг, — ( 1)!ьиг,. ! !Рг нг. если Г! () Гз= 0 ° Доказательство. Пусть Г,=(у„..., у«), у, <у,<... < уы и 1', = (у«+!, ..., у!), у«+! «... у!. Тогда Рг, Л Рг, = =»!т! Л (т, Л Л Ь«Л !«т«»! Л ... Л 1т!. Если Г!ПГ«ФИ, то среди множителей в последнем произведении найдутся равные, и произведение равно О. Если же Г! !) Г« =8, то Рг Л Р„вЂ” ( 1)!""(т ть" ты«+! "ьт!)Рг„г — ( 1)!""(г!,г)Рг„г, нбо !пч(у!, ум ..., у«, у««!, ..., у!) =!пч(Г!, Г«). 5. Автоморфизмы внешней алгебры. Пусть векторы 1!...,, )„ линейно независимы и число их равно размерности пространства векторов, так что они образуют базис.
Докажем, что элементы Рг, когда Г пробегает все подмножества множества й!=(1,..., и), составляют базис внешней алгебры. Число элементов Рг равно, очевидно, размерности внешней алгебры, так что нам достаточно показать, что элементы Рг порождают внешнюю алгебру как век. торное пространство. Но это почти очевидно — исходные базисные элементы еь ..., е«ЯвлЯютсЯ линейными комбииациЯми 1!, ..., („, и, следовательно, при любом Г ~ Ф, ег = от! Л ет, Л ..
Л ет«есть линейная комбинация внешних произведений векторов 1!.. взятых по К. Все такие произведения либо равны нулю, либо с точностью до знаков являются стандартными произведениями. Таким образом, стандартные произведения Рг порождают в виде линейной комбинации все базисные элементы ег внешней алгебры, а значит, и все элементы внешней алгебры являются их линейными комбинациями, что и требовалось доказать. Заметим, что из приведенного рассуждения следует линейная независимость всех 2" стандартных призведений Рг и, в частности, неравенство нулю каждого из них. ВНЕШНЯЯ АЛГЕВРА Итак, наряду с исходной системой базисных элементов (ег(Гс: У) внешней алгебры можно взять в качестве базиса любую систему (Р;(Г~Ф), где гг — стаядартные произведения, построенные, исходя из какого-либо базиса 1ь ..., 1„пространства векторов. В силу предложения 5 таблицы умножения для (гг (Г~ М) и (ег(Г~ Ж) одинаковы, т. е. переход от базиса (ег) к базису (гг) есть автоморфизм внешней алгебры.
Сами элементы ег н гг получаются из нумерованных базисов еь..., е„н (, пространства векторов одинаковым способом — посредством составления стандартных произведений для каждого Г с: У. 6. Условие линейной независимости векторов в терминах внешней алгебры. Теорема б, Для того чтобы система векторов (ь 1» ° ° ° 1» была линейно независимой, необходимо и достаточно, чтобы 11 Л(»Л ... Л1» чь О.
Д о к а з а т е л ь с т в о. ПУсть система (ь 1Н ..., 1» линейно независима. Тогда ее можно дополнить до базиса 1ь (и ..., 1», 1»+ь ..., 1„. В силу сказанного в п. 5 стандартные произведения Ьт1 Л Ь, Л Л Ьт», у1« ° ум все отличны от нуля, в частности, (1 Л6Л ... /ф,~О. Если же система (ь (э ..., 1» линейно зависима, то один нз ее векторов 1; есть линейная комбинация остальных: (т+ь ..., 1» и произведение 11Л ... Л1»=11Л ... Л/; 1Л Л(с1и+ ...
+с; 1)г-,+с+4»1+ ... +с»1»)Л(+1 Л ... Л1» есть линейная комбинация внешних произведений, в каждом нз которых имеется пара равных сомножителей. Все они равны нулю. Тем самым теорема доказана. 7. Внешнее произведение и векторов. Пусть (ь ..., 1„— система из п векторов в пространстве с базисом еь ..., е„: (, = апе, + аг»е» +... + а,„е„, ),=ане, +а»»е»+ ° . +и»„е„, („=а„,е, +а„,ез+... +а„„е„.
Матрицу коэффициентов (аи) обозначим через А, Рассмотрим (~ Л1» Л ... Л (,. Из предыдущего ясно, чго это произведение есть однородный элемент степени я, н, следовательно, лишь множителем а отличается от ея = е1 Л е» Л ... Л е.. Из свойств внешних произведений мы можем без вычислений сказать о некоторых свойствах этого множителя. Из дистрибутивности внешнего умножения следует, что этот множитель есть линейная функция от каждого нз сомножителей, т. е. линейная функция от элементов каждой строки матрицы А.
Далее, этот множитель меняет знак при перестановке двух сомножителей, т. е. при перестановке двух строк матрицы. Наконец, если матрица А единичная, т. е. (т = ен т'= 1, 2, ..., н, то множитель а равен 1. Мы знаем, лов ллгев~ ы 1гл хт что этими свойствами обладаат определитель матрицы А, и, бо- лее того, можно показать, что определитель характеризуется этими свойствами. Таким образом, должна быть верна формула: 1! Л)г Л ... Л(»= ие1Ае! Лег Л ... 'Л'е . (1) Убедимся в этом прямым вычислением. Имеем 1!Л)гЛ Л1 = Е !а!игаг' 'и»аеа!Ле„Л". Ле,„. а!,..»а» ! Здесь индексы иь аь ..., сг„независимо пробегают значения 1, 2, ..., и. Значительная часть слагаемых в правой части равна нулю. Именно, это будет, если среди значений индексов а!, аг, ... ..., а» встретится хотя бы пара равных.
Если же значения иь гхв ..., а„ попарно различны, то они образуют перестановку чи- сел 1,2, ..., и, и тогда ецЛе,,Л ... Л е,„=( — 1)'"'!' '* """")е! Л ег Л ... Л е„. Итак, г! Л !г Л ' Л !» ( — 1) ' '"" ")ага|пгаг ° '" и»а»е!ЛегЛ ° ° ° Ле,= (а, а,..эа„) =де1Ае! Лег Л ° ° Ле„, согласно определению определителя (под знаком суммы (и!, аг,... ..., и„) пробегает все перестановки чисел 1, 2, ..., п). Заметим.
что если базисные векторы е!, ем ..., е, заменить на любую систему аекгоров я!, дг, ..., д„(быть может, зависимую), то в силу п. 4 все вычисления сохраняются, так что если ~!=а!!д!+... +а!„д„„ я! = спе, +... + с,„е„, яг = сг!е! + ° - ° + сг„е», и ~„=Ь„,д,+... +Ь„,д„ и„=с„!е,+...
+с„„е„, ). =и.!б!+." + и..й., где я„д„..., д» вЂ” любая система векторов, то 1! Л ... Л г» = бе1А д! Л ... Лд„, где А =(ан). Выведем теперь в качестве следствий из формулы (1) некото- рые свойства определителей, ранее полученные другими сред- ствами. Следствие !. Для того чтобы векторы 1!, ..., 1, были ли-' нейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы !(е1 А ныл, Для этого заключения достаточно сопоставить формулу (1) с теоремой 6. Сл едств ие 2 (теорема об определителе произведения двух квадратных матриц), Пусть ~, =бил, +...
+Ь,„й„, !г = Ьг!Й! +... + Ьг»н»~ ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА причем ен е„..., е,— линейно независимая система. 'Тогда )!=ане, + ... +а,„е„, )В аме,+... +а,„е„, )„=а„!е!+... + а„„е„, причем А = ВС, А = (ап), В =(Ьп), С =(с!!). Применив формулу (1), получим, с одной стороны, 1! Л (В Л ... Л (, = де1 В д! Л дз Л ... !Л а = = де1В де1 Се! Лез Л ... Ле,. С другой стороны, (! Л1В Л ... Л(,=де1Ае! Лез Л ... Ле.. Сравнив коэффициенты при е! Лез Л .. Ле„, получим де1А = = де1Вде1С Следствие 3 (формула для определителя ступенчатой ма- трицы). Пусть 1а, ! аы 0 а„° а 0 ... 0 аа+! ! . аа В! А аа+! А+! ... аа„! „ ~л, .+~ а! ''' аа ... а а а. А!! ' ' ' Ра ПОЛОЖИМ 1! =- а не, +... + а, Аеа, !А — — аме, +...
+ аааеы 1А+! — — аа+,,е, +... +па+!,Аеа+аа+, А+,еа+, +... +а„+, „е„, 3 последнем внешнем произведении мы можем опустить в выражениях (А+!, ..., ), слагаемые, содержап1ие еь ..., еа, ибо они аннулируются множителем е! Лез Л ... Леа. Поэтому ~,ЛЬЛ . Л~ = =(де1А! е! Лез Л ... Леа)Л(де(АВеа+! Л ... Л еа) = = де1 А! де1 Аз е! Л ез Л ... /' еа, откуда де1А = де1А! де1АБ =а„,е, +...
+а„аеа+а„,а+,е„, +... +а„е„. Тогда, с одной стороны, 1! Л!з Л ... Л!А Л)А+! Л ... Л1,= = де1 А е! Л еа Л ... Л е„. С другой стороны, !! Л!ВЛ Л~ — ()! Л .. Л~А)Л((А+!~~ ° ° ' Л! )— = де1А!е! Л ... Леа Л1А+ Л... Л) 1гл. кч »лгевеы 8. Внешнее произведение й линейных комбинаций и» векторов при Ф ( пт. Пусть 1!-апя!+... +а, д, ~»=а»!д!+...
+а» д„. Пусть М = 11,2, ..., т) и Г = 1у!,'уг, ..., у») с: М, причем у! 7» ( . ( ум Обозначим через Аг минор матрицы А (а!!), составленный из столбцов с номерами у!,у», ..., у», т. е. !у! ". "!т» »»т " е»т Через О г обозначим стандартное внешнее произведение Ь! Лйт»Л ... Лат». Предложение 7. Справедлива формула )! Л1»Л ..
'Л1»= АгОг, где сумма распространена на все й-элементные подг множества множества М. Д о к а з а т е л ь с т в о. 1! Л 1» Л Л 1» Е а!а!а»»» ' ' а»а»И»! Л Ыа» Л Л йа». а„..ь а» Здесь а!, ..., а» пробегают независимо значения 1, 2, ..., гп. Если среди а!, ..., а, имеются равные, то соответствующие слагаемые равны нулю и их можно опустить. Остается а„,а,, а„»к„Л й»» Л ' ' ' Л И»».
а; Ф а! Оставшиеся теперь комбинации значений индексов составляют все й-элементные подмножества Г множества М, причем каждое подмножество встречается й! раз, ибо наборы !а!, ..., сс,) при данном составе элементов встретятся во всех возможных порядках. Пусть уь у», ..., у» — элементы подмножества Г, расположенные в порядке возрастания: у! ( у» ( ...
( т». Тогда наборы (а!, аь ..., а»), поставляющие одно н то же подмножество Г, представляют собой перестановки чисел уь ум ..., т». Объединяя слагаемые, соответствующие одному и тому же подмножеству Г, и складывая получившиеся суммы для всех 1', получим 7! Л ЙЛ Л1»=Х Е а!а! ' а»а»Я»! Л ''' Лйа» Г(а, ...,а»1 где !а!„..., а») пробегает все перестановки чисел уьум ..., у». ! — 1)ы'1'"'' »)Ог.
Поэтому получаем 1!Л!»Л .. ° Л!»= внешняя ллгеагл ( — 1)'""(" "' '»)а,„,... а»а 10г Х Аг0г так как г ~(аь ..., а») г а1т ." »1т» ( — 1)'""("1 "' '»)а1»1 ° ° а»а»= ........ =Аг согла(а„..., а») »т, ." »т» сно определению определителя. Заметим еше, что если (1 =анд~+ ... + аь„д,„, ..., )»= — а»101 + ..., + а»ад и й ) т, то (~ Л ... Л )» = О, ибо в этой ситуации векторы ~ь ..., (» образуют линейно зависимую систему. В том же легко убедиться и формальной проверкой — в выражении (, Л ... Л~» через внешние произведения аь, у мы в каждом слагаемом будем встречаться с равными множителями. Из доказанной формулы легко выводятся еше некоторые свойстваа определителей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
