1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Действительно, если у БАХ, то гр(у) = О, но тогда <р(ху) = гр(х) р(у) = О и гр(ух) = гр(у)<р(х) = О при любом хяА. Значит, ху я Х и ухе У, т. е. Х есть двусторонний идеал. Для того чтобы показать, что любой двусторонний идеал есть ядро некоторого гомоморфизма, нужно осуществить построение факторалгебры А/У, т. е. ввести естественным образом действие умножения в факторпространстве А/Х.
Вспомним, что факторпространство А/Х состоит из классов сравнений по модулю Х. Линейной комбинацией классов считается класс, содержащий такую жв линейную комбинацию представителей, и этот класс не зависит от выбора представителей в силу очевидного свойства сравнений по надпространству. Введем столь же естественным способом действие умножения классов. Именно, произведением двух классов назовем класс, содержащий произведение любой пары представителей от умножаемых классов.
Корректность этого определения, т. е. независимость класса от выбора представителей, обеспечивается следующей леммой. Л е м м а. Если У вЂ” двусторонний идеал алгебры А и если х, = им уг(щей Х) и хг - =у,(гпод Х), то хгх» — = у,у,(гпод У). Доказательство. хгхг — у у, = хг(хг — уг)+(х,— уг)у»БаХ, ибо хг — у«еи Х, хг — уг еи Х и Х есть двусторонний идеал.
Лемма доказана. Итак, в факторпространстве А/Х мы ввели умножение. Его линейность относительно каждого из сомножителей следует из билинейности умножения в алгебре А. Ясно, что А/Х есть гомоморфный образ алгебры А при «естествеггном» отображении, соотносящем каждому элементу хеп А содержащий его класс. То что это отображение гомоморфно, следует из определения действий в А/Х. Справедлива также следующая теорема.
Теорема 1, Гомоморфный образ алгебры изоморфен факторалеебре но ядру гомоморфизма. Доказательство почти очевидно — легко проследить, что прообразами будут классы по ядру, т. е. элементы факторалгебры, и их умножение соответствует умножению образов. Алгебра, не имеющая двусторонних идеалов, кроме себя и нуля, называется простой алгеброй.
Легко видеть, что алгебры с делением могут быть охарактеризованы как алгебры, не имеющие правых (левых) идеалов, кроме себя и нуля, и отличные от алгебры размерности 1 с нулевым умножением. овшня сввдвння звз 5. Присоединение единицы. Единицей алгебры А называется элемент 1, удовлетворяющий требованиям 1 х = х 1 = х при любом х ен А, Единица в алгебре может существовать, может н не существовать. Если существует, то только одна: если Г и 1" — две единицы, то Г1" = 1", так как 1' †едини, и Г!" = 1', нбо 1"— тоже единица, т. е.
Г = 1". Однако всегда можно погрузить алгебру А в алгебру А на единицу большей размерности так, что в алгебре А единица есть. Действительно, положим А = Ке 9 А и введем в А умножение по правилу: (с|е+ х1) (сте+ х,) = с,сте+ с1хг+ сзх1+ х,х, при любых сь с,~ К, хь хгеп А. Ясно, что введенное умножение билннейно,так что А — алгебра. Далее, е(се+х)=се+х и (се+х)е=се+х, так что е есть единица алгебры Х. Действия над элементами из А внутри Х не отличаются от действий над ними внутри А. Переход от алгебры А к алгебре А называется внешним присоединением единицы.
Если в исходной алгебре А единица была, то в расширенной алгебре она перестает быть единицей. Ясно, что алгебра А является двусторонним идеалом для Х и факторалгебра Х/А изоморфна полю К. Легко проверяется, что если алгебра А ассоциативна, то и А ассоциативна; если А коммутативна, то и Х коммутативна. Но, например, антикоммутативность (и лиевость) алгебры не сохраняется при внешнем присоединении единицы, так что эта операция для аитикоммутативных (и лиевых) алгебр не целесообразна. 6. Вложение ассоциативной алгебры в алгебру матриц. Теорема 2, Ассоциативная алгебра с единицей размерности и над полем К изоморфна некоторой подалгебре алгебры квадратных матриц порядка и.
Если единицы нет, то возможно погружение в том же смысле в алгебру матриц порядка и или и+ 1. Доказательство. Пусть Ы,— оператор левого умножения на элемент х в ассоциативной алгебре А размерности и. Из ассоциативности х(уг)=(ху)г следует, что умножить слева на ху все равно, что сперва умножить на у, потом на х. Это значит, что 2',„=.'7,2'„(при левой записи операторов), т. е. что отображение х э.'У~ есть не только линейное отображение пространства алгебры А в пространство операторов, но и гомоморфизм алгебры А в алгебру операторов.
Ядро этого гомоморфизма состоит из тех элементов х~ А, которые аннулируют все элементы алгебры при умножении слева, т. е. таких, что хг = 0 при всех г ~ А. Если таких элементов нет в алгебре А, кроме нуля, то отображение х~ Я, есть изоморфное отображение алгебры на подалгебру алгебры линейных операторов, состоящую из операторов левого умножения.
В свою очередь, алгебра всех линейных операторов, действующих в пространстве алгебры А, изоморфна алгебре квадратных матриц порядка и. ясно, что если алгебра содержит !. то х ! = х, и ядро отображения х~ — ~Я'„состоит только нз нуля. Поэтому для алгебр с единицей теорема доказана, АЛГРВРЫ !Гл хч Если же ядро нетривиально, то перейдем к алгебре А посредством внешнего присоединения единицы. Обозначим через У„оператор умножения на хан А в алгебре А. Ясно, что снова У,У„ У,„при любых х, у~ А.
Но на этот раз ядро гомоморфизма х ь У, состоит только из нуля, ибо из х.1 О следует х = О. Таким образом, отображение х-ь.У, есть изоморфизм алгебры А в алгебру операторов, действующих в пространстве алгебры А, которая, в свою очередь, изоморфна алгебре матриц порядка л + 1. 1) 2. Алгебра кватернионов 1. Определение. Алгеброй кватериаоиов называется алгебра размерности 4 над основным полем, обладающая единицей 1 и имеющая базис 1, У, 1, й со следующей таблицей умножения: Р Уз вз — 1, юу — р Ь, уй= — /гУ й Ь1 — 1Ь у.
Основное поле может быть взято произвольно. Наиболее интересной для приложений является алгебра кватернионов над полем (к ввщестиенных чисел, которая и будет исследоваться в дальнейшем. Прежде всего установим ассоциативность алгебры кватерннонов. Для этого следует проверить 27 равенств (три возможности для каждого из трех множителей в равенствах (аЬ)с а(Ьс), проверяемых для базисных элементов 1, У, й). Мы избежим этого, установив изоморфизм алгебры кватернионов над Р и некоторой алгебры матриц специального вида над С.
Именно, единице 1 Г1 О~ сопоставим единичную матрицу Е ~ о 1 ~ второго порядка, эле- Г! Ох менту 1 алгебры кватернионов — матрицу У ( о, ) (здесь элемент матрицы (ев.Сз — обычная мнимая единица, так что нами сознательно допущена путаница в обозначениях — буква 1 обозначает в одном контексте два разных объекта), элементу у сопостао Г о вим матрицу У= ( 1 о ) и элементу й — матрицу К=( ).
Равенства Уз = УР К' — Е, УУ = — УУ К, УК = — КУ=У, КУ= — УК У легко проверяются. Они означают, что пространство матриц, натянутое на матрицы Е, У, У, К, образует алгебру, изоморфную алгебре кватернионов. На основании ассоциативности умножения матриц мы заключаем об ассоциативности алгебры кватернионов. Заметим, что если за основное поле принято поле .С комплексных чисел, то алгебра кватернионов (над С) окажется изоморфной алгебре Мз(С) всех квадратных матриц второго порядка над С, ибо матрицы Е, У, У, К линейно независимы иад '.'С1 и их линейные комбинации заполняют всю алгебру Мз(С).
". Связь алгебры кватернионов с векторами в трехмерном евклиловом пространстве. Пусть а = а+ Ы+ с(+ йя — кватериион Число а называется скалярной частью кватерниона. Кватернион АЛГЕВРА кВАТВРННОНОВ Ьг+ с)+ йй называется векторной частью кватерииоиа а. Кватерниоиы с нулевой скалярной частью будем называть векторами, они, естественно, изображаются как векторы трехмерного евклидова пространства.
Пусть и, = Ь,1+с|11+й|Ь и иг Ьгз'+с21+йгй — два вектора. Вычислим их произведение (в алгебре кватерннонов) и|из —— ЬДЬ2|+ Ь!|сг1 + Ь!(йгй+ с|(Ь21+ с|]сг]+ с,)йгй+ + й|ЬЬ2| + й|йси' + й|йдгй = — Ь|Ьг — с|сг — й|йг+(с|аз — д|сг) з+ + (й Ь, — Ь!аг)/+(Ь| сг — с|Ь2) й = — (иь иг)+ [и|, иг] (здесь [и|, иг] — векторное произведение векторов и, и иг). Таким образом, скалярной частью кватерниона и|из оказывается скалярное произведение векторов и|, иг, взятое с обратным знаком. Векторная же часть кватерниоиа и|из равна векторному произведению векторов иь иг. Тем самым операция умножения векторов как элементов алгебры кватернионов как бы объединяет оба умножения векторов — скалярное и векторное.
Далее, легко видеть, что иги| = — (иг, и|)+ [из, и|] = — (иь и,) — [и|, иг]. Отсюда 1 1 (и| и2) г (и|иг+ и2и|) [и| иг! з (и|из |22и|) Из последней формулы немедленно следует известное в векторной алгебре соотношение Якоби [[и|, иг], из]+[[им из], и|]+ + [[им и|], иг] = О. Достаточно принять во внимание связь между ассоциативными алгебрами и алгебрами Ли (см. п. 3 $1). 3. Алгебра кватерниоиов как алгебра с делением, Пусть дан кватернион а = а+ Ы+ с]+ йй = а+ и. Кватернион а а— — Ы вЂ” с)' — йй = а — и, отличающийся от а знаком векторной части, называется сопряженным с кватернионом а. Ясно, что а = сз.
Умножим кватернион и на сопряженный о. Получим |Ай= = (а+ и) (а — и) = аг+ аи — аи — иг аз+ (и, и) — [и, и] аг+ +(и, и)= аз+ Ьг+сг+йг. Поэтому, если а ФО, то аа ) О. Заметим еще, что |га =асс. ч ~|и=~| -~-э.|-Р-~-з' дь юР- пиона а н обозначается через ]а]. Теперь легко установить, что каждый отличный от нуля кватерниои и имеет обратный. Действительно, ~= а) а =а ~ — „д а) = 1, так что обратным кватернионом ! для сз яиляется — ° а. Таиим образом, алгебра кватернионов иад полем Р есть алгебра с делением. Заметим, что здесь существенно было использовано то обстоятельство, что за основное поле принято поле )г: заключение о ие- хлгявеы 1гл, хч равенстве нулю а'+ Ь'+ с'+г(г при ачь0 было бы неверно, например, для поля ( или поля вычетов по простому модулю.
4. Тождество Эйлера. Т е о р е м а 3. Модуль произведения двух кватернионов равен произведению модулей соггножителеи. Доказательство. Сначала докажем, что кватернион, сопряженный с произведением двух кватернионов, равен произведению сопряженных кватернионов, взятых в обратном порядке. Действительно, пусть а = а+ и, р = Ь+ о, где а, ь еп Р, и и о— векторы. Тогда ар = аЬ + ао+ Ьи + ио = аЬ вЂ” (и, о)+ ао+ Ьи + + [и, о). Далее, [3а = аЬ вЂ” ао — Ьи+ ои = аЬ вЂ” (о, и) — ао — Ьи + ;-[- [о, и) =аЬ вЂ” (и, о) — ао — Ьи — [и, о) =ар.
Теперь имеем [а[3 ['= =а[3 а[3 =сгр[3а =сг[р[га =[8[г[а[г, откуда [ггр[=[а[ [[3[, что и требовалось доказать. Распишем теперь тождество [а[3[г = [а[г[(3[г через компоненты кватернионов, положив а = а1 — Ьй — с11 — с(1Ь, р = аг+ + Ьг(+ сг)+ йгй, так что сср = а,а,+ Ь|Ьг+ с~сг+ Айг+(аЬ,— — Ь|аг — сийг + д,сг)1+ (а,с, + Ь!йг — с,а, — а10г)[+ (а,йг— — Ь,с,+ с~Ьг — Ааг)Ь. Получим известное тождество Эйлера: (аг+ Ь', + с'; + й-',) (аг+ Ь, '+ сг+ д,') = =(а а, +Ь Ь,+с с, +с(фг)'+(а Ьг — Ьа,— саг+й с)'+ позволяющее выразить произведение двух сумм четырех квадратов в виде суммы четырех квадратов билинейных выражений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
