1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 70
Текст из файла (страница 70)
+ ах, то Феь = ел+1 — а1еь — азек 1 —,. — аье1, ,Фе22 = е22+, — а,е„— а,е„, — ... — аье2.2„ Фе А = — а1е 2 — ате А 1 — ... — аье1„-ПА+1 и Фе1 =е;+1 при й не делящемся на й. В этом базисе матрица оператора зР состоит из диагональных блоков, каждый из которых равен сопровождающей полипом ф матрице, «связанных» единичками, примыкающими снизу и слева Фй ЛННЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ВЕКТОРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 329 к соседним блокам.
(Эти единички возникают из первых слагаемых в выражениях .Фе»,,Фез», ..., Ме< ОА через базис.) Если осуществить такой выбор базиса во всех примарных циклических пространствах, мы получим форму матрицы, которую назовем общей канонической формой. Она лучше грубой формы тем, что в ней участвуют сопровождающие матрицы для самих неприводимых полиномов, а не для их степеней. Общая каноническая форма принимает особо простой вид в случае, если характеристический полинам разлагается на линейные множители, так что минимальные полиномы примариых циклических слагаемых имеют вид (! — Л)'".
В этом случае сопровождающая матрица для полинома ! — Л есть матрица первого порядка Л, и каноническая матрица на примарном циклическом пространстве имеет вид Л О О ... О О х о ... о о о ! л ... о о О О О ... ! Л Такая матрица называется каноническим блоком Жордана. Матрица оператора на всем пространстве примет вид блочно-диагональной матрицы,' составленной из блоков Жордана.
Такая матрица называется канани«еекой матрицей Жордана. Диагональные элементы канонических блоков являются корнями характеристического полинома, и каждый корень может входить в несколько блоков. Ясно, что кратность корня характеристического полинома равна сумме порядков блоков Жордана с этим корнем на диагонали. В частности, если характеристический полипом не имеет кратных корней, то порядки всех блоков Жордана равны 1 и каноническая матрица оператора принимает особо простой вид «((ац(ЛН Л„ ..., Л ), где Лн Лм ..., Л вЂ” корни характеристического полинома.
Вместо общей канонической формы матрицы оператора на примарном циклическом пространстве иногда оказывается удобной так называемая блочно-жорданова форма. В этой форме по диагонали расположены блоки из сопровождающей матрицы неприводимого полинома, но блоки «связаны» не единичками, как в общей форме, а единичными матрицами, например, матрица имеет вид: (Б А ). Можно доказать, что если неприводимый полинам ~р сепарабелен, т. е.
не имеет кратных корней ни в каком расширении основного поля, то матрица оператора на примарном циклическом про- ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ~гл хп странстве с минимальным полиномом р"' может быть приведена к блочно-жордановой форме. Мы не будем это доказывать в столь обшей ситуации. Но сепарабельность <р здесь существенна. Чтобы это продемонстрировать, рассмотрим пример. Пусть Ка = ОГ(2) и К = Ко(у).
Полинам ~р (() = Р— у е= К [([, очевидно, неприводим в поле К, так как если бы он был приводим, то раскладывался бы и в кольце полиномов КР[у, (], что не имеет места. Ов не сепарабелен, ибо его производная равна нулю. Его сопровождающая матрица есть [ 1 о ). В циклическом пространстве с минито Рх мальным полиномом ф общая каноническая форма есть а блочно-жорданова 1 0 0 0 Нетрудно проверить, что над полем К не существует преобразования подобия, переводящего А в В.
С этой целью следует рассмотреть систему шестнадцати линейных однородных уравнений с шестнадцатью неизвестными, именно, элементами матрицы С, такой что АС= СВ. Из рассмотрения этой системы нетрудно получить (учитывая, что характеристика поля К равна 2), что первые две строки матрицы С состоят из нулей, так что невырожденной матрицы, удовлетворяющей уравнению АС = СВ, не существует. Конечно, неприводимые иесепарабельные полиномы могут существовать только над полями с ненулевой характеристикой. Для полей характеристики О, в частности для числовых полей, неприводимых несепарабельпых полнномов не существует. 12, Оператор проектирования. Пусть 5 = Р Я О. Тогда любой вектор г ее 5 однозначно представляется в виде г = х + у при х еп Р и у ее О.
Вектор х называется проекцией вектора г иа Р параллельно О, вектор у, соответственно, — проекцией вектора г на О параллельно Р. Если г = с,г1+ с,гм г = х+ у, г~ =к~ + у,, гз — — хз+ у,, то г =(с1х~+ с,хз)+(с,у1 + сзуз), так что х = = с,х, + с,хь Переход от вектора г к вектору х называется опеРатоРом пРоективоеанил или пРоектоРом. Если г = с~г1+ стгм то х = с,х|+ сзхь Поэтому оператор проектирования линеен, Далее, если х ее Р, то его разложение на векторы из Р и Я есть х = х+ О.
Следовательно, оператор проектирования действует на векторы из Р как единичный оператор, а на векторы нз О в как нулевой. эм ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 8 ВЕКТОРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 331 Пусть л3 — оператор проектирования 5 на Р параллельно Я. Тогда при любом г ен 5 вектор л3г принадлежит Р, так что .Ф(.Фг) = лФг, Таким. образом, оператор .~Р—,ЕА аннулирует все векторы из 5, и тем самым .яР— Ф = О, т. е..юР =,дК.
Оператор,Ф, для которого Ф' =,Ф, называется иделтотентным. Таким образом, оператор проектирования идемпотентен. Справедливо и обратное, любой ндемпотентный оператор, отличный от О и 8', есть оператор проектирования. Действительно, пусть,ФЕ =,Ф. Обозначим,Ф5 = Р и (Ю' — Ф)5 = Я. Для любого ген 5 верно равенство г =.4г+(8 —.ЕА)г = х+ у при хан Р, уен(г. Следовательно, 5 = Р+ (г. Остается доказать, что эта сумма прямая.
Пусть и ен Р() Я. Тогда и = .яАг1 н и = =(У вЂ”,Ф)ге при некоторых гь аз ~5. Из первого представления следует„что Фо = Фег1 = .~Фг1 = и, из второго, что,ФВ = =(ЙА —,Ф )Ел=О. Таким образом, В=О и 5 = РВ О. Следовательно, нз равенства г=х+у при х =Фген Р и у =(8 —.4)ге ~9 следует, что х = я~г есть проекция вектора г на Р параллельно ф В базисе, составленном из базисов Р и Я, оператор проектирования имеет диагональную матрицу, ибо все векторы из Р являются собственными векторами для собственного значения 1, а все векторы из Π— собственные векторы для собственного значения О.
Поэтому матрица имеет вид ~НА О~ где й = б(т Р. 13. Полуобратные линейные отображения. Пусть лФ вЂ” любое отображение пространства 5 в пространство Т, Положим нег Ф = = Р и обозначим через 5В какое-либо подпространство, допол- няющее Р до 5, т. е. такое, что Р+5В = 5. Положим Т, =,Ф5, и пусть 1;1 — какое-либо подпространство, дополняющее Т, до Т, т. е, Те+у = Т.
Тогда Ф отображает 5, на Тъ ибо векторы из Р отображаются на нулевой вектор. Ядро этого отображения состоит только нз нулевого вектора, ибо 5о и Р пересекаются только по О. Поэтому ограничение л3е оператора Ф на 5Е имеет обратный оператор определенный на подпространстве Те пространства Т. Пусть лФ<-н есть продолжение .Ф-,' на все пространство Т, отображающее векторы нз О в нулевой вектор пространства 5. Ясно, что лГЛ-Н есть линейный оператор, действующий из Т в 5. Он называется лолуобрагным для .~Ф. Разумеется, мГ<-и зависит от выбора подпространств 5а и Я, Для,Ф~-И подпространство О является ядром и 5 — образом.
Подпространство Те составляет прямую сумму, равную Т, с ядром (;> оператора Ф<-", и подпространство Р дополняет образ 5ь опе- ратора Ф~-н до пространства 5. Таким образом, поменяв ролями ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 332 [гл. хп 5 и Т, 5Р и Тъ Р и >,>, мы можем построить (.~Ф<-»)<-».
Ясно, что ( 4е>->>) 4-» —,ф Оператор М'-НМ отображает 5 в 5, Если г = х+ уев 5 прн х я 5м у ~ Р, то Фг =,Фх = Мех я Т и М - Ыг = зй„->зРчх = х. Таким образом, Ф'-»,>>> отображает любой вектор г из 5 на его составляющую х в разложении г = х+ у, х ен 5м уев Р. Оператор Ф<-»мт проектирует векторы из 5 на подпространство 5» параллельно надпространству Р. Соответственно, оператор,Ф,Ф>-», отображающий Т в Т, проектирует векторы из Т на подпространство Т, параллельно ().
Полуобратный оператор зР'-» обладает свойством в>3л34->М = = Ф. Действительно, если г = х+ у, х еэ 5ы у ен Р, то Я>->Юг = =к н зР,Ф->,Фг=Мх =Мг, ибо х и г отличаются слагаемым из ядра .Ф. Это верно для любого г ен 5, следовательно,.Ф.>Р>' ПМ=.Ф. Соответственно, .~' — О.РР.>в" - ч = зР>- ". Предложение 15. Если оператор М из 5 в Т и оператор Я из Т в 5 связаны соотношениями,ФЯ,Ф = Ф и ЯМЯ = Я, то Я = =.~Р' '> по отношению и некоторым прямым разложениям пространств 5 и Т. До к аз а тельство. Иэ я~Язэ =.~Ф следует, что ЯМЯ,Ф = = ЯМ, т. е. ЯМ есть идемпотентный оператор из 5 в 5. Следователшю, он является оператором проектирования. Обозначим через 5, надпространство, на которое ЯМ проектирует 5, и через Р— подпространство, параллельно которому происходит проектирование.
Г1роверим, что Р = кег.Ы. Действительно, если х ~ Р, то ЯФх = О и зФЯФх =,Фх = О, так что Р ~ нега'. Обратное включение тривиально. Из того же соотношения зРЯ,Ф = Ф заключаем, что зФЯЫЯ =,ФЯ, т. е. зРЯ вЂ” идемпотентный оператор'из Т в Т, т. е. оператор проектирования. Введем Обозначения Т» и Я для образа и ядра,ФЯ. Операторы .Ф и Я осуществляют взаимно обратные отображения подпространств 5» и То, ибо ЯзР действует на 5» как единичный оператор,,ФЯ действует таким же образом на Т,.
Остается доказать, что 9 аннулируется оператором Я. Здесь используется соотношение Я,ФЯ = Я. Действительно, при у еэ (~ будет Яу = Я(.МЯ) у = О, ибо лРЯу = О. Для операторов, действующих из 5 в 5, тоже можно определить полуобратные операторы, исходя из двух, вообще говоря, различных разложений 5 в прямую сумму надпространств„— одно разложение 5 = Р+ 5м другое 5 =,зФ5+ 1>. Имеется ситуация, когда эти разложения можно взять одинаковыми. Именно, если подпространства,Ф5 и Р = йег,Ф пересекаются только по нулевому вектору.
Это значит, что если,ФЕНСО, ТО,Ф(.Фг) =.ФзгФО. Тогда и,Фзг, и Ф>г, и т. д.— все отличны от нулевого вектора. Таким образом, поставленному ограничению можно дать такую формулировку: из,>4г'г= О при й ) 2 должно следовать, что .~Фг = О. Взяв в этом случае разложение 5 = э б! ОПЕРАТОРЫ В ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ НАД ззз =.Ф5Е Р, т. е. положив 52 = Ф5 и Я =Р, придем к полуобратному оператору,Ф1-ц, для которого ФМ<-11 и Ф1-11,Ф равны, именно, равны оператору проектирования НВ,Ф5 параллельно Р. й 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
