1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Но он не аннулирует иь ибо [,([) не делится на минимальный аннулятор этого вектора. Получим с[1;(Ф)и; = О, откуда с; =О, ибо 1[(Ф)и;~ чь О. Это верно для всех [ = 1, ..., й. Теорема 9. Векторное пространство 5 над е., в которо,н действует оператор М, разлагается в прямую сумму корневых подпространств. Д о к а з а т е л ь с т во. То, что сумма корневых надпространств есть прямая сумма, следует нз линейной независимости векторов из различных корневых подпространств.
То, что эта сумма заполняет все пространство Я, следует из предложения 8 предыдущего параграфа, ибо полиномы ([ — Л[) ', ..., ([ — Л»)» произведением которых является минимальный полинам, попарно взаимно просты. Теорема доказана. Теорема 9 есть, конечно, частный случай теоремы 9 предыдущего параграфа. опвгьтогы в ввктоеных пгостгьнствьх ньд с Ззт 3. Нильпотентный оператор. Оператор Я называется нильпотентным, если некоторая его степень есть нулевой оператор. Наименьший показатель степени, обладающей этим свойством, называется показателем нильпотентности. Таким образом, если т есть показатель нильпотентности оператора Я, то Я = О, но Я" — ' Ф О, Ясно, что минимальный полипом для нильпотентного оператора показателя гп есть 1 .
Нильпотентный оператор имеет единстненное собственное значение О. Все векторы пространства являются корневыми. Высоты их не превосходит показателя нильпотентности, и существуют векторы, высота которых равна показателю нильпотеитности. Для дальнейшего удобно считать, что нулевой вектор имеет высоту, равную нулю. Введем в рассмотрение цепочку вложенных друг в друга инвариантпых подпространств: (О) =Ь-1с — " -Ф': — " ':-сс =5, где подпространство Яь 1'=1, ..., т, состоит из векторов, высоты которых не превосходят /. По построению, ф ='пег Яп П Редло же ни е 10. ПУсть 1') 2.
Если вектоРы оь ..., о„пРинадлежат ф и линейно независимы относительно Я~ ь то векторы Моь ..., Моь принадлежат ()~, и линейно независимы относительно ф и Доказательство. Если о~ еперь то Я/о; = О, так что М/-'(Яо;)=О, т. е. Яо; еи 0; ь Допустим, что Яоь ..., Яо„связаны зависимостью с|Яо1+ ... + сьМоь сиам ь Это значит, что Мь-а(с~Яо1 + ...
+ сьЯоь) = О, так что Я~-' (с,о, -1- ... + сьоь) = О, т. е. с~о1+ ... + сьоьеи ф ь Следовательно, с~ — — ... - -сь О, в силу линейной независимости векторов оь ..., оь относительно Я; ь Это и требовалось доказать. Построим теперь базис 5 следующим образом. Пусть он, ... ..., опь — базис 1',1 относительно 11„ь Тогда, в силу предложения 10, векторы Яо„,, Минь принадлежат Я 1 и линейно независимы относительно Я ь Дополним эту совокупность векторов до базиса 11 1 относительно 1.1 ь Пусть ом,, омь — дополняющая совокупность векторов.
Тогда Я'оп,..., Я~о,ь, Яом,... Яо,д, принадлежат 1с' т и линейно независимы относительно () з. Дополним их совокупность до базиса 11 з относительно 1;>,. Продолжив этот процесс до построения базиса 1;1ь получим следующую совокупность векторов: аектоРные пРОстРАнстВА 1гл. Хи и1ь иц Яиц миы, 0. 1 М'иц Я'и12, и 21 — 2 аии-2„ и21 уи-Э 222 ~и -1„ и яи-2 и21 аии — 2 и22, (Слева мы выписали названия подпространств, для которых каждая строка векторов образует базис относительно подпространства с меньшим на 1 индексом.) Выписанная совокупность векторов составляет базис пространства 1) =5. Действительно, векторы в нижней строке образуют базис Я1 Векторы второй строки снизу образуют базис 92 относительно 91, так что они вместе с векторами нижней строки составляют базис 92.
После присоединения векторов третьей снизу строки получится базис 92 и т. д. Разобьем теперь построенный базис на «башни», рассматривая вместе векторы еп, ЯО1ц ..., Я -'оц и т. д., расположенные в приведенной схеме на одной вертикали. Общий вид «башни»: и, Яи, ..., Я'"'и при некотором й, причем Яьп = О. Подпространство, натянутое на векторы башни, является циклическим, порожденным вектором, находящимся наверху башни. Все пространство 5 = Я есть прямая сумма этих циклических подпространств. Тем самым мы вновь доказали теорему 10 из предыдущего параграфа для ннльпотентного оператора. Построенный базис называется каноническим для пространства с нильпотентным оператором.
Хотя в его выборе имеется ьекоторый произвол, число башен каждой высоты вполне определяется размерностями подпространств 1«1, 1«2, ..., 1; . На циклическом пространстве с базисом п, Яо, ..., Я'-'и (прн Я"и = О) матрица оператора Я имеет вид О О 1 О О О О ... 1 О Такая матрица называется нильпотентным жордановым блоком. Во всем пространстве матрица нильпотентного оператора по отношению к каноническому базису квазидиагональна с жордановыми Юлеками вдоль диагонали. Число блоков равно числу нижних этажей башен, т. е.
числу линейно независимых собственных векто- нпьехтогы в ввктогных пгостэхиствхх над о эм 339 ров. Заметим, что результаты этого пункта сохраняют силу для векторных пространств над любым полем, а ис только над полем С комплексных чисел, 4, Каноническая форма Жордана матрицы оператора. Пространство 5, в котором действует оператор М, однозначно разлагается в прямую сумму корневых подпространств.
Взяв в пространстве базис, составленный посредством объединения базисов корневых подпространств, мы придем к квазидиагональпой матрице для оператора,Ф, диагональные блоки которой суть матрицы опе атора Ф на корневых подпространствах. ассмотрим корневое подпространство, соотнетствующее собственному значению Х. Оператор (,Ф вЂ” Хд')"', где т — кратность Х как корня минимального полинома, аннулирует все векторы рассматриваемого подпространства, т. е. оператор Я = ~К вЂ” Х~ нильпотентен на этом подпространстве. В каноническом базисе для оператора Я этот оператор имеет квазиднагональную матрицу с нильпотентнымн жордановымн блоками вдоль диагонали. В том же базисе оператор .Ф = Я + ХВ' будет иметь матрицу, отличающуюся от матрицы оператора Я тем, что к нулям на главной диагонали прибавится Х, ибо единичному оператору э соответствует единичная матрица Таким образом, матрица оператора нв рассматриваемом корневом подпространстве есть квазидиагональная матрица, составленная из жордановых блоков (:": ) е числом Х на главной диагонали.
Число блоков с данным Х равно числу линейно независимых собственных векторов для собственного значения Х, ибо каждый собственный вектор оператора Я есть собствеяный вектор для оператора Ф, соответствующий собственному значению Х. Если во всех корневых подпространствах выбрать канонические базисы, то в их объединении оператор будет иметь квазиднаго- ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА з»о игл. Кп нальную форму, диагональными блоками которой являются канонические блоки Жордана, отвечающие Всем собственным значениям, т. е. каноническую форму Жордаиа общего вида.
Тем самым мы вновь пришли к результату, полученному в конце предыдущего параграфа из более общих соображений. На языке матриц теорема о канонической форме означает, что для квадратной матрицы А с элементами из поля,( . существует невырожденная матрица С такая, что С-'АС есть каноническая матрица Жордаиа. Заметим еще, что характеристические полиномы»( — Л)» жордановых блоков называются элементарными делителями матрицы тŠ— А.
Этот термин связан с другим подходом к рассматриваемому вопросу, основанным на теории матриц над кольцом полиномов,( .[г]. Именно, если построить наибольшие общие делители миноров порядка ) матрицы (Š— А, мы получим некоторые поли- номы у;(1). Почти очевидно, что йч делится на й» ь Их частные )у = ду/В~ 1 называются инвариантными делителями матрипы ТŠ— А. Примарные множители (г' — Л;)' инвариантных делителей как раз и являются элементарными делителями матрицы гŠ— А.
Мы не будем на этом останавливаться. б. Пример. Рассмотрим в заключение параграфа один небольшой пример. Пусть А — квадратная матрица ранга !. Ее строки пропорциональны, так что ее можно представить в виде произведения столбца В=(ЬПЬ», ..., Ь.)' на строку .С=(с,, с», ..., с„) Оба сомножителя ненулевые. Для сч1ределенности поло»ким, что Ь1ФО и с ФО. Матрицу А будем рассматривать как оператор левого умножения в пространстве столбцов. Пусть Х = (хь х„... , х„)т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
