1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 75
Текст из файла (страница 75)
206). Так как Т, = О, то соотношение (15) п. 206, справедливое для систем с идеальными обратимыми связями, можно записать в виде 1Ч ти(ои — о'ь) ° ои = О. «=1 Здесь о, — любой вектор скорости точки Р«, кинематически возможный для системы с наложенными связями. Следовательно, ои = о,+, и из соотношения (1) следует, что зз т«(о, — о') ° о„" = О. (2) «=1 11о так как (ои — ои ) ои = — ~ои — ои — (ои — ои ) 1, то равенство (2) можно переписать в виде 1Ч н и — 1п,о — — ~пь о, — — хз т,(о, — о ) =0 г и «=1 и=1 или, при обозначениях (9), (13) п.
197, Т вЂ” Т+ — Т, = О, т. е. Т вЂ” Те = 2'„, (3) что и доказывает первую теорему Карно. Эту теорему можно трактовать как теорему об изменении кинетической энергии за время первой фазы удара. Как видно из (3), за первую фазу удара кинетическая энергия системы всегда уменьшается. Примкр 1.
Два одинаковых шара движутся поступательно вдоль одной прямой со скоростями о1 и оз. В некоторый момент времени шары соприкасаются и происходит абсолютно неупругий удар. После удара шары образуют одно тело, движущееся вдоль исходной прямой со скоросгпью о. Найдем величину о при помощи первой теоремы Кирно. Пусть т . - масса каждого из шаров.
Тогда Т = -т(ох+ох), Т+ = то-, Т, = -т(о1 — о) + -гп(оз — о)'. Тлаеа ЛУ ХХз уравнения (3) находим е = — (ез + ег). 1 2 Последнее равенство, очевидно, выражает неизменность количества двизсения системы двух шаров при ударе. Оно могло быть также получено из формул (22) и. 204 при зс = 0 и зпз = тг. 209. Вторая теорема Карно. Пусть у системы с идеальными обратимыми связями в некоторый момент 1 = 1о происходит внезапное снятие связей (одной, нескольких или даже всех).
Активных ударных импульсов нет. Если моменту 1 = 1о предшествовала фаза деформвции, то при снятии свлзей возникают ударные импульсы реакций связей и происходит увеличение кинетической энергии системы. Имеет место следующая (вторан) теорема Карно: Теорема. Кинетическая энергия, приобретенная при скатки связей, равна кинетической энергии приобретенных скоростей.
здоказательство. Как и в и. 208, используем принцип Журдена. Теперь в уравнении (1) е„= е„— лкзбой вектор скорости, кинематически возможный для системы до синтия связей. Следовательно, справедливо соотношение М т,(е~ — е„) е,, = О. (4) и=1 Но имеет место тождество (е„ь — е„) е = 1 ~е„ь — е — (е„+ — е„)'~ Поэтому из (4) следует раненство М Ю М вЂ” ~ пые„' — — ~ т„е„— — ~~ т,„(е„' — е ) = О. Принимая во внимание обозначения (9), (13) п.
197, это равенство можно переписать в виде Т+ — Т вЂ” Т, = 0 или в виде Тв — Т =Т„. (б) Отсюда и следует справедливость доказываемой теоремы. Вторую теорему Карно можно трактовать как теорему об изменении кинетической энергии за время второй фазы удара (если она существует).
Из (5) следует., что за вторую фазу удара кинетическая энергия системы всегда увеличивается. 447 Ч 6. Теоремы Карно Т = -то, Т = -п»(о + ог), Т, = -т(оз — о) + -оь(ог — о), — 1 г ч 1 г г 1 г 1 2 и из уравнения (5) находил, что ог = 2о — оы Величину ог ложно было бы также найти из условия постоянства количества движения: то = — о, + —,ог. т, т 2 2 210.
Кинетическая энергия потерянных скоростей в случае твердого тела. Получим формулу для вычисления кинетической энергии потерянных скоростей в случае тела, совершающего произвольные движения в пространстве. Пусть Схух — система координат, образованная главными центральными осями инерции тела, А, В и С— моменты инерции тела относительно осей Сх, Су и Сг; Р, у, г — проекции вектора ы угловой скорости тела на эти оси, т масса теле, ос» скорость центра масс. Радиус-вектор СР, точки тела Р, в системе координат Схуг эадаетсн компонентами х»ч у,.
г„. Для скорости о„точки Р, имеем выражение о„= ос» + ог х СР,. Поэтому для компонент вектора о, — о~ь потерянной скорости точки Р имеем следующие выражения: о~ = (о, — оп~») + (у — дм)х„— (г — ге)у»о о~„= (о,„— о~~„) + (г — г~)х« — (Р— Рм)х„, о,+„= (о,г, — осг,) + (Р— Р+)У вЂ” (У вЂ” Ч+)х . «у — Для кинетической энергии потерянных скоростей всех точек тела име- ем выражение — 7п«((о«» — о„») + (о„— о„) -ь (о„» — о«») ~ . (7) Пгимкг 1.
Снаряд, движуигийся поступательно со скоростью о. Разрывается на два осколка равных масс. После взрыва один из осколков имеет скорость о1 и сохраняет направление первоначального движения снаряда. При поланьи второй гпеоремы Карно найдем скоросхпь оэ второго осколка. Пусть т — масса снаряда. Тогда Глава Х11 Но, согласно выбору системы координат Слуг, имеют место равенства Ж Ф Ж Е т ли = ~~1 т»У» = ~~ тига = О, »=1 »=1 и=1 М М М Е гвю тю Ую = ~' П1ириг» = ~ ГП гг ап = 0 и=1 »=1 ~ =1 М М М ти(уз+ 22) = А, ~~1 ти(22+к~) = В, ~~1 Гои(вз -Ьуз) = С. (10) (О) »=1 »=1 Учитывая зти равенстна и выражения (6), получаем из (7) следу1ощую окончательную формулу: Т, = 11п(ог, ог~)2+ 1 '(А(р р»)2-Ь В(11 — уь)2+С(1.
— гь)2) (11) В случае вращении твердого тела вокруг неподвижной точки О совершенно аналогично можно получить формулу Т„= — (А(р — ре) + В(д — де) + С(г — г ь)~), (12) Т, = — (А12~ + ВЗ~ + Ст~)(1о — в1+) . Но, согласно формуле (1) и. 77, имеем Асгг+ В11~+ С 72 = дв, где дв момент инерции тела относительно оси вращения. Позтому Т 1 1 ( — -1-)2 2 Пгимкг 1. При помощи первой теоремы Карно найдем угловую скорость стержня после удара в задаче из примера 3 и.
207. где теперь А. В, С главные моменты инерции тела для точки О, а р, д, г -- проекции вектора ьв на соответствующие главные оси инерции От, Оу, Ог. Рассмотрим еще случай вращения тела вокруг неподвижной оси и. Пусть эта ось проходит через точку О тела, являющуюся неподвижной. Косинусы углов, образуемых осью и и главными осями инерции Оип Оу и Ог, обозначим через вг, Д и з соответственно. Тогда р = инх, у = 1о12, г = игу и формула (12) записывается в виде 'г б. Теоремы Карно Для до и послеударной кинетической энергии стержня имеем следующие выражения: Т вЂ” 1 г 1е 1 7тВ 2™о ' 2 48 (14) Кинетическую энергию потерянных скоростей вычисляем по форму- ле (11): г Т„= -т (о-ш-) + —.
— зп1 щ . 1, 1 ! 1 г г 2 (, 4) 2 12 (15) Нодстановка выражений (14), (15) в равенство (3) дает уравнение от- носительно аз. Решив его, получим, что 12о 71 ' Пгиыкр 2. При помощи теоремы Карно вычислим угловую скорость тела ат" в примере из п. 199. Используя обозначения п. 199 и формулу (12), запишем уравнение (3) в виде (Лр + Вд + Ст ) — (Лог + ВНг + С7г)ать = А(р — сио ь)г + В(у — Вьо ь)г + С(т — 7ьзь)г.
Отсюда получаем Ар ел+ Вц В+ Ст 7 Ааг + ВВг + Суг Т = — д,ьз, + — дгьз„Т вЂ” — дгй, + — дгй,. — 1 г 1 г -~- 1 г 1 г Ве шчину Т, находим по формуле (13): Т~ = оз(шг йь) + дг(ьзг йг) 1 г 1 г * 2 2' Учитывая еще, что йьтг = йгтг, из уравнения (3) получаем 1зтгшг + дгтзшг 1= г г дзтг + Ю~т1 Пгиыкг 3. Найдем послеударные угловые скорости шкивов в примере 1 п. 196. Имеем 460 »'лава ХП 2 3 2~ ~(" ь) 2~Х- ь=3 а=г + В~(ц, — д,, ) -~- с:ь(㠄— га ) ] .
С учетом равенств (9), (10) и (12) из п. 202 зто выражение преобразу- ется к виду 272 2 (16) Учитывая равенство (14) п. 202, из формулы (18) п. 203 имеем Т вЂ” Тч 1 гг (»»' 1 1 ю 272 2р 'ч1+' »» 2(1+ж)» Отсюда, принимая во внимание равенство (16), окончательно находим, что Т вЂ” Т'= 'Т„ 1+ гг (17) т. е.
потеря кинетической энергии за полное время удара равна 1 — ю -ой доле кинетической энергии потерянных скоростей за это вре1+ю мя. 'дто утверждение называют обобщенной теоремой Карно. Упвлжнкнив 7. Непосредственггым вычислением убедиться в справед- ливости обобщенной теоремы Карно в задаче о соудареккн материаль- ной точки с неподвижной абсолютно гладкой поверхностью (пример 1 нз я. 201) и в задаче о прямом центральном ударе двух тел (и. 204). 211. Третья н обобгценная теоремы Карно.
У систем с идеальными обратимыми связями кинетическая энергия за обе фазы удара, как правило, умепьтается; исключением является случай только абсолютно упругого удара, когда она остается без изменений. В этом состоит так называемая третья теорема Карно. Мы не останавливаемся на ее доказательстве в общем случае. Отметим только, что в частном случае соударення двух абсолютно гладких тел эта теорема была получена ранее в и. 203. Формулу (18) п. 203 можно записать в несколько иной форме, выразив ее правую часть только через кинетическую энергию потерннных скоростей Т„и коэффициент восстановления ю.
С этой целью по формуле (11) п. 210 находим "З 7. Теоремы Делонэ Бертрана и Томсона В 7. Теоремы Делона-Бертрана и Томсона 212. Теорема Делона — Бертрана. Рассмотрим систему материальных точек Ро (и = 1., 2,..., Ж) с идеальными обратимыми связнми. Первоначально она покоится, но в некоторый момент внезапно приводитсн в движение заданной системой ударных импульсов 1,. В результате удара точка Р, получает скорость оо, а система приобре(а тает кинетическую энергию Т('). Наложим теперь на систему новые дополнительные связи, также идеальные и обратимые. Тогда точки Р„ системы под действием тех же импульсов 1„приобретают, вообще гоноря, другие скорости о„ , а система — кинетическую энергию Т (г) (г Новые скорости о( ) являются кинематическн возможными как для системы с увеличенным числом связей, так и для первоначальной системы.
Поэтому нз принципа Журдене, согласно соотношению (15) и. 206, следует справедливость следующих двух равенств: Е(1, — нь,о(1)) о(г) = О, Из этих равенств следует, что 'ь), т ~ „(з) (г)) „(г) 6 или — т, о(, ) — —, ~ атос( ) = — ~~~ гп,(о( ) — о( ))г, т. е. Т(о Т(г) 1 ч (о(з) о(г))г > 6 Последнее соотношение означает, что для систем с идеальными обратимымн связями имеет место следующее утверждение. Теорема (Делоиэ — Бертрана). Ясли точки магпериильноа системы получают заданные импульсы, то кинетическая энерг я в возникающем двилсении будет болыие, чем кинетическая энергия, которую приобрела бы система при тех же импульсаз, если бы к первоначальным св зям системы были добавлены новые связи. Иными словами, добавление новых свнзей при тех же импульсах приводит к уменьшению послеударной величины кинетической энергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
