1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 74
Текст из файла (страница 74)
157 имеем: (О) гл —— 1(сов а, в1п а), гп — — 2((сов а, 0), гс — — 1(сов а., - вш а), П = ( — 1, 0). (7) Поэтому бгл —— 1ба( — в1п а, сов а), бзп — — — 21ба(вша., 0), бгс, = — 1ба(вша, сова). Пусть ал —— (ол з ол„), ос — — (осе, осв). Тогда ЗПЬОА —— т(ОЛе, ОЛЗ), тЬОС вЂ” — ЗП(ОСе; ОСа). (О) Переписанное с учетом равенств (7) — (9) соотношение (б) после сокра- щения на (ба приводит к уравнению 2! в1па+ т(ол, + ос,) в1па — т,(плз — осв) соьа = О. (10) ОАе = Осе~ ОАз = Ька ОСЮ ОАЗ = ОСВ. (11) Пз системы (10), (11) получим искомвяе проекции векторов послеудар- нык скоростей шарниров Л и С: 1вш а з ОАе = ОСч = гп 1вш2а ела = -оси = 2т 206. Принцип Журдена. Так как при ударе координаты точек системы неизменны, а меня1отся лишь их скорости, то длл решения задач теории импульсивных движений более приемлем принцип Журдена (см.
~2 главы 3), а не общее уравнение динамики в форме (5). Прннлв такую точку зрения, соотношение (5) следует заменить равенством и (1 — т Ьо) бо =О, (12) Но из (7) следует, что ол. = — 1в1паЬ, ола = 1соваа, ос, = — 1в1пасц осз —— — 1соваа. Отсюда выгпекают еще три уравнения 'З' 5. Ди4ференциальные еариационные принципы механики 439 где по-прежнему Ье = а+ — е , а конечные вариации скоростей ба (в силу равенств (2) и. 205 н (19) из х3 главы 1) удовлетворнют уравнениям (13) В бе, = 0 (у = 1, 2,..., 1).
о=1 Соотношение (12) выражает принцип Журдена в теории импульсивных движений: послеударное состояние системы выделяется среди кинематически возможных тем, что для него и только для него вьтолняется соотношение (12). Для дальнейшего использования принципа Журдена рассмотрим подробнее вариации ди,, входящие в равенство (12). Ограничимсл случаем, когда все связи системы нвляются обратимыми. Тогда величины бт в (1) тождественно равны нулю, а нинематически возможные скорости точек системы определяются из уравнений: (14) В ° а =0(у=1, 2,..., 1). Если при ударе структура системы не изменяется, то уравнения (13), определяющие вариации скоростей де, с точностью до обозначения неизвестных совпадают с уравнениями (14), которым удовлетворяют сами скорости а точек системы. Поэтому в соотношении (12) вместо беп можно написать в, считая вектор е любой кинематически возможной скоростью.
Соответственно принцип Журдена может быть записан в виде соотношения ~> (1 — т Ье„) а =О, (15) где ста, = еч — е,, а е„— скорость точки Р„системы в любом состоянии движения, совместимом со связями. Пусть во время удара ца систему наложены новые идеальные обратимые связи. Тогда в (15) а - — любой вектор скорости, допустимый для системы с наложенными связями. Если же во время удара происходит снятие идеальной обратимой связи, то в (15) а — любой вектор скорости, допустимый для системы до снятия связи. Упглжнкннк о. Рассмотрим покоящуюся систему с ндеальнымн обрвтимымн связями.
Пусть а„н е — скорости точек системы после (Ц (2) 440 Глаеа Х11 приложения ударных импульсов 1 и 1 соответственно. Показать, (1) (2) что после приложения суммарного импульса 1 = 1 + 1 точки (Ц (2) системы приобретают скорости е = е, + е, т. е. суперпозиция им- (1) (2) пульсов влечет за собой суперпозицию скоростей. Пгимнв 1. При помощи принципа журдена найдем послеударную угловую скорость и1 стержня из примера 3 п.
196 (рис. 147). Положив е, = е'" и учтя, что е = О, а послеударная скорость конца стержня, к которому приложен импульс, равна 1Л, получим соотношение (1о) в форме равенства Еиг1 — 2 т ет = О. Это равенство г=1 молсно переписать в виде Еиг( = 2Т, где Т = — — п112игз -- послеударная 1 1 2 2 2 3 кинтпическия энергия шперлснн. Отсюда получием иг = — ' 31 т1 207. Принцип Гаусса, Рассмотрим систему с идеальными связями. Возмол1иые скорости ее точек определя1отся системой уравнений (1). Пусть к точкам Р системы в момент 1 = (о прилагаются заданные активные ударные импульсы Е„, или на систему накладываются новые идеальные свнзи вида (1), или же осуществляется и то и другое одновременно, Пусть, как обычно, е и е" — векторы скоростей точек системы непосредственно до и после удара, а е вектор любой кинематически возможной скоРости точки Р, в момент 1 = 1о + т окончанин УДаРа.
Пусть (16) Величина С = С(е ) является функцией от кинематичеки возможных скоростей е„ точек системы в ее послеударном состоянии. Справедливо следующее утверждение. Теорема (Робена). Состояние системы после удара будет таким, для которого функция С(е ) имеет наи.веньшее значение по сравнению с ее значениями, отвечающими всем кияематически возможным послеударяым скоростям системы. Это утверждение анвлогично принципу наименьшего принуждения Гаусса в случае конечных сил (см. 23 главы 3), функция (16) лвляетсл аналогом принуждения Я. г(оказательстео.
Положим е = е~ + бе„и рассмотрим разность С(е ) — С(е~). 1 5. дифференци льпые вариацпопные принципы механики 441 Имеем С(оп) С(ои ) = Р (тьц гтоп А ) ' М + 2 ~~~ ™п(бот ) ~ (17) где 11оп = о,+ — о„ . Так как оп и о,ь кинематически возможны после удара, то вариации скоростей бо удовлетворяют уравнениям (13) и справедливо соотношение (12). Следовательно, первая сумма в правой части равенства (17) равна нулю.
А так как не все величины бо равны нулю, то из (17) следует, что С(е ) > С(о~ ). Это и требовалось доказать. УпРАжненик 6 (ЭкстркмАлы1ОЕ сВОЙГХВО Удлрных импУльсОВ РкАкций Снзкй). Пусть Тпн — ударные импульсы реакций связей. Показать, что для действительного послеудариого состояния системы величина имеет минимальное значение по сравнению с ее значениями для всех кинематическн возможных яослеударных состояний системы.
Рассмотрим частный случай, когда активные ударные импульсы отсутствуют. Положив в (16) 7 = О. получим, что тогда функция (18) имеет минимум при действительных значениях послеударных скороетей о,.ь из совокупности скоростей о, кинематически возможных для системы с наложенными связями. Пример 1. Два одинаковых тонких однородных стержня АВ и ВС массы т и длины 1 1 оь каждый соединены шарниром В и находят- А В С ся в покое, составляя одну прямую, Опреде- Г лить послеударное кинематическое состоя- оз, азз 1 ние стержней вследствие ударного импульса Х, сообщенного точке С под прямым углом Рнс. 158 к стержням (рис.
!58). йинематическое состояние стержней АВ и ВС вполне определяется скоросгпями ог и ог их центров масс и угловыми скоростями ьз1 и шг. Учитывая, что до удара стержни покоились (о = 0) и пренебрегая в (16) не зависли!ими от об шг (1 = 1, 2) слигаемыми, выражение 1лаеа ХП для фуннции С можно записать в виде Х н 2 ~Х- (19) Пусть Т вЂ” суммирная кинетическая энергия стержней, а и — ско- рость то ти С после удара. Тогда из (19) получаем С =Т вЂ” 1и = — т(ог +из~) + — т12 ( ~~~+ы~) — 1и. (20) Так как точка В принадлежит как стержню ЛВ, так и стержню ВС, то имеет место кинематическое равенство: и1 + а'1 = 132 Ю~г 2 2' (21) Броме того, и = ог+юг —. 2' (22) С учетем равенств (21), (22) выражение (20) для функции С принимает вид чг С = — т ~сг (юг+щ2) + ти + 1 2 + —, гп1 (ьз + ы ) — 1 ( иг + ьог — ~ .
1 г г г Г, 24 г г ( - 2/' (23) Усзьовия экстремума функции С дают три уравнения: ВС дог ВС вЂ” 0 зС вЂ” 0 дюг ' дюг (24) Из системы четырех уравнений (21), (24) находим: 1 Ы, 51 91 ог= — —, щг= — ., ог= —, 4т' 2т1' 4т' 2т1' Отрицательные знаки у ог и ыг показывают, что действительные на- правления скорости центра масс стержня ЛВ и направление его вра- щения противоположны направлениям, указанным на рис. 158. Прггикг 2. Материальная точка массы т покоится на абсолютно глад- кой поверхности, задаваемой уравнением )'(х, у, г) = О.
Б точке при- кладывается ударный импульс 1 = (1,, 1а, 1,). Найдем скорость точки посзье удара. 'з б. Дифференциальные вариационные принципы механики 443 Для функции (16) имеем вырихтение С= 2т х — — "' + у — —" -ь г — — ", (25) Уривнение связи 1(хт гу, г) = О даетп соотношение дфг дф. д1. —:с+ —,у+ —,г = О. дх' ду дг (26) ~тд~. дф. д~ Л Е = С вЂ” Л [ —,х + —.у -в — г~ [,дх ду дг где Л вЂ” неопределенный множителв. Условия экстпремеума — — — = О дают три соотношения ПГ ОЕ ПГ Пх ду дг тх = 1ь + Л вЂ”, ту = 1э + Л вЂ”,, тг = 1, + Л вЂ”. (27) д,/' . дф . дХ ах' ' = " Пут = ' дг Вместе с соотношением (26) они образуют систему четырех уравнений относительно четырех неизвестных х = хв, у = ув, д = дв и Л.
дф д1 дф Отметил, что величины Л вЂ”,, Л вЂ”,, Л вЂ” являются проекциями дх' ду' дг ударного импульса реакции связи на соответствующие координатные оси. Поимка 3. Тонкий однородный стержень длины 1, занимающий горизонталвное положение, падает поступательно вниз. Он встречает точечное препятствие, отстоящее от концов стержня на расстояниях — 1 и 3 О (рис. 159). Скороств стержня перед ударом равна о.
Предполагая удар абсолютно неупРнс. 159 ругим, найдем послеударное кинематическое состояние стержня. Кинематическое состояние стержня после удара полностью опредетется его угловой скороствю ит. Актпивнвтх ударных импульсов нети. Имеем задачу на условный экстремум: нужно найти точку экстремума функции (25), если пере ценные х, у, г связаны соотношением (26). Восполвзуемся методом неопределенных множителей Лагранжа. Пустпь Тлаеа ХИ Импульсивное движение возникает только из-за наложения новой связи, внезапной остановки точки О стержня.
Так как для каждой точки стержня о„= о, то для функции С из (18) имеем тиков выражение: С = 1 ~ т,и,', — ~~ зп„и о+ 1 ~ь гп, оз. (28) =1 хг =1 / Пусть т — льасса стпержнн, ос — пос геударная скорость его ценгпра масс, а По .. момент инерции стержня относигпельно точки О. Тогда 2 т = тч 2 згь„о„= тось а — 2 т оз = гЛоьзз — кинетическая энергия стержни после удара, и функцию (28) можно представить в виде 1 = —,Уоы — тес о+ — то .
1 з 1 2' 2 Ло,Уе = '7пй~, и~ = (О, и), осз = (О, ы ), Позгпому имеем такое окончательное выразкение для функции С С = ~~ (7ы~ь~ — 24ыи1 -~- 48оз). 96 ДС 12о Из условия — = О находим ы = ды 71 ' 86. Теоремы Карно 208. Первая теорема Карно.
Рассмотрим движение системы, свнзи которой идеальны и обратимы (в частности. стационарны). В некоторый момент 1 = 1о на систему накладываются новые связи, которые также являются идеальными и обратимыми. Активных ударных импульсов пет. Импульсивное движение возникает только за счет наложения новых связей. Найдем изменение кинетической энергии системы за времн удара. Имеет место следуюшая (первая) теорема Карно: Теорема.
Если внезапно наложенные иде льные обратимые связи сохранлютсн после удара вместе с ранее суьцествовавшими идеальными обратимыми связями, то погперянная в результате наложения новых связей кинетическая энерг я равна кинетической анергии потерянных скоростей. з б. Теоремы Карно Доказательство. Можно было бы применить результаты п. 197., где рассмотрена общая теорема об изменении кинетической энергии при импульсивном движении, но уцобнее воспользоваться принципом Журдена (см. п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
