1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Удар вызывается тем, что в некоторый момент времени 1о на систему накладывается и — й новых идеальных связей. Эти свнзи могут в момент 1 = 1о+ г окончании удара сохраниться, а могут и исчознуть. Первоначально существующие свнзи тоже идеальны, они существуют во время удара и после него. Обобщенныо координаты вы оз,..., он всегда можно выбрать так, чтобы новые связи задавались уравнениями (15) Чл-~-г = О, Чьжз = О,..., ян = О. Эти уравнения выполннются во времн удара.
В послеударком состоянии уравнения (15) выполняются, если только вновь наложенные свлзи сохраняютсн после удара. Принтегрируем обе части общего уравнении динамики (см. соотношение (10) п. 137, в котором пг = и) по времени от 1 = 1о до 1 = 1в+т. Учитывая формулы (5) и тот факт, что во время удара величины бог можно считать не зависящими от 1, а интегралы от конечных величин — пренебрежимо малы, получаем следующее равенство: дТ дог (16) Так как активных ударных импульсов нет, а первоначальные связи сохраняются во время удара, то обобщенные ударные импульсы Лы,Уз,...,,Уь равны нулю, а Ль еы,Увн.зг ..., Л„определяются только ударными реакциями новых связей, По удара вариации бды бвз...
жбан произвольньь Выберем их так, чтобы они задавали виртуальное перемещение и для системы с наложенными на нее новыми связями. В соответствие с уравнениями (15) тогда следует считать, что боинг = бвьн.з = ... = Лон = О, а величины Бды доз,...
г боь будут произнольными. При таком выборе вариаций из соотношений (16) следуют уравнения (17) 464 Глава ХЛ уз = х уз = у — Фх). (18) При ударе на точку накладывается новая связь йз = О. Пз (18) имеем / х = уы у = 'Р Й + уз~ где штрихом обозначено дифференцирование по х. Следовательно, (19) Т = — тп(хз+ уз) = — т ~(1+ ~р' )у1 + 2у'дздз+ дз1 (20) Из (17) имеем уравнение т.
е. справедливо следую|нее утверждение. Теорема (Аппеля). Производные от кинетической энергии по обобщенным скоростям, озпвечающим обобщенным координатам, не обращающимся в нуль во время удара, не изменяются во время удара. В уравнениях (17) йьез = йьез = . ° = у„= О, но соответствующие обобщенные скорости дь.ьы уь.ьз,..., дв вовсе не обнзаны быть равными нулю как до удара, так и после него, Они после удара равны нушо лишь тогда, когда вновь наложенные связи сохраняются после удара, в этом случае к неизвестных мазь, дзч,..., у~ находятся нз к линейных уравнений (17). В других же случаях мы имеем к уравнений (17) относительно и неизвестных д~, дз,..., д~ и, как и в случае удара, не являющегося абсолютно неупругим, надо вводить дополнительные предположения о поведении системы после удара. Ввимвг 1.
Материальная точка Р у движется в вертикальной плоскос- ти над циллиндрической поверхнос- Р(х,у) тью, образующая которой горизонтальна; на рис. 162 изображено сечение у = фх) япой поверхности плоскостью з = О, перпендикуляр- У=Р(х) ной образующей. В некоторый мо- О мент времени точка соударяется с поверхностью. Перед ударом вектор ее скорости е = (х, у ).
Считая поверхноспьь абсолютно глад- ь! кой, а удар абсолютно упругим, найдем скорость е ь = (хь, уе) точки Р после удара. За обобщенные координаты точки примем величины 2 8. Уравнения Лагранжа второго рода для импульсивных движений 465 которое при учете. формулы (20) записывается в виде. (1+ ~р")(Ч,' — Ч,-) + ~р'(112ь — Ч,-) = О, (21) Недостающее уравнение следует из предположения об абсолютной упругости удара: (22) Решив систему уравнений (21), (22), получим Ч1 = Ч1 + 212 Чг 1 + 1р Отсюда и из равенств (19) находим 2: =,Х + У, У = оХ вЂ”,У 1-Ь р" 1+ р" ' ' 1-т:р12 1+ р12' Если обозначить через а угол между касательной к кривой у = Чг(х) в точке соударения и осью Ох, то Чз' = 1аа и равенства (24) можно записать более компоятног хь = сов 2ах + яп 2ау ут = ззп2ах — сов 2ау Примкг 2. Две материальные точки О х масс т1 и тг, связанные невесомой нераст неимой нитью длины 1, движутся Рис.
163 в плоскоспш Оху. В некоторый момент нита натягивается. Зная состояние движения до удара, найти послеударное кинематическое состояние точек. Пусть ха уг — координаты точки массы тпг (1 = 1, 2), а 1р, т— полярные координаты, определяющие лолозкение второй точки относительно первой (рис. 163).
В качестве обобщенных координат примем величины Ч1 = х1, Чз = У11 Чз = ~о, Чл =1 — 1' (25) При ударе ка систему точек накладывается связь Чл = О. Учтя, что хз = х1+ тсовуг, уз = у1 + тяпу, для кинетической энергии системы 21п'1(х1 + У1) + 2п12(х2 + У2) 1 ° 2 ° 2 1 ° 2 ° 2 Глава ЛП можно получить следующее выражение Т = -(тз +тгНЧ» + Чг) + — тг [(1 — Ч») Чз + ׻— 1 г .г 1 2 ' 2 (26) — 2(1 — Ч») Чз (Ч» я1п дз — дг соя Чз) — 2Ч»(дз соя Чз + Чг я оп дз)) ° Введя обозначение»лд» = Чр — Ч,. (» = 1, 2, 3, 1) и выписав уравнения (17) для 1 = 1, 2, 3, получим (»и» + тг)йьд1 — тг (1 — Ч») я|и Чз» ьдз — пьг соя Чздьд» вЂ” О (зп» + тг) Ьдг + гпг|1 — Ч») соз ЧзЬдз — тг Я1п Чзг1Ч» = О, (27) я1пдз»зд~ — спядз»здг — (1 — Ч»)»здз = О. Уравнения (27) предстапляют собой систему трех уравнений относительно четырех неизвестных Чу (з = 1, 2, 3, 4).
Недостающее уравнение получим, приняв гипотезу о том, что до и ппслеударные величины т и гь связаны соотношением ть = — тт, или, на основании ппследнего из равенств (25), Ч»» = — ад, Это приводит и уравнениго [28) Ьд» = — (1+ а)Ч, Принимая вп внимание оботачения (25) и считая, что во время удара угол ~р равен а, из системы уравнений 127), (28) находим (1 + т) тг соя а т.,+=х, + р п»» + тг (29) (1+ т)тг я1п а, тг+ тг Гллвь Х111 Интегральные вариационные принципы механики В 1.
Принцип Гамильтона — Остроградского 217. Прямой и окольный пути голономной системы. В гл. 1П мы изучали дифференциальные вариацианныс принципы механики, которые дают критерий, позволяющий ныделить истинное (действителью нос) движение механической системы среди других кинематически возможных ее движений для данного момента времени. В этой главе будут рассмотренгл некоторые интегральные вариационные принципы. В отличие от дифференциальных принципов, интегральные вариационные принципы механики дают критерий истинного движения системы нс для одного момента времени, а для некоторого конечного промежутка Ьо ( 1 ( 1ы Опи характеризугот движение системы в Пелом, на всем этом промежутке времени. Как и в гл. П1, будем предполагать, что рассматриваемая механическая система или свободна, или подчинена идеальным удерживающим связям, но ограничимся только голономными системами'.
Пусть а„и ܄— возмгикные положении точки Р, системы (и = 1, 2, ..., гхг) в моменты времени 1 = 1п и 1 = Ь соответственно. Положение системы в момент 1 = Ьп назовем ее начальным, а в момент 1 = гг — конечным полоппенипми. Предположим, что в момент 1 = 1о можно так выбрать скорости точек системы, что при 1 = 11 точки Р займут их конечные положения. Совокупность траекторий. которые будут описаны точками системы при их перемещении из начальных положений а„в их конечные положения Ь„, образуют истинный (действительный) путь системы.
Его также называют прямым путем системьг. Па прямом пути точка Р, системы описывает кривую зю соециняющую точки а„и Ьп. Совокупность соединяющих точки а, и Ьп кривых 1', бесконечно близких к соответствующим кривым у и таких, Вопрос о применимости интегральных вариапионных принципов механики к неголономным системам имеет длительную и непростую историю. Виблиографню по зтому вопросу и основные результаты см.
в статье: Румннаев В. В. Об интегральных приипппах плп неголономных систем О ПММ, 1982, Т. 46, вып, 1, С. 3- 12. 468 Глава ХП1 что движение точки Р, по кривой 1' (и = 1. 2, ..., Х) может происходить без нарушения связей, называют ало зьным путем системы.
На рис. 164 сплошная липин соответствует прнмому пути, а штриховые -" окольным. Всюду в дальнейшем будем считать, что движение всех точек Р„по окольным путям начинается одновременно при 1 = 1о и оканчивается при 1 = 1з, т. е. днижение системы по окольному пути начинается и оканчивается в те же моменты времени, что и движение но прямому пути. Рнс. 164 Рис. 166 Для голономной системы прямые и окольные пути удобно представлять в расширенном координатном пространстве, где координатами являются обобщенные координаты йы аз, ..., Д„и времн К Пусть точка Ао этого пространства отвечает начальному положению системы, а Аз ее конечному положению.
Движениям системы из се начального положении в конечное будут отвечать кривые, соединяющие точки Ао и Аы Па рис. 166 (для я, = 2) сплошной линией показан прямой путь системы., а штриховыми лининми окольные пути. В расширенном координатном пространстве за окольный путь может быть принята любая бесконечно близкая к прямому пути кривая, соединнющая точки Аа и Аз, любая такая кривая представляет собой кинематически возможный путь, так как обобщенные координаты йы аз, ..., д„всегда выбираютсн именно так, что геометрические связи, наложенные на систему, удовлстворнются тождественно (п. 14), а других связей у голономной системы нет. Отметим, что задача о построении прямого пути, соединяющего начальную и конечную точки Ао и Аы нс является простой. Она приводит к рассмотрению краевой задачи длн системы дифференциальных уравнений порядка 2я, описывающей движение изучаемой механической системы.
Если точка Ас соответствует значениям обобщенных координат оо, с1з~,..., ц~„а точка Аз — значениям д~~, уз~,..., д~„то рс- З 1. Оримиан Гамильтона -Остроградского шение уи(1) дифференциальных уравнений движения должно удовлетво- рять краевым условиям Чгио) = яо, 0>И1) = 01 (1 = 1, 2...., и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
