1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Краевая задача может иметь единственное решение, а может но иметь ни одногл> решении; она может иметь несколько или даже бесконечное множество решений. Если точки Ао и А> достаточно близки, то решение упомянутой задачи либо единственно, либо она имеет только конечное число решений. Для наших целей второй случай сводитсл к первому в том смысле, что среди конечного числа прямых путей можно взять какой-то один и рассмотреть его окрестность, достаточно малую, чтобы она не содержала точек других прямых путей, отвечающих значенинм 1 из интервала 1о < 1 < 11. Окольные пути затем следует проводить именно в этой малой окрестности выбранного прлмого пути.
При достаточном удалении точки А> от точки Ао может оказаться, что краеван задача имеет решения, соответству>ощие бесконечно близким прнмым путам, проходимым механической системой за одно и то же времн 11 — 1о. В этом случае точки Ао и А> расширенного координатного пространства называют солряжеш>ими кинетическими фокусами. Рассмотримь например, одномерный гармонический осциллятор, движение которого описываетсн дифференциальным уравнением Через точки (О, 0) и (О, л) расширонного координатного пространства д> 1 проходит бесконечно близкие один к другому прнмые пути, задаваемые равенством д = св1пг, где с — произвольная постоянная. Точки (О, 0) и (О, >г) — сопрнженные кинетические фокусы.
Напротив, через точки (О, 0) и (д~> 11) при д> ) О, 11 < к можно провести только один примой путь. Мы будем рассматривать не вполне произвольные окольные пути, а те из них, которые получаютсн из прнмого пути при помощи синхронного варьирования. Пусть ьо„— положение, которое занимает в момент времени у точка Р системы при ее движении по прямому пути у, соединяющему начальное и конечное положения а и б„этой точки (рис. 166). В момент времени 1 дадим точке Р„произвольное виртуальное перемещение бг„ из ее положения л .
Тогда точка Р„займет положение ~. Если эту 470 Глава Х1П ция. Нам потребуется сравнить между согт, г бой не только прямой и окольный пути, но и скорости т точек Р на прямом пути с соответствующими их скоростями и + бг, на окольном пути для одного н того же моменте времени. Покажем, что операции синхронного варьирования и дифференцирования по времени перестановочны, т. е. а,,г, Рис. 166 бт = — бт (и=1,2,...,Лг). <Й (1) В самом деле, по определению скорости, на окольном пути имеем т „+ бт„= — (гь + бт ) = и„+ — 'бг„(и = 1, 2, ..., А'), откуда и следует равенство (1).
Аналогично, если в расширенном коор- динатном пространстве прямой путь задается уравнениями Ч, = Ч,(г), Ч,(го) = Чо. Чг(гг) = Чг (т = 1, 2...., ), (2) то окольные пути получаются из прямого при помощи виртуальных перемещений бЧг(г) и задаются уравнениями гй = Чи(г) + бЧг(г) (т = 1, 2, ..., и), (О) где бЧг(го) = О, бЧг(гг) = 0 (т = 1, 2, ..., и). (4) Величины бЧг(г) предполагаются дважды непрерывно дифферснцируемыми функциями г. Оин удовлетноряют равенстввм, вналогичным (1): бЧг = — „бЧ; (т' = 1, 2, ..., и). (6) процедуру проделать длл всех положений д' точки Р„на кривой у при го < г < гг и через получающиеся при варьировании точки д' провести кривую, соединягощую положения а, и Ь„, то зта кривая н будет окольным путем.
Соответствующие одна другой точки,п, и гг,' на прямом и окольном путях проходятся в одни и те же моменты времени. В деквртовых координатах положение точки Р„на прямом пути задается радиусом-вектором г,(г), а на окольном — радиусом- вектором т;(г)+бт;(г), где вектор-функции бт;(г) удовлетворяют условию бг (го) = О, бг,(г,) = О, (и = 1, 2,..., Аг).
Кроме того, будем предполагать, что бгь(г) — дважды непрерывно дифференцируемая фупк- 471 З Л Приапиа Гаггаогьтааа-Огаграградааага 218. Принцип Гамильтона — Остроградского. Итак, рассмотрим примой путь голономной системы и совокупность окольных путей, получающихся из прямого пути при помощи синхронного варьирования и совпадающих с ним в начальный и конечный моменты времени 1о и 11. Пусть т, — масса точки Р, а хг, — равнодействугощая всех активных сил, приложенных к этой точке.
Интегрирование общего уравнения динамики лг (Р,— т но) ° бг =О (8) дает равенство "л лг С и=1 ~ Г„бг„гй — лхо т„з~ нг, . бг ИС = О. о и=1 о (7) Рассмотрим разность между значениями кинетической энергии систе- мы в момент времени 1 на окольном и прямом путях и=1 С точностью до величин первого порядка малости включительно отно- сительно ~бг„~ для этой разности получаем выражение бТ=~ т,г; ° бг . и=1 Отсюда 1, с бТ(Н = ~~1 т, / г„бг, Ф. о и=1 о (8) 1! л лг ж бТ гй = ,'о пг„ / г, Юг, = ~~ т,г' бгь — ~~о т / но, бгъ гй.
о о и=1 и=1 о Но так как бг„(1о) = бг (11) = О, то окончательно имеем 1, л. го бТ й1 = — ~~1 т / нг ° бг, й. и=1 (О) Используя равенство (1) и производя интегрирование по частям, пре- образуем это соотношение к виду 472 Глава ХШ Зто соотношение позволяет переписать равенство (7) в следующем окончательном виде: сс М 6Т+ ~ Г бс, сМ = О. о=С о (10) Х, бс = сс Цсбр, о=С где ٠— обобщенная сила, соответствующая обобщенной координа- те уб и что бс = с ' ~ —,с,со —,', бф), с дТ- дТ с,дус " дус перепишем равенство (10) в виде сс ~ —., СО О ( —. О Ос) бО~ Ог= О. с о Используя соотношения (5), интегрируя по частям и учитывая, что буссуо) = бсйссс) = О, имеем с, сс с, —.бдссд = / —.с1бус = —.бус — / — —.бусой = — / — —.бсуй. дТ с дТ дТ с с1 дТ с д дТ ддс * ' / дус * дус *, / Мддс * ' / с11дс)с со со со и Поэтому равенство (11) переходит в следующеес с, — — — — — С'Сс бсд ссс = О.
сддТ дТ 2- ~ду ддс дус с о (12) Равенство (10) является математическим выражением принципа Гамильтона — Остроградского, который закшочаетсн в том, что интеграл 110) равен нулю, если величины бг,(с) соответствуют синхронссому варьированию прямого пути и бг„(1о) = бг,(Гс) = О. Таким образом, на прямом пути голономной системы интеграл (10) равен нулю. Покажем, что, наоборот, если на каком-то кинематичсскн возможном пути интеграл (10) равен нулю„то этот путь примой. Для этого достаточно убедиться в том. что из принципа Гамильтона- Остроградского (10) вытекают уравнении Лагранлса второго рода. Замечан, что 'З' и Принцип Гамильтона — Остроградского б, 1 ( б, бг — 'бг — а.) бд.
е = ь (13) Пусть выражение в круглых скобках в формуле (13) не равно нрлкб пРи 1 = 1, из интеРвала 1о < 1 < 1п ТогДа в силУ непРерывности существует окрестность — б+ 1, < 1 < 1, + еб лежащая в интервале 1б < 1 < 1г, в которой круглая скобка из (13) сохраняет знак. Произвольную функцию бдб(1) выберем так, чтобы она вне окрестности — б + 1„< 1 < 1, + е бьща равна нулю, а в самой этой окрестности сохраняла знак.
Тогда равенство (1:1) перепишется в виде ) (бн б гб)б л — 0 Но так как при упомппутом выборе функнии бб)ь(1) подынтегральное выражение сохраннет знак в окрестности — е + 1, < 1 < 1, + е, то по- следнее равенства невозможно. Отсюда следует, что при всех 1 из ин- тервала 1о <1<11 В Пт ОТ В( дб)ь дб)ь Проведенные рассуждения справедчивы для любого й (й = 1,2,...,и). Поэтому из принципа Гамильтона — Остроградского следугот уравнения Лагранжа второго рода, Следовательно, этот принцип может быть положен в основу динамики голономных систем, 21О.
Принцип Гамильтона — Остроградского для систем в потенциальном поле сил. В потенциальном поле сил Х„° дг = — бП, и=1 (14) б Приводимое далее доказательство обрагцения в нуль выражения в круглых скобках формулы (1З) являетсн стандартным. Оно ломит в основе доказательства гак называемой основной леммы еараанионного асчаслеиия (см.
лемму 1 в 13 учебника: Гельфанд И. М., Фомин П. В. Вариациониое исчисление, М, б Физматгиз, 1961). Величины бб(; (г = 1, 2, ..., п) независимы и произвольны. Используя зто, покажем, что каждое из выражений в круглых скобках в форму- ле (12) равно нулю. Длн этого положим, что бб)т —— ... —— бб)й б — бг)ь ьб = = ...
= 6((„= О, а бг(ь ф- О. Тогда равенство (12) сводится к равенству Глаза Х111 где П = П (с1с, .... до, 1) .. потенциальная энергия системы. Тогда формула (10) дает с, (бТ вЂ” бП) с11 = О. Так как функция Лаграссжа имеет вид Ь = Т вЂ” П, то отссода следует, что с, сЧ й1 = О. сн Рассмотрим интеграл (16) Этот интеграл называется действием по Гамильтону. Так как Б— ФУНКЦИЯ дб УСс 1, та ДЧЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ Я НУЖНО ЗаДатЬ ФУНК- ции ус(С) (с = 1, 2с ..., п) в промежутке Со ( 1 ( Сс, т. е. действие Я является функционаломс зависящим от движения системы. Используя обозначение (16) н учитывая неизменность 1о и 1с при переходе от прямого пути к окольному и от окольного пути к другому окольному, перепишем равенство (15) в виде Это равенство выражает принцип Гамильтона — Остроградского для голономной системы в случае существовании потенциала сил: среди всех (сравниваемых) путей прямой путь выделяется тем, что для него действие по Гамильтону имеет стационарное значение (т.
е. перв я вариация 65 на прямом пути равна нуллс). Будет ли действие принимать экстремальное значение на прямом пути, т. е. будет ли значение интеграла (16), вычисленное на прямом пути, наименьшим нли наибольшим по сравнению с его значениями на окольных путяху Ответ на этот вопрос будет получен в следующем пункте, а сейчас рассмотрим пример. показывающий, что в некоторых случанх действие по Гамильтону на прямом пути имеет меньшее значение, нежели на окольном.
475 3 1. Принцип Гамильтона — Остроградского ПРИМЕР 1 (ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧЕН В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ ТПЛ1ЕСТИ"). Пусть материальная точка массой гп, брошена под углом гт к горизонту с начальной скоростью оо. Пусть движение происходипь в плоскоспги Охг. Траекторией точки будет парабола г = но 81п сг1 — — Лт 1 2 2 (18) х = оо сое сгй В момент времени 2оо ешах 1 К (19) где а ускорение свободного падения, материальная точка пересечет ось Оз; в точке В (рнс. 167), причем пройденное ею расстояние вдоль оси Ох 2оеешпсоесг П Рис. 167 (21) П = туг. Для параболического движения В = Т вЂ” П = хгп(з1 + Е ) — гггег = — т(о, — 4ое Мп Оуч + 2е 1 ), 1 ° 2 ° 2, 1 2 3 3 2 2 для прямолинейного двизкения В = Т вЂ” 11 = — тц = — тцо сое ет. 1 2 1 2, 2 2 2 зСмл СлудскийФ.А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
