1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Заметка о начале наименьшего действия О Вариационные принципы механики/Под ред. Л. С. Полака, Мц Физметгиз, 1939. С. 388 391. Таким образом, в рассматриваемом примере на прямом пути точка описывает в плоскости Охг параболу за время 11. Это движение будем сравнивать с прямолинейным равномерным двизкением точки из положения О в полоэкение В. Окольный путь будет отрезком ОВ оси Ох. Так как в принципе Гамильтона-Остроградского время движения из начального положения системы в ее конечное полозкение для прямого и окольного путей должно быть одинаковым, пго в рассматриваемом равномерном прямолинейном движении скорость о должна быть равна оо сог ст.
Для обоих движений Глава Х111 Для параболического движения 3 тоо зги ге 1 4 2 Я = Ьдг = . [1 — — е1п сг), К [, 3 о [22) а для движения по прямой з,. ° ооь1по 1 . 2 у (23) 220. Экстремальное свойство действия ~о Гамильтону. Рассмотрим окрестность начального положения системы, достаточно малую.
чтобы в ней отсутствовали сопряженные кинетические фокусы. Тогде можно считать [п. 217), что за заданное время П вЂ” го система может перейти из своего начального положения в конечное положение, расположенное в выбранной окрестности, только по одному прнмому пути. Покажем, что в этом случае действие по Гамильтону на прямом пути будет наименьшим по сравнению с его значениями на окольных путях системы. 11ля доказательства воспользуемсн геоц метрическим методом Жуковского . Траа,, ектории точок Ра (и = 1, 2, ..., Х) системы будем рассматривать в трехмерном с,, евьлидовом пространстве. Пусть а, — начальное положение точки Р„, а 1 и с„— ее положения на каких-либо двух различных кинематически возможных путях, по кото- а, рым система за одно и то же время 1 — 1о переходит из начального положения в поРис. 168 поженив, отвечающее моменту времени 1 (рис.
168). При этом 19 < 1 < гы а промежуток времени 1 — го, вообще говори, мал, чтобы за времн 1 — 1о система не могла выйти из выбранной малой окрестности ее начального положения. Пусть [а1) и [ас) — действии по Гамильтону на этих путнх системы, Г Сиз Жуковский Н. Е.
О нечесе наименьшего действии О Собр. соч. Т. Е Мл Лз Гостехиеетййлл. С. 92-57. При любом сг (в том числе и при достаточно малик сг, когда прямой и окольнлае пути, могут, быть сколь угодно близкими) величина (22) мень- ше величины [23), т. е. действие по Гамильтону на прямом пути мень- ше, чем на окольном. Л77 З 1.
Принцип Галсилитона Остроградского т. е. с с ~аЯ] = ~(Е' — П) сЕС, [ссс] = / ссЕ' — П) с11, (24) са со причем первый и второй интегралы вычисляются на путях, по которым точки Р, переходнт из положений и, в положения г", и с, соответствен- но.
Для разности [ас] — [аЕ] с точностью до величин первого порядка включительно относительно [бс;[ н ]бг„[ имеем выражение Х си [ссс] — [аД = ~~ сноп [с) бс' ссс) + ~ Я[Ро псосог ) бго сЫ. о=1 г =1 о Учитывая общее уравнение динамики (6), это соотношение можно пе- реписать окончательно в таком виде: 'сис] — [иЕ] = ~~с т„сс, совсс,бзи. [б) о=1 Здесь в скорость точки Р в момент времени 1, когда она занимает положение ~,с сх угол между ьи и бги, а бо„длина дуги Е'„с„, Пусть б„-" положение точки Р„в конечный момент времени 11 движения системы, а у, и 7с — кривые, по которым перемещается точка Р при движении системы соответственно по прямому и любому из окольных путей (рис.
169). Сравним действие по Гамильтону па прямом и окольном пУтнх. ДлЯ этого возьмем на пУти 7„' точкУ си, отвечающую моменту времени 1, где 1о < 1 < 11, а также бесконечно близкую ей точку еи, отвечающую моменту 1+ сЕд Проведем траектории а,,с для некоторого вспомогательного действительного движении точек Р„ при котором они за время 1 — 1о приходят из начальных положений а„в их положении со, Расположенные на кРивой 7', отвечающей окольномУ пути.
Аналогичнос пусть кривые а„е будут траекториями еще одного вспомогательного движения. при котором точки Р, за времн 1+ сЕ1 — 1о приходят из положений а, в положения е, на кривой 7с. И вообще проведем траектории таких вспомогательных действительных движений для всех положений точек Р, на кривой 7„' (и = 1, 2, ..., Л').
где и и дП,Сдг„вычисляются на пути а /'„. Учитывая, что Р„= — дПссдг„, интегрируя по частим и пользунсь тем, что бг„(1о) = О, имеем 478 Глава Х111 Пусть 7 — положение, которое занимает точка Р„в момент времени 1 при се движении по вспомогательной действительной траектории а„е„. Таким образом, дуги а 1„ и а,„с двух вспомогательных действительных траекторий и дуга а,с„лвляющаяся частью кривой у„', с, отвечающей окольному пути, проходятся точкой Р„за одно и то же времн 1 — 1в.
Поэтому дуга 7 е на вспомогательной траектории и дуга с,е„ кривой 7,' проходятся также за одинаковое время, причем это время равно й. Обозначим длины дуг 1'„св и с„е, соответственно <1а, и й . Из бесконечно малого треугольника с Г' е (рис. 169) получим Рнс. 169 <11' = йтз + бв' — 2йт„бв» сов а„.
Умножим обе части этого равенства на т„и просуммируем по всем точкам системы. Замечая затем, что по предположению в рассматриваемой малой окрестности начального положения системы кинетических фокусов нет н, следовательно, среди величин бв, (и = 1, 2, ..., Дт) хотя бы одна отлична от нуля, получаем неравенство т„<11~ > ~~< тп„йт~ — 2~~< т <1а,сова„бв . (26) Если 1' кинетическая энергия системы при ее движении по окольному пути, а Т вЂ” кикетическан энергия системы при движении ее точек Р„по дугам 7,е„, отвеча<ощим вспомогательному действительному движению, то тп йз = 2Т'й, ~ <п <1а~~ = 2ТФ~. (27) Так как <1<т,/<11 = э„то, используя формулы (27), неравенство (26) можно написать в виде Т'й > Тй — ~т„а,сова бв„. (28) (Т< — П)й > (Т вЂ” П)й+ (аЯ) — (ас). (29) Вычтем из обеих частей величину Пй и воспользуемся равенст- вом (25).
Получим З 1. Принцип Гамильтона — Остроградского Так как (Т вЂ” Пд1 = [1" е), ~Цс~ + [ад « — [сс1 = [ас) — [ас), то праван часть неравенства (29) равна дифференциалу дВ действия по Гамильтону при переходе от одной действительной траектории к другой, когда времн движении увеличиваетсн на 111.
Поэтому (т'-П)д1 > дВ. (30) Интегрируя это неравенство от 1 = 1„до 1 = 11 и вводя обозначения В р и В„к для действии по Гамильтону па примам и окольном путях системы«получим (31) Во««> Впр. Таким образом показано, что если начальное и конечное пслосиенин системы достаточно близки, тс действие по Гамильтону на прямом пути имеет минимальное значение по сравнению с его значениями на окольных путях, проходимых за то же времят, Пусть точки Ае и А1 расширенного координатного пространства отвечают на- О С к чвльному и конечному положенинм сис- С Н А, Г темы (рис.
165). Если точки Ас и А1 до- В статочно близки, то действие В на примам пути имеет минимум. Выясним, насколько близкими долясны быть точки Ае и А1, А, чтобы на прямом пути действие оств- Рис. 170 валось минимальнымз. На прямом пути АсА1 первая вариация бВ действия по Гамильтону всегда равна нулю. Если точка А1 близка к точке Ас, то в силу минимальности действия вторан вариация д~В на прямом пути положительназ.
Будем удалить точку А1 от точки Ао. Пусть 1; — то значение 1„при котором вариация дго', вычисленная на окольном пути А„НА1, в первый раз обращается в нуль (рис. 170). Следовательно, действии по Гамильтону ца путях АсНА1 и АсВА1 равны с точностью до членов второго порядка включительно относительно величин )дуг), (Щ) (г = 1, 2, ..., и): (32) ВлаНА« = Влепл« По втой причине принцип Гамильтона Остроградского часто назыееют принципом наименьшего дейстеия. гсм. шестую лекцию в книге: Якоби К. Лекции по динамике. МлЛл ОНТИ, 1936, а также гл. 12 книги: Лурье А.И. Аналитическан механика. Мл Физматгиз, 1966.
зМы не рессматризаем те исключительные случаи, когде вопрос об зкстремааьности д решеюсн с привлечением вариаций более высокого поридка. Глава Х111 Покажем, что на самом деле АоНА, — прнмой путь, т. е. Ао и Аа— сопряженные кинетические фокусы. Предположим, что это не так, т. е. что путь АсИАо не нвляется прямым. Тогда возьмем на нем точки С и В и соединим их прямым путем СЕВ. По доказанному выше для достаточно близких точек С и Ю ВСНН < ЯСНН.
(33) Отсюда и из 132) следует, что (34) ОлоСННЛ, < СЛоСННАо олонло' Это неравенство противоречит предположению о том, что А| ость первое положение на прямом пути Л1аВАы при котором вторая вариация озЯ обращаетсн в нуль при надлежшцем выборе окольного пути, проходящего через Ао и Аа. Проведенное рассуждение показывает, что если конечная точка А1 лежит перед кинетическим фокусом, сопряженн м с начальной точкой Ао, то дейтпвие по Га ильтону на прямом пути АеАо имеет минимум.
Пусть теперь А1 сопрнженный кинетический фокус для точки Аа, а конечнан точка прямого пути Г лежит за точкой А1 1рис. 170). Здесь уже действие на прямом пути АоВА1Е не будет минимальным. Длн доказательства укажем такой окольный путь, на котором действие по Гамильтону меныпе, чем на пути АоВАоГ. Для этого на ранее построенном прямом пути АоНАо возьмем точку С, настолько близкую к Г, чтобы действие на соединяющем эти точки прямом пути СКГ было минимальным.
Тогда 135) ВСКР < ВСЛ, + ВЛ,Р. Отсюда и из 132) получаем ВАоНСКР оАоНС + оСКР < оАоНС + ССАо + ВАоР ВАоНА~ +ВАоР олоВАо +оА~Р ВАоВА~Ро т. е. действие на построенном окольном пути меныпе, чем на примам. Поэтому действие на прямом пути не имеет минимума. Оно не может иметь и максимума, так как на малых участках прямого пути АоВА1Г действие минимально. Таким образом, если фокус, сопряженный с начальной точкой, лежит перед конечной точкой прямого пути, то действие по Гамильтояу не имеет на прямом пути ни минимума, ци максимума. Глава Х1П 482 11з (37), (38) и рассматпреннвга ваше экстремального свойства действия по Гамильтону следует, что првходящан через А и Н дуга бальшага круга лвлявтсн кратчайшей среди кривых, соединяющих А и В, если точка А" нв лвлсит на этой дуге, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
