1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Ориентацию диска относительно неподвижной системы коардинит зидадим при по- |Подробности см. в упомянутой монографии А. В. Карапетяна и В. В. Румяииова. 498 Глава ЛЛ' Т = — трг(1+ 4совв В)Вэ + — тр всаэ Оф + -тр Цсову+ ф)г, П = тдря1ггу. Переменные ф и:р будут циклическими координатами. Им соответ- ствуют первые интегралы (А = Т вЂ” П) г —. = — тря в1пв Огр+ —,тр (гр сов у+ ф) совВ = сг = сота, ПЕ 1, 2 Пгр 2 —, = — огр (фсояу+ ф) = с„= сопяс.
(26) (27) Приведенная система имеет одну степень свободы, а функция (19) име- ет вид д* = 1 трэ(1+ 4 савв О)уэ — 2 " "' (с — с соя О) св 8 тр сдп В тр Ес ги отбросить последнее слагаемое, несущественное для уравнений движения, то для потенциальной энергии приведенной системы имеем выражение (с„— с„соя В) И* = тбрвгпО+ 2 О тр я1пв В (28) Сугцеппвует такое движение, при котором один из диаметров диска расположен вертикально, а сам диск вращается вокруг этого диаметра с произвольной по величине постоянной угловой скоростью.
Для этпого двиягения — гр = О, г(г = аг = сопяс, 2' (29) причем 1 в с,~, = „— гпр (30) с„= О. Подставляя в функцию П* значения постоянных сб и се из (30), полагая О = к + д и разлагая П* в ряд по степеням д, получаем (несущест- 2 венную постоянную в функции П* отбрасываем) П* = — (трвго~ — 4тггдр)дз + — (2пгр аг~ + тпур)д~ + ° (31) 8 24 мощи углов Эйлера (рис.
137). Кинетическая и потпенциильная энергия диска определяютпся формулами (сы. и. 157) 3 2. Малые колебания !1ри выполнении неравенства )ьз! ) 2 (32) 32. Малые колебания 228. Лнненрнзнцня уравнений движения. Пусть копсерввтивнвн система имеет положение рэвновесин, в котором все обобщенные коорцинвты аа (з = 1, 2, ..., п) равны нулю.
Предполагая потенци- аЛЬиуЮ ЭНЕРГИЮ СИСТЕМЫ П(ГП, йз, ..., дп) ВНВЛИтИЧЕСНОй фуНКцИЕй В окрестности положения равновесии, разложим ее в ряд Тейлора где индексом 0 отмечены значения производных функции П в положении равновесия, т. е. прн ря = О (з = 1, 2,...,п). Без ограничении общности можно считать, что П (О, 0 ..., 0) = О. Первен сумма в разложении (1) равна пулю, твк квк в положении равновесия все обобщенные силы равны нулю: = — — =0 дП дрл 1з = 1, 2, ..., п). Таким образом, если ввести обозначения "= Гзезг ). Впрочем, для доказательства неустопчиаости при применима и теорема 2 Ляпунова из п.
226. так как ке Ч = 0 имеет максимум, и это узнаетсн по членам — второго) порядка в разложении (31). выполнении неравенства (32) при этом функция П* в точнаинизшего (в нашем случае функция П' имеет строгий локальный минимум в точке д = О. 11оэтому, согласно теореме Рауса, при условии (32) стиционарное движение диска (29) устойчиво. Если лсе неравенство (32) не выполняется, то функция П* в точке д = 0 не имеет минимума, и это узнается по членам второго порядка в разложении (31).
Следовательно, согласно теореме 1 Ляпунова (сы. и. 226), при невыполнении неравенстви (32) имеет место неустойчивость'. БОО Г~ава Х»'р то разложение потенциальной энергии в рнд будет начинаться с квад- ратичной формы, имеющей постоянные коэффициенты: П = — й с»йп»»1й +... 1 'с 2х (2) Здесь многоточие обозначает совокупность членов, порядок которых относительно величин рй (1 = 1, 2, ...,п) больше второго. Будем пред- полагать, что квадратичная форма 1 — с»й»1»»1й »,й=1 (О) 2 = — 7 а»й(Ч» Чэ. ° ° ° ° »1»») Д» Чй 2 .2 Будем считать, что функции а;й (»11, ..., д„) аналитические в окрест- ности положения равновесия, и запишем их в виде рядов а»й(01, цз, ..., д„) = агй + Здесь многоточие обозначает совокупность членов первого и более вы- соких порядков относительно рй (1 = 1, 2, ..., и), аш = аш(0, О...., 0) .— постоянные коэффициенты.
Функция Т запишется в виде ряда 1 ч ~~ а' Ый+ ° ° . 2 ~ »,й=1 где многоточие обозначает члены не ниже третьего порядка относительно до»)» (1, 2, ..., и). Будем считать, что выбор обобщенных является определенно-поло»кительной. Тогда точка»11 — — »»з — — ... —— »й, = 0 будет точкой строгого локального минимума функции П (и», »1з, ..., »1„) и, следовательно, согласно теореме Лагранжа, положение равновесия устойчиво. В силу устойчивости положения равновесия величины »1»,»), (» = 1, 2,..., в) будут малыми во все времн движения, если достаточно малы их начальные значения. Используя малость величин о», »)», можно упростить дифференциальные уравнения движения системы вблизи ее положения равновесия.
Для этого можно заменить полные уравнения движении приближенными, сохраняя в них только линейные члены относительно д», »)» (1 = 1, 2, ..., п) и отбрасывая все нелинейные члены. Еинетическая энергия системы имеет вид 501 () е. Малые колебания координат сделан так, что в положении равновесия определитель (18) и. 139 (при гп = и) отличен от нуля.
Тогда квадратичная форма 1 ч — » ась д«дь (5) будет определенно-положительной относительно д«(» = 1, 2, ..., п). Уравнения движения запишем в виде уравнений Лагранжа второго рода — — — — '=О («=1,2,...,~). «1 дй 01 (6) «(1 дд«дря Рассматривая зги уравнения при малых значениях величин Чо дь заменим в функции Лагранжа 1 = Т вЂ” П величины Т и П их разложениями (4) и (2). Тогда получим уравнения движения в виде (а«»у»+ с«ьди) +... = О (» = 1, 2, ..., и), (7) »=1 гце многоточием обозначена совокупность членов второго и более высоких порядков.
Если их отбросить, то придем к линейной системе с постоянными козффнциентами: 1 (а«яд» + с«»да) = О (» = 1, 2, ..., п), (8) Эти линейные уравнения получаются из уравнений (6), если считать, что в функции Лагранжа величины Т и П заменены нх приближенными выражениями (5) и (3). Теория малых колебаний консервативной системы вблизи устойчивого положения равновесия опирается на такую линеаризацию и рассматривает приближенные выражения (5) и (3) для Т и П как точные. Когда говорят «малые колебания», то обычно имеют в виду движения, описываемые системой дифференциальных уравнений, полученной в результате лннеаризации полных (нелинейных) уравяений движенил. Б случае движений в окрестности положения равновесия консервативной системы линеаризация сводится.
как мы видим, к получению Т и П в виде квадратичных форм (5) и (3). Для упрощения записи уравнения (8) удобно представить в 502 Глава ХЛ' векторно-матричной форме. Пусть аы аж агг ... агп 1122 ° ° ° глгп А= апг апг ... апп Сгп Сап си С21 С12 сгг С= Г 1 Гпг Г~г1 Тогда Т = — (Ао. о), П вЂ” — (Со. я)г (0) и уравнения (8) запишутся в виде (10) Ао+ Со = О. 229. Главные координаты и главные колебания, Выясним структуру решений уравнений (8) (или (10)), описывающих малые колебания в окрестности пололгения равновесия.
Для этого рассмотрим пару квадратичных форм (Ад ° о) = ~~~ а1йг11дл, Ьли1 Обе эти формы определенно-положительны. Из линейной алгебры известно', что если даже олна из форм (11) была бы определепноположительной (за такую форму мы будем принимать первую из квадратичных форм (11)), то существует вещественная неособенная замена переменных О = ТУВ (ОЕ1 ТУ ~ О, д = (В1, Вг, ..., Вп)), (12) приводящая в сумме квадратов сразу обе квадратичные формы (11): 1См., например, гл.
У1 книги: Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. Мл Наука, 107б. и (Ао ° и) = ~ В,'. 1=1 и (Сд ° д) = ~~~ с11111ай. (11) ай=1 503 'З' оь Малые колебания При этом величины Л, с точностью до порядка следования однозначно определяются первоначальными квадратичными формами и не зависят от выбора замены переменных (12). В нашем случае все Л. (» = 1, 2....., и) положительны в силу того, что П определенно-положительна. Отметим, что если в окрестности точки цз = аз = ... = ца = О координатного пространства оы аз, ..., о„ ввести евклидову структуру при помощи удвоенной кинетической энергии 2Т. т. е. принять за скалярное произведение векторов и и е величину (Аи е), то преобразование (12) можно выбрать ортогональным в смысле этой евклидовой структуры.
Ото означает, что, если и О = 1, 2, ..., и) — »-й столбец матрицы С, т. е. замела переменных (12) имеет вид п=~ донь 1=1 (14) то выполняется условие нормировки (15) (Аьй ьВ) = 4,, где дМ символ Кронекера (дМ = 1, если г = » и б;. = О, если 1 ф»). Так как обобщенные скорости а; и д.
связаны теми же соотношениями, что и обобщенные координаты а, и д,ч п= 1»В, т = -' ~ ~' д,', И = —,' ~ Л» д,'. (18) »=з »=з Обобщенные координаты д» называются главными, или нормальными координатами. В главных координатах уравнепил движения (8) запишутсн в виде и не связанных одно с другим уравнений второго порядка 01 + л»д = О, 0 = 1., 2,..., я). (17) Так как все Л. положительньц то каждое из этих уравнений описывает колебания гармонического осциллятора: д = с»в1п(ы,1+а ) (» = 1, 2....., н).
(18) то в первой из формул (13) можно величины д; заменить на ць а ве- личины д, на д . В новых переменных кинетическая и потевциальная энергия имеют вид ООб Глава ХГ1 Здесь вг = ,/Л вЂ” частоты колебаний, с, од — произвольные постоянные. Из (14) и (18) получаем общее решение уравнений (8) (или (10)) о = ~ ~с.и е1п(вл 1+ о ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
