1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Тогда уривнение поверхности тела в окрестности точки Р* запишется в виде 7= — 71 — г+ —, ~ — + — ) + ° =О, 1 гх 9 1 21 г'2) 111) гобзар полученных результатов содаржктся з монографии: КаралатякА.В., РумянцааВ. В. Устайчяаасть консервативных к дясскцатцлцых систем. М.г ВИНИТИ, 1982.
(Итога науки я техники. Сар. Обжал механика: Т. 6). 2Даказательстаа можно найти а работе: Лялунаа А. М. О неустойчивости равнааесяя а некоторых случаях, кагда функция сял не есть максимум О Собр. сач. 'Г. 2. Мц Лг Изд-ла АН СССР, 1056. С. 391 — 400. ЗДля применимости теоремы 2 а конкретных задачах необходимо, чтобы разлажацка функцкк П начиналось с адкарадкай функции (формы) Пг 1дг, ..., 9 ] чатяай стацакк Ь, а функцкя Па должна быть агряцаталькай а некоторой окрестности лаложанкя ралналаскя (ксклкгчая сама зтк положение). будет ли неустойчивым положение равновесии консервативной системы. если в этом положении потенциальнан энергии не имеет минимума, янлнетсн очень сложным, н до сих пор на него не получено исчерпывагощего ответа'.
Первые строгие результаты в решении этого вопроса получены Ляпуновым. Дадим без доказательства две его теоремыг. Функцию П(г7г, ..., уа) предполагаем аналитической в окрестности положения равновесия. Теорема 1. Если потенциальная энергия консервативной системы е положении равновесия не имеет минимума и это узнаегпся уже по членам второго порядка в разложении функции П в ряд в окрестности положения равновесия без необходимонпи риссматривания членов высших порядков, то положение равновесия неустойчиво. Глава ХЛ' Здесь х, д, г координаты точки Р поверхности о, которой тело касаетск плоскости при малом его отклонении от положения равновесия (рис.
119), Ь - расстояние центра тяжести тела от опорной горизонтальной плоскости в положении равновесия (т = у = О, г = — 6), г1 и гэ — главньяе радиусы кривизны поверхности тела в точке Р'; так как поверхность о выпуклая и целиком находится выше опорной плоскости, то величины гм гэ положитпельньь Многоточие в уравнении (11) обозначает совокупность членов, порядок которых относительно х, д выше порядка членов, выписанных явно. Потенциальная энергия тела вычисляется по формуле (12) П = т4, где ! = — (и ь Р) — расстояние от центра тяжести до касательной плоскости к поверхности тела, а G единичная внутренняя нормаль в точке Р. Нэ уравнения (11) и формулы (2эг) и.
1 !4 имеем следующие выражения для компонент вектора п: 71 = + ''' . 72 = , + ''' 73 = 1 х 1 ' + ) + ''' (!3) х у 1 тг у г1 ' - г ' 2(гэ гэ) ~" ") Учитывая, что СР' = (х. у, г), и пренебрегая в выражении для П несущественной аддитивной постоянной тджх, полу саем из (11) — (12) П=гтя х + у + 1 г1 — Ь 2 гз — 6 2 г| г Отсюда и из теоремы Лагранжа следует, что если центр тяжести, тела находится ниже обоих главных центров кривизны поверхности тела в точке его касинин с опорной плоскостью, то положение равновесия устойчиво. Если же центр тяжести лежит выше хотя бы одного из главных центров кривиэньц то, согласно теоремам 1 и 2 Ляпунови, имеет место неустойчивость. 22Т.
Стационарные движения консервативной системы с циклическими координатами и их устойчивость. Пусть в голономной системе с п степенями свободы обобщенные координаты ди (о = к + 1, ..., и) явлнютсн циклическими. Остальные обобщенные координаты у; (1 = 1, 2, ..., к) называются (при наличии циклических координат) позиционными.
Потенциальная энергия П и коэффициенты а;ь кинетической энергии 1 ч Т = Тз = — г аьзум)э. 2 () 1. Теорема Лагранжа ой устойчивости положении раеноеесил 495 будут функциями только от позиционных координат. Согласно и. 164, существуют первые интегралы, отвечающие циклическим координатам: д5 дТ2 = с = сопит (гг = й+1, ..., и), (15) дчо дчо В= Е с6 — 1 (16) и вьЦ>алим ее чеРез позипионные кооРДинаты фо их пРоизволные й> (х = 1, 2, ..., Й) и постоянные со (о = й+ 1, ..., и). Введем обозначе- ние В' = — В+ П. Тогда уравнения Рауса запишутся в виде (17) с~ дВ* дВ' дП г(1 д>)1 дде д91 (18) Функпин В* может быть представлена в виде суммы В* = Вт + В> + Во (19) где В,* — квадратичная форма производных позиционных координат', Йз = 2,> ад(д>, ..., >7й)дегбь 1 ч (20) >,>=> Функция В' пикейна относительно 1), (> = 1, 2, ..., й) з: В,* = 2 о>(>7>....., фй, со) = >)1 (о = 1с+ 1, ..., и), (21) Можно показать, что Н,* —.
определенно-положительнал кеедратичнаи форма относительно 4> (> = 1, 2, .... й). Гм., например: Гентмахерйь Г. Лекции по аналитической механике. Мл Науке, 1966, гл. 7, е также: Меркни д. Р. Гироскопические системы. М.> Наука, 1971, гл. 1, гЕсли выражение кинетической энергии не содержит проиэаецений позиционных скоростей 4, на цикличес>гие скорости 4, т.
е. если а, = О (> = 1, 2, ..., й; а = й Ч- 1, ..., и), то функции и.* тожцестаенно равна нулю. В этом случае рассматриаееман система нааыеаетси гироскопически песен>елкой. где А = Т вЂ” П функция Лагранжа, Считая, что гессиан (6) и. 165 отличен от нуля, составим функцию Рауса Глава Х1$' В;, зависит только от позиционных координат и величин с . Использун представление (19), запишем уравнения Рауса (18) в виде д М; дП,* д(П-Л„*) ~й дЦ дк,*') ь11 дц; дд„дць ),йг дц; даь / (22) Из равенства (21) следует, что — — у,*,»1 (1 = 1, 2, ..., й), (23) йг дуг д% где д»,*, да,'. — — (ь',у=1,2,...,й), (24) ц дьд дьд ' 0 1' т. е. выражение во второй круглой скобке правой части (22) приводит к понвлеиию гироскопических сил, линейных относительно позиционных скоростей. Итак, уравнения (22) можно рассматривать ьак дифференциальные уравнения движения некоторой приведенной системы с и степенями свободы, кинетическая энергии которой равна В,*, а обобщенные силы состоит из гироскопических сил и потенциальных сил, производных от потенциала П" = П вЂ” Лз*.
Потенциал П* приведенной системы называют приведении я потенциалом (приведенпой потенциальной энергией), или потенциалом Раус». Если исходная система нвляется гироскопически несвнзанной, то в приведенной системе гироскопические силы отсутствуют. Стационарными движениями исходной консервативной системы с циклическими координатами называются такие ее движения, при которых позиционные координаты ц; (1 = 1, 2,..., й) и циклические скорости д (о = и+1,..., п) постоянны. Из (!5) и (22) следует, что стационарные движения существуют в том и только в том случае, когда отвечающие им значения позиционных координат удовлетворяют уравнениям дул =0 (1=1,2,...,й), (25) т. е. стационарные движения исходной системы соответствуют пологке- ниям равновесия приведенной системы.
З Ь Теорема Лпграяясп об устойчивости положения рпвяоееспя 497 Пусть длн каких-либо значений постоянных с = с в система уравнений (25) имеет решение уе = рлэ = сопйй Тогда в стационарном движении у; = йдп, у; = 0 (1 = 1, 2, .... я), с = с п (гт = я + 1.....п). Допустим, что в начальный момент времени 1 = 1с величины де, д, мало отличаются от нх значений., отвечающих стационарному движению. Будут ли тогда величины рл — олэ,с)е (1 = 1, 2, ..., Л) оставатьсн малыми для всех 1 > 1в? Иными словами, будет ли рассматриваемое стационарное движение устойчиво по отношению ь переменным ей, д, (1 = 1, 2, ..., к)? Ответ ва этот вопрос можно получить, используя теорему Лаграияса.
Так как наличие гироскопических сил нс нарушает закона сохранения полной энергии, то для приведенной системы существует интеграл Е* = Пс', + П'. Если теперь в и. 225 заменить Е на Е* и повторить рассуждении, пропеленцые прн доказательстве теоремы Лагранжа, то придем к следующей теореме Рауса об устойчивости стационарных движений голономной консервативной системы с циклическими координатами.
Теорема. Если в стационарном движении потенциальная энергия П*(уы ..., уя, спп) приведенной системы имеет строгий локальнььй минимум, то этп движение устойчиво по отношению к переменным ам ае (1=1,2, ..., 1с). ЗАмкчлннв 2. Приме яя теорему Лагранжа, мьь фиксировали постоянные с, остаезшя их такими лсе, как и в самом стационарном движении.
Ляпунову принадлежит существенное дополнение к теореме Рауса, которое допускает малое изменении постоянных с . Пменно, если П* имеет минимум кан при со сс с„э, так и при значениях со = с„о+ 1то (~1то~ << 1, а = 'к+ 1,.... 'и), пРичем позиционные координатьс дш(с ) е точке минимума П* непрерывны как функции с„, гпо ппационарнпе движение устойчива по итошению к возмущениям величин дм д, (ь' = 1, 2, ..., 1с) Примкр 1 (Устойчивость врлщкння дискА вокруг ввртнкллн).
Пусть круговой однородный диск рндиусом р и массой т движется в однородном поле тяжести по абсолютно гладкой горизонтальной плпскости, касаясь ее одной точкой своего края. Лак отмечалось в п. 114, при движении твердого тела по абсолютно гладкой плоскости проекция его ценгпра масс на плоскость движется равномерно и прямолинейно. Без ограни ~ения общности ложно считать ее неподвижной; тогда центр масс тела будет двигагпься по заданной вертикали.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
