1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 85
Текст из файла (страница 85)
(19) Эта формула охватывает все решения системы (8). Пусть среди постоянных с,. (у = 1, 2,..., я) отлична от нуля только одна постоянная ел. Тогда из (19) получаем ОУ = слыл е!п(ылг, ол). (20) Это решение описывает колебание системьО которое называют й-м главным, или нормальным колебанием.
Вектор иь называют амплитудным вектором й-го главного колебания . В й-м главном колебании все обобщенные координаты совершают гармонические колебания с одной и той же частотой ыл, отношение амплитуд колебаний отдельных обобщенных координат определяется отнопзением соответствующих компонент амплитудных векторов. При практическом нахождении решения (19) можно поступать следующим образом. Ищем решение системы (10) в виде а = из1п(ы1+ о). Подставив это выражение для о в уравнение (10) и сократив затем на е1п(ог1+ о). получим уравнение для амплитудного вектора ы (С вЂ” ЛА)и = 0 (Л = ыз).
(21) Чтобы зто уравнение имело нетривиальное решение относительно компонент амплитудного вектора и, надо потребовать, чтобы величина Л удовлетворяла уравнению г1е1(С вЂ” ЛА) = О. (22) Это уравнение называется уравнением частот, или веновгнм уравнением. Из предыдущего изложения теории главных колебаний следует, что оно имеет только положительные решения; каждому корню Лд етого уравнения соответствует амплитудный вектор ид (з = 1., 2, ..., н), причем если какой-либо корень Ль уравнения (22) будет кратным, то всегла можно найти ровно столько соответствующих ему линейно независимых амплитудных векторов, какова его кратность.
Амплитудные векторы из уравнении (21) находятся с точностью до произвольного постоянного множителя. Их нормировка (если она требуетсн) производится в соответствии с условием (15). 505 1' 2. Малые колебания 11гимвг 1 (Мллыв колввлния двойного ылятникл). Рассмотрим двойной маятншц движущийся в вертикальной плоскости в поле тяжести (рис. 15). Вотпенциальная энергия маятника найдена в прильере 3 п. 54: П = —,— тК1(3 сов ьз+ сое ф). 1 Кинетическая энергия вычисляется по формуле (см. пример 2 п. 215) Т= — т! ~хф +рьйсое(!о — ф)+ гф ~. 1 з14 г 1 'з1 2 ь3 3 Аналогично, учитывая только члены второго порядка малости в разло- жении кинетической энергии в ряд, имеем 7 1 1г (4;а+д,+ 1~г) Если ввести обозначение д' = (ю, зр), то матрицы А и С в выражени- ях (О) будут такими: 4 1 3 2 3 О О А = зп! С = гпК! 1 1 2 3 Уравнение частот (22) может быть записано в виде 2 7Л вЂ” 42 — Л+ 27 — = О.
Оно имеет корни Ль = 3 1+ 7 —, Лз = 3 1 — 7 !. (23) Существует положение равновесия маятника, когда оба стержня занимают вертикальное положение, а ~р = ф = О. В этом пололсении потенциальная энергия маятника лшнимальна и равновесие устойчиво. Исследуем малые колебания маятника вйяизи этого положения равновесия. Ес ш отбросить несущественное постоянное слагаемое — 2тК! в разложении функции П в ряд в окрестности положения разновес~ я ьо = ю = 0 и сохранить только члены второго порядка малости, то получим 505 Тггава Х1Р Частоты ш; главных колебаний вычисллютса по фоРмУлам щз = ° /Лзд (г = 1г 2).
Из уравнения (21) и условий нормировки (15) получаем следующие выражения для амплитудных векторов и, отвечающих частотам аг; (г' = 1, 2) г — 1 — ч/7 5+ чг7 Таким образом, общее решение уравнений маггых колебаний двойного маятника будет такилг: гр — 1 — ч/7 — 1+ г/7 = г:г,— яггг(гог1+ ог) + гз г — ггп(ьгзг + оз)г ф 5+ гг7 5 — Ч7 (25) где с ч аз (г' = 1, 2) произвольные постоянные. Первое и второе главные гго гебания отвечают значениям постоянных сг у: О, сз = 0 и сг = О, сз ф 0 соответственно.
Отношения йг (~ = 1, 2) амплитуд колебаний углов гр и ф в первом и втором главных колебаниях и направления отклонений стержней от вертикали характеризуются величинами 1 + ч/7 1 — 2ч/7 5+ /7 У 1 — ч'7 1 + 2ч/7 ч/7 9 а б Рис. 173 которые называются коэффициентами форм главных колебаний. При первом главном колебашш (с большей частотой агг) стерлсни в любой момент времени будут откгонены от вертикали в разные стороны (рис. 173г а), а при втором главном колебании (с, меньшей часгпотой агз) — в одну и ту же сторону (рис.
173, б). 230. Колебания консервативной системы под влиянием внешних периодических сил. Пусть к точкам консервативной системы приложены внешние силы, которым отвечают обобщенные силы г.,)г = Щ(г) (г = 1,2г...,п). Влияние этих сил на колебания системы вблизи устойчивого положения равновесия удобно исследовать, если воспользоваться главными 507 з 2ч Малые колебания бА= ~~ Ц»ба» = ~~ О,бдэ »=1 »=» (26) но согласно замене переменных (12) ба» = ~~~ и;-бд;. 0;=~~ иМ0, »=» Поэтому и и и и / и Я»бд» = ~~ (»; ~~ и,бд» = ~ ( ~~ »нЯ» бд,. (27) и=1 »=» »=1 »=1 Из равенств (26) и (27) следует, что (28) В нормальных координатах малые колебания консервативной системы с учетом внешних сил будут описыватьсл уравнениями О, + о»зд» = 0,(1) (у = 1, 2,..., и). (29) Пусть внешние силы Щ(1) — — периодические функции времени с перио- дом 2л,»О и такие, что обобщенные силы (28) представимы в виде рядов Фурье 0» = ~~ Ь»яз1п(Ю1+о»л) О =1, 2,..., и) л=о (30) Здесь б,ь, о»л (» = 1, 2,..., и; к = О, 1, 2,...
) — постоянные величины. Общее решение уравнений (29) (при к(1 у': о»») имеет вид 0 = с ейп(ш 1+ о ) + 0" (1), (81) координатами О», дз, ..., ди, введенными в предыдущем пункте. Силам Я»(1) в координатах о, (ю = 1, 2,..., и) отвеча~от обобщенные силы 0 (1) в главных координатах 0 (» = 1, 2, ..., и). Длл нахождения величин 0»(1) приравнпем выражение для элементарной работы сил в координатах 0» и д".
Ггава Х1'г' 508 где сзь ат — произвольные постоянные, а через О,"(1) обозначены сла- гаемые 0* = ~ ~ а1п(кй1+ ать) (у = 1, 2,..., и), (32) — Й'й' которые появились в общем решении из-за наличия внешних периодических сил. Из (14) и (ЗЦ получаем о ь и = ~~> суп. Йп(ытэ + от) + ~~~ 01(1)иу. 1=1 (33) Первая сумма в (33) представаяет свободные колебания, а вторая вынужденные колебании системы, возникающие из-за влияния внешних периодических сил. Голи же при каком-либо значении числа й окажется, что 611 = цт для некоторого у, то при Ь ь ф 0 решение в форме (31), (32) непригодно, так как в сумме (32) будет слагаемое с нулевым знаменателем, Говорят, что в этом случае имеет место резонанс в вынужденных колебаниях системы. Каким будет решение уравнения (29) при резонансе? Для примера рассмотрим одно уравнение вида О+ы 0 = овшш1.
Общее решение этого уравнения имеет вид (34) 0 = са1п(~А+ а) + 0*(1), (35) где с, а -- произвольные постоянные, а 0*(1) = — —,1схж ~Л. 2ы (36) Функция 0*(1) является неограниченной. Колебания, описываемые уравнением (34), уже не будут малыми. А потому для описания движения вблизи положения равновесия уравнения (34) должны быть заменены другими уравнениями, учитывающими отброшенные при лииеарнзации нелинейные члены в полных уравненинх движения. Так в данном конкретном примере мы приходим к необходимости теории нелинейных колебаний. з К. Малые колебания 11РигикР 1 (Плпсииы кплкнАнин тнкРЛОГО тул!А нА нлз!интичкккпй опнитк).
Дифференциальное уравнение, описывающее плоские движения твердого тела в центральном ньютоновсколг гравитациотгом поле, имеет вид (сы. и. 128) (1+ е сова) — 2еяпи — + 3 ягг!рсое!о = 2еяпи, (37) 4 уг .. дгр А — В !!из ди С !12 |р г1гр (1 + е сов и ) — 2е вт и — + иго~ !о = 2е егп и. доз д (38) . А — В Здесь введено обозначение иго — — 3 . Тазг как моменты инерции удовлетворяют неравенству треугольника А — В < С и по предположе- нию А > В, то О < иго < 3 (39) Вынужденные колебания спутника, описываемые дифференциальн м уравнением (38), иигем в в!где ряда по степе!!ям е гр* = егрг + е грэ+ ..
2 (40) Подставив это разложение в уравнение (38) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях е в его обеих час ях. получим линейные не- однородные дифференциальные уравнения для функций грг, лог,....,г(згя функции грг имеем уравнение гР грг +агогр! = 2вгпи. йиз (Л1) где А и  — моменты инерции тела относительно его главных центральных осей инерции Ох и Оу, которые для плоских движений все время располоясеггы в плоскости орбиты, С момент инерции тела относительно оси, проходящей через центпр масс перпендику ярно плоскости орбиты! уг — угол между осью Оу и осью ОУ, направлен!!ой вдоль радиуса-вектора центра масс тела относительно притягивающего центра, е эксцентриситет орбитлг, О = с < 1.
Ла круговой орбите существует положение раяговесия твердого тела в орбитальной системе координат, отвечающее решению ~р = О уравнения (37) при е = О. При условии А > В положение равновесия устойчиво. Предполагая это условие вьтолненнылг, рассмотрим малые плоские колебания твердого тела вблизи по гожения го = О„вызываемые эллиптичностью орбиты. Эксцентриситет орбиты считаем малой величиной. Диггеаризуя уравнение (37), получаем 310 Глава ХГУ Вз (40), (41) находим решение, описывающее вынужденные колебан я тела, в виде ~р* =, ' 61пи+ ..
шо (42) (43) шо = 1 + р (О < (7з! « 1). В ураонении (37) сделаемз химену переменных 97 = гс, где с = еггз. Подсгпавим это значение 97 в уравнение (37) и представив обе его части в виде рядов по степеням г, получим (после деления обеих частей на е) левкое уравнение: йз~ Й + озф = сз ( ~оф~ + 2 нш и) +..., (44) где многоточие обозначает члепьь вьгизе второго порядка ма гости от- носительно е.
гСмд Сарычев В.А. Вопросы ориентации искусственных спутников. М.: ВИНИТИ, 1976. (Итоги науки и техники. Сер. айсследование космического пространства»; Т. М). зМы не даем здесь обоснования исследования колебаний при резонансе и в случае. близком к резонансному. О строгом обосновании излагаемой процедуры см. статьи: Маркеса А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
