1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Например, при ьч = 2 функция 1' = хз — хз знакопеременна, а функция 1" = хз + хз зопределенно-положительна: функция же Г = хз знакопостоннна, так как она обращаетсл в нуль на оси Охз, а вне этой оси полозкительпа. Как узнать, будет функцил Е знакоопределенной или нет? Гели Е представляет собой квадратичную форму, то знакоопределенность ее )) 2. Основные теоремы прямого метода гуяпунова 517 могкно установить при помощи известного критерия Сильвестра. Если 1' — форма нечетной степени, то она, очевидно, будет знакопеременной функцией.
В приложениях Е часто бывает аналитической функцией в области ~ж,~ < Ь, если Ь достаточно малан величина. В таких случаях при решении вопроса о знакоопределенности функции бывает полезно следугощее легко доказываемое утверждение ': если величина Ь достаточно мала, то в области ~ж1~ < Ь знакоопределенность и знакопеременность формы сохраняются при добавлении к ней любой совокупности членов более высокого порядка. При достаточно малых значениях ~с~ поверх- НОСТЬ Ъ'(Х1, жг,... Лт) = С, ГДŠŠ— ЗиаКООПРЕделенная функция.
является замкнутой поверхностью, содержащей внутри себя начало координат. Для доказательства примем для определен- 1г=с, ности, что 1' определенно-положительна, и обозначим а точную нижюою грань функции Е на Рнс. 174 границе области ~лг~ < Ь. Так как функция Е определенно-положительна, то а > О. Итак, на границе области ~:г,~ < Ь 1г > а. Рассмотрим теперь значения функции 1г на непрерывной кривой, соединяющей начало координат с какой-либо точкой, лежащей па границе области ~к,~ < /1. В начале этой кривой Е = О, а в конце кривой значения функции не меньше чем а. В силу непрерывности функции 1г в некоторой точке рассматриваемой кривой Е обязательно принимает значение с, если только с < а, что и будем предполагать. Это означает, что выбранная кривая пересекает поверхность Е = с.
Так как рассматриваемая кривая может быть произвольной, то отсюда следует, что поверхность 1г = с замкнута и окружает начало координат. Если 1г — определенно-положительная функция и ст > сз, то поверхность Е = сз находится внутри поверхности 1' = сг, причем, в силу однозначности функции 1г, эти поверхности не имеют общих точек (рис. 174). Если с — 1 О, то семейство замкнутых поверхностей 1' = с стягивается в точку, совпада1ощую с началом координат. Отметим, что если Е будет знакопостоянной или знакопеременной функцией, то поверхности Е = с при достаточно малых с разомкнуты.
3 2, Основные теоремы прямого метода Ляпунова 233. Теорема Ляпунова об устойчивости движения . В этом параграфе рассмотрены теоремы., составляющие основу прямого мето- См., например, 17 книги; Малкин Н. Г. Теории устойчивости движения. Мл Наука, 1966. Глана ХУ да Ляпунова в теории устойчивости движения. Будем изучать только установившиеся движения. Сначала рассмотрим теорему Ляпунова об устойчивости. Теорема. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что существует знакоопределеннан функция Ъ', производнак которой 1' в силу этих уравнений является или знанопостоянной функцией противоположного знака с 1г, или тождественно равной нулю, то невозмущенное движение устойчиво. Доказательство.
Пусть, например, $' определенно-положительна. Тогда в окрестности ~х1~ < Ь (1 = 1, 2,..., т), где Ь вЂ” достаточно малая величина, точка хт = хз = ... = х = О будет точкой строгого локального минимума фуикпии 1г. Так как Г ( О, то на траекториях уравнений возмущенного движения в области (Ц 1г будет певозрастаюшей функцией. Дальнейшее доквзательство сводится к почти дословному повторению рассу1кдений, проведенных в и. 225 при доказательстве теоремы Лагранжа. Теорема Ляпунова дает достаточные условии устойчивости движения. Применение этой теоремы требует знания функции 1г, обладакзщей вполне определенными свойствами, Общих методов построения таких функций нет. Однако во многих практически важных случаях функци!о 1' можно построить, если известны первые интегралы уравнений возмущенного движения. Например, при доказательстве теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы в качестве функции Ъ' годилась полная механическая энергия системы 1'.
Пусть !»1, Гз,..., Г1ь --- первые интегралы ураннений возмущенного движения. Без ограничения общности можно считать, что функции Е~з(хт, хз,...., хж) (» = 1, 2,..., й) обраща!отея в нуль в начале координат т! = хз = ... = х,„= О. Пусть ни одна из функций с! не является знакоопределенной. Будем искать' функцию '!япунова в виде связки первых интегралов Г»з (»' = 1, 2,..., !с): Р = Л!(Г! +... + Л,(»ь + !!1Е12 + " + !!ьД'„ где Л;, р: (» = 1, 2,..., й) — — неопределенные постоннные. Ясно, что 1г будет первым интегралом уравнений возмущенного движения. 'Смл Четаеви.Г.
Устойчивость движения. Работы по аиалитической механике. Мл Изд-во АИ ССС1', 1962. По вопросу о методе иитегрвльиых свяаок Четаева см. такзке работу: Поягарицкий Г. К. О построении функции Ляпуиова из интегралов уравнений возмуглеииого движения О ПММ. 1958. т. 22, вып. 2. С. 145-154. 'З 2. Основные теоремы прямого метода Ляпунова 519 Если постоянные Аз, р: удастся выбрать так, чтобы функция 1' была определенно-положительной, то она будет удовлетворять всем условинм теоремы Ляпунова об устойчивости движения. При этом в тех случаях, когда первые интегралы Сд О = 1, 2,..., к) могут быть найдены из каких-либо общих соображений (например, при помощи основных теорем динамики), .отпадает необходимость составления самих уравнений возмущенного движения, что существенно упрощает исследование.
Пгимкг 1 (Устойчивость стлционлгных вглщкний твкгдого тклл в слхчлк Эйлкгл), Как показано в п. 99, при стациоларнгах вращениях твердого тела в случае Эйлера вращение происходит с постоянной по величине угловой скоростью вокруг любой из главных осей инериии тела для неподвижной точки. Изучим устойчивость движения, в котором р=ш=сопзь, у=О, г=О. (2) Движение (2) соответствует вращению вокруг оси, отвечающей моменту инерции Л. Как показано в и.
98, динамические уравнения Эйлера имеют два первых интеграла +В.,з+ Сзгз Гз — — 2Т = Лр + Во~+Сгз, Введелч возмущения х, у, г по формулам (4) р=ю+х, у=у., г =г. Уравнения возмущенного движения будут иметь первые интегралы Гг 4хз + Вуз+ Сгз + 24шх ~7 Аззг+ Взуг + Сага + 24зшх (5) Последние выражения получены путем подстановки р, у, т из (4) в интегралы 13) и отбрасьаванием несуигественных постоянных в получившихся выражениях для Г1 и Гз. Функцию 1' возьмем в виде 1' = Г,г+ Гз'. (6) Ноно, что значения функции 1' неотрицательны при любых х, у, г.
Покажем, что если 4 — наименьший или наибольший из моменгпов инерции, то функция Г определенно-положительна. Для этого достаточно показать, что при малых х, у, г система уравнений С =О, 529 Гтава ХУ имеет единственное решение х = у = 2 = О Из системы (7) следует, чгпо ЛО1 — 172 = В(А — В)уз+С(А — С)22 = О. Если А . наименьший или наибольший из моментов инерции, то последнее равенство возмоясно только когда у = 2 = О. Из (7) тогда следуетг что х = О или х = — 2н1, и при достаточно мальгх х, у, 2 систелга (7) имеет единственное решение х = у = 2 = О.
Следовательно, стационарные вращения твердого тела в случае Эйлера вокруг оси наименьшего или наибольшего из моментов инерции устойчивы в смысле Ляпунова по отношению к возмущснинм величин р, у, с. Этот факт хорошо иллюстрируется картиной расположения полодий па эллипсоиде инерции (см. рнс. 99): вблизи осей Ох и 02 эллипсоида инерции, олгвечающих наибольшему и наименьшелгу моментам инерцииг полодии являются замкнутыми кривыми, охватывающими соответствующие оси. Напротив, вблизи оси Оу, отвечаюиьей среднему по величпне моменту инерции, володин не охвагпывают этой оси, и при малом возмущении стационарного вращения вокруг оси Оу вектор угловой скорости с течением времени покидает окрестность этой оси.
Ниже в и. 235 мы, строго докажем неустойчивость стационарного врагцения вокруг оси среднего по величине момента инерции тела. Пример 2 (УСтойчипОСть ПРАщепип тпжелОГО телА ВОКРУГ пеппдппгкпой точки в случАе ЛАГРАнжА ). Двизкение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки описываетсн системой дифференциальных уравнений (32), (35) и.
105. В случае Лагранжа Л = В, а, = Ь = О и уравнения движения имеют четыре первых интеграла (71 — — Л(р + д~) + Сз'2 + 2Рсуз = сопз1, ~г = Л(ргут + 11"12) + Сз Тз = сопз1, 2 2 2 = 71 + 72 ч 73 114 = г = соп81. Уравнения движения имеют частное решение у=О, г'=г'б=соп81, 'у1=0, 'уг=О, 'уз=1, (9) р = О., которому отвечает вращение твердого тела вокруг вертикально расположенной оси Ог с постоянной угловой скоростью го. Рассмотрим усгпойчивостыпакого движен я тела по отпношению к возмуизениям веЛиЧив Рг ао Г, У1, Уг, УЗ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
