1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Поэтому траектории, начавщаяся в точке хсо,хзо,...,х,по, нс может выйти из области 1г > О через ее границу Г = О, Покажем, что с течением времени траектории выйдет из окрестности (1). Предположим обратное, т. е. что траектории при всех 1 остаетсн внутри окрестности (1). Но тогда она должна находитьсн в области Ъ' > О. Но это невозможно. Действительно, функция Ъ', как непрерывная и не зависящан явно от 1, будет в области (1) при достаточно малых 6 ограничена., т.
е. 526 В«авн Х!с тоже ограничена. Пусть 1 точная нижинн грань функции 1г в этой области. Тогда при всех 1 > 1о (24) 1" >1> О. Отсюда следует, что г (х!(1) хз(1) ° ° х (1)) > 10 +1(1 10) т. е. с течением времени функция 1г неограниченно возрастает, а это противоречит неравенству (23).
Противоречие доказывает теорему. Функцию 1, удовлетворяющую теореме Четаева о неустойчивости, называют функцией Четаева. ПРИМЕР 1 (11ЕУСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНОГО ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА В СЛУЧАЕ ЭЙЛЕРА ВОКРУГ ОСИ СРЕДНЕГО ПО ВЕЛИЧИНЕ МОМЕНТА ИНЕРННИ!). Рассмогприм устойчивость вращения (2) твердого тела в случае Эйлера, предполагая, что ось вращении отвечает среднему по величине главному моменту инерции тела дгя неподвижной точки О. Пля определенности будем считаю!о что С > А > В и ог > О. Введя возмущения т, у, з по формулам (4), из динамических уравнении Эйлера получим дифференциальные уравнения возмущенного движения в виде т = уз, у = (ог -)- х)2, 2 = (о«+ з;)у, (25)  — С .
С вЂ” А . А — В Производная функции у' = уз в силу уравнений (25) будет такой: ( ) С вЂ” А А — В (26) Если и«+ х > О, то в области Ъг > О, определяемой неравенствами у > О,з > О, производнан 1' положительна. На основании теоремы Четаееа отсюда следует вывод о неустойчивости вращении тела вокруг оси, отвечаюгцей среднему по величине моменту инерции. Теперь получим теоремы Ляпунова о неустойчивости. Теорема (Первая теорема Ляпунова о неустойчивости движения), Еслт дифференциально«е уравнения возмущенного движения таковы, что существует функция $"(хг, хз«..., Х„,) такая, что ее производная 1' в силу этих уравнений есть функция знакоопределенная«а сама функция 1' не является знакопостоянной, противоположного с $' знака, то невозмущенное движение неустойчиво.
«См. уже упомянутую книгу Н.Г. Четаена «Устойчивость движении. Работы по аналитической механикек 527 З А Устойчивость по первому праблилсению Доказательство. Достаточно заметить, что при условиях теоремы 2 выполняются условия теоремы Чстасва о неустойчивости. Действительно, пусть функция Г определенно-положительна. Тогда, в силу того, что Г не являетсн знакопостоянной функцией, противоположного с 1' знака, существует область И > О, расположенная сколь угодно близко к началу координат, и в этой области $' > О. Теорема (Вторая теорема Ляпунова о неустойчивости движения).
Ясли дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что существует функция г' такал, что ее производная, в силу этих уравнений, в области (1) может быть представлена в виде (27) 17 = ю1г + И; где ю положительная постонннал, а И" али тождественно обраща ется в нуль, или представляет собой знакопостоянную функцию, и если в последнем случае функция И не является знакопостоянной, противополозкного с И' знака, то невозмущенное движение неустойчиво. Доказательство. Как и в предыдущем случае, для доказательства теоремы 3 достаточно проверить, что прн выполнении ее условий выполняьотсп также и условия теоремы Четаева о неустойчивости. Если И' тождественно равна нулю, то из (27) сразу следует, что функция Г положительна в области 1г > О, которая обязательно существует в сколь угодно малой окрестности начала координат (при необходимости, когда, например, функпня И определенно-отрицательна, надо вместо И взять функцикз — И).
Следовательно, если И' = О., то условия теоремы Четаева выполнены. Пусть теперь И" не равна тождественно нулю и для определенности будем ее считать зпакопостоякной (положительной). Тогда, в силу того, что 1' не является знакопостоянной, протиноположного с И' знака, в любой сколь угодно малой окрестности начала координат существует область И > О.
По из (27) прн И' > О следует, что во всей окрестнос- ти (1) Г>щ12 Следовательно, в области Р > О производнап Г положительна. Поэтому и в этом случае условия теоремы Четаева выполнены. О 3. Устойчивость по первому приближению 236. Постановка задачи. Будем рассматривать устойчивость установившихся двиясений. Дифференциальные уравнения возмущсн- о28 глава Хр ного движения запишем в виде ~ = Ат+ Х~ш), Ф вЂ” = Аш, гйш г1б (2) которые получаютсн из полных уравнений возмущенного движения (1), если в последних отбросить нелинейные относительно лг, ит,..., ш члены. Рассмотрим уравнения (2) подробнее.
Пусть Лг, Лз,..., Л,„— корни характеристического уравнения г)еб(А — ЛЕ) = О, а Ь собственный вектор матрицы А, отвечающий корню Л .. Если матрица А приводится к диагональной форме, то существуют гп линейно независимых собственных векторов и общее решение системы (1) имеет види ш = '5 суй е ", где с, — произвольные постоянные. Если же матрица А к диагональной форме не приводится, то общее решение системы (2) будет записываться в виде и = гт с,;йуе л,г у=т (б) ГСреди величин Лг.
Лт,.... Л,„могут быть и равные. ВСМо ИапрИМЕр., Га. 3 уЧЕбнниа: ПОНтряГИН Л.С. ОбЫКНОВЕННЫЕ днффЕрЕННнаавные уравнения. Мо Наука, !970. где ш — вектор-столбец, ш' = (;см шз,..., ш,„); А — постоянная квадратная матрица т-го порядка; Х вЂ” вектор-функция от лг,жт,... „лом Х' = (ХЛ.Хв,...,Хго); Функции Хг(г' = 1, 2,..., т) будем считать аналитическими в окрестности начала координат лг —— лв — †... — — ш„, = О, причем их разложения в ряды начинаютсн с членов не ниже второго порядка малости относительно жт, шз,..., я В приложениях вопрос об устойчивости движения очень часто исследуется при помощи уравнений первого приближения 529 ГЗ 8.
устойчивость по первому приближепщо где компоненты векторов кс являются многочлснами относительно Е Например, общее решение системы хг = Лхг + хз, хз = Лхз имеет внд х,г 1 лс 1 лс =сг „е -ссз е хз Догсизательство, Если в уравнениях (1) сделать замену переменных по формуле х = Су (деб С ф О), (6) то они станут такими: — = Вр+ у(д)с г1Д а1 (7) где В = С гАС, а Ъ'(р) = С гХ(Су). Матрицу С (которая, вообще говоря, комплексная) выберем так, чтобы матрица В была нормальной Если бы уравненин возмущенного движения были линейными, то по их общему решению, (4) или (5), вопрос об устойчивости нсвозмущенного движения решался бы очень просто; в частности, необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости была бы отрицательность вещественных частей всех корней характеристического уравнения; при наличии же хотя бы одного корня с положительной вещественной частью движение было бы неустойчивым.
Но, как правило, уравнении возмущенного движения нелинейны. Поэтому возникает задача об определении условий, при которых выводы об устойчивости, полученные из анализа уравнений первого приближения (2), справедливы и для полных уравнений возмущенного движения (1) при любых нелинейных членах Хг, Хз,..., Хпи Эта задача была полностью решена Ляпуновым. 237. Теорема об устойчивости по первому приближению. Один нз основных результатов, полученных Лнпуновым при репюнии задачи об устойчивости по первому приближению, можно сформулировать в виде следующей теоремы. Теорема.
Ес ги все корни характеристического уривнения (3) имеют отрицательные вещественные части, то невозмущенное движение асилттотически устойчиво независимо от нелинейных членов в (1). Если же среди корней хирактеристического уравнения есть хотя бы один с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение неустойчиво тоже независимо от нелинейных членов в (1). 530 7лааа Х'г' Л .
1 О ... О О О Ль 1 ... О О о о л ... о о В= о о о ... л о о о ... о л В уравнениях (7) сделаем еще одну вспомогательную замену перемен- ных по формулам уй = ртз 17 = 1, 2,..., Ря), где р — — положительное, вообще говоря, малое число: условие для бо- лее конкретного его выбора будет видно из дальнейшего. В перемен- ных 21, 22,..., з„система (7) запипсется в виде с121 — = Л121 + рсс,22 -1- 71, с11 Л222 + РСС222 + ~2 16) с12ха сХС Л аж+а . Здесь а, равняется О или 1; _#_1, У2,..., Уа, нелинейные члены относительно переменных 21, 22,..., 2 . являющихся, вообще говоря, комплексными.
Пусть г, и лу — действительная и мнимая части корня Лу характеристического уравнения (3), т. е. Лу = гу + сау О = 1, 2,..., 712); здесь 2' — мнимая единица. а) ПУсть г; ( О дла всех 7' = 1, 2,... с си. ДлЯ доказательства асимптотической устойчивости невозмущенного движения рассмотрим фупкцисо 1с=~™ 2, 1=1 (о) ссм. га. 6 книги: ГантмахерФ. Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
