1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 86
Текст из файла (страница 86)
П., Чеховская Т. Н. О резонансных периодических решениях гамильтоновых систем. рожлаюшихся из положения равновесии М ПММ. 1962. Т. 46, вып. 1. С. 27 — ЗЗл Хшюстоваи.В. О движении гамильтоновой системы с одной степенью свободы при резонансе в вынужденных колебаниях М Известия РАН. МТТ, 1996, йй 3, С. 167-175. Эти колебания вызваны неравномерностью движения центра масс тела по эллиптической орбите. В динимике спутников они носят название эксцентриситетных колебаний. Утверждение о существовании эксцентриситетных колебаний (42) мы делаем здесь без обоснования. Можно, однако, строго показатьг, что при шо 7'.
-1 нелинейное уравнение (37) действительно имеет решение, аналитическое по с при достаточно малых е и переходяиьее при е = 0 в полоясепие равновесия со = О, причем разложение этого решения в ряд начинается с члена первой степени по е, явно выписанного в формуле (42). При изб = 1 имеет место резонанс в вынулсденных колебаниях. Решение (42), полученное при помощи линеаризации, не имеет смысла при резонансе, и для исследования движения тела вблизи положения ~р = 0 надо использовать нелинейное уравнение движения (37). Будем считать, что шо мало отличается от ед1лницыг 511 г 2.
Малые ко тбокия Д т приближенного исследован я этого уравнения будем применить теорию возмущений (см. г 7 гл. Х1). Полож м — = чар. йс,' (= — д, 1 чГи во (45) Н=2юо(ц +р) — с 6у + ' ц +.. ~/~а (46) Введем новые канонически сопряженные переменные Яд, Р при помощи уннволвктнлго каноончвского преобразования (см. пример 6 и. 170) д = ьГ2Р Рв1п Я, р = ~/2Р сов|~. (47) Тогда Н = щвР— гг ! —,Р (3 — 4 сов 2Я + сов 4Я) + 1 12 И6) + ь1щ [соеЯ вЂ” и) — совЯ+и)] +..
Г2Р Для упрощения уравнений двизкеиия введем переменные Я~', Р' при по- мощи близкого к тождественному унивалентного канонического преоб- разования Я, Р -ь Я*, Р*, задаваемого при помощи производящей функ- ции Я~ +е Вг(О~ Р; и) + Нов я функция Гамильтона Н' определяется по формуле 1см. п. 174) Н* =Н+ег з +..., г ддг ди в правой части которой старые переменные Г), Р должны быть заме- нены на их выражения через иооые переменные (,?*, Р*, получаемые из равенств з ддг ь гддг (,)* =(,)+ г Р, +..., Р = Р'+г, + .. (49) Вььчисления показывают, что если функцию Яг взять в виде Яг = — ч я1пЯ+и) — Р* (Кв1п2Сг — в1п4Я), у ~о язв+1' 48юо Тогди уравнение (44) может бьипь записано в эквивалентной форме в виде канонических уравнений с функцией Гамильтона (д .. координата, р импульс) 512 Глава ХГЪ то Л* = швР— ег — Р* +, совЩ* — и) + ...
(50) Сделаем еще одну каноническую замену С)*, Р* ь Ф, Л по формулам (51) Тогда, учитывая равенство (43) и пренебрегая членами выше второго порядка м ласти относительно г и р., получаем приближенное выраже- ние для новой функции Гамильтона в виде Я = рЛ вЂ” сг (1Лг + у'2Л сов Ф), (52) Соответствующая приближенная система дифференциальных уравне- ний второго порядка, описывающая плоское двизкекие твердого тела при резонансе или в случае, близком к резонансному, имеет вид а'г дН 2 1 1 йЛ дК 2 — =,и — е —,Л+ сов Ф, — ' = — = — е чг2Лг1пФ.
йи дЛ ,2Л !: йи дФ (53) 4 — Лг + ъ'2Л сов Ф = О. Л<Л =27. которых исходное системе (53), то значения 1с = 0 не Учитывая, что ~ сов Ф~ < 1, получаем отсюда, что Если учесть цепочку замен переменных, при помощи уравнение движения (37) приведено к приближенной получим, что отклонение угла ~р от его равновесного превосходит величины у'2Л, е 4 = 2 К2ее. дта система уравнений имеет первый интеграл 74 = 6 = сопв1 и, следовательно, интегрируется в квадратурах.
Если азв = 1 (пи е. р = 0), то при описании движения тела в рамках линеаризоваиных уравнений движения мы получаем, что отклонение тела от его равновесного полоясеьшя ьо = 0 неограниченно возрастает со временем, так как уравнение (41) имеет частное решение вида (36) (при аз = шо, а = 2). При нелинейной трактовке задачи о движении твердого тела при резонансе ситуация иная. В самом деле, пусть в начальный молгент ю = О, ф = О. Тогда (с погрешностью, порядок которой не ниже чем гз) и Л = 0 при 1 = О, Следовательно, в интеграле 74 = 5 постоянная Ь равна нулю и во все время движения 513 З 9.
Малые колебания Решения Л = Во = сопв1, Ф = Фб = сопес системы (53) отвечают 2п-периодическим колебаниям спутника в исходных переменных. Из (огЗ) следует, что Фо может равняться только 0 или и, а величина мб может быть найдена из уравнения третьей степени и +Зси +25=0 (и= 1/2ВосоеФо).
(54) Здесь 4р 41л с= — —,= —, Ь=2. Зе ЗезУз Уравнение (54) имеет один или три вещесгпвенных корня в зависимости от того, положителен или отрицателен дискриминонт .0 = Ьз + сз этого уравненияг. Отсюда следует, что при выполнении неравенства 4ьгЗ зд е) р (55) существует одно, а при обратном знаке в неравенстве (55) три периодических движения твердого тела, переходящих при е = О в его равновесное положение со = О в орбитальной системе координата. Отметим, что при точном резонансе, когда р = О, существует только одно 2п-периодическое колебание тела и, согласно (54), амплитуда этого колебания равна 4'4е. ~Си. гл.
9 книги: Курвы Л. Н Курс высшей алгебры. 51.: Наука,1975. Зусаовие (55) иным путем получено в гв. 2 монографии; Белецкий В. В. Цвиасение искусственного спутника относительно центре масс. Мк Наука, 1965. Гллвд ХУ Устойчивость движения В 1. Основные понятия и определения 231. Уравнения возмущенного движения. Определение устойчивости. Пусть уравнения движения механической системы представлены в виде системы диффереппиальпых уравнений о1уз — — У;.(уы уз,..., у„„о) (1 — 1, 2,...., зп), (1) правые части которых удовлетворяют условиям существования и единственности решения. Рассмотрим движение механической системы, которому отвечает некоторое частное решение системы (1) (2) у,'.
= з"з(1) (1 = 1, 2,..., ьч) при начальных условиях (3) у о = Л(оо) (1 = 1, 2, ".: ш). Пас интересует вопрос о движении системы при отклонении начальных условий у,о от значений (3). Решением етого вопроса занимаетсл теория устойчивости движения, злементы которой излагаются в втой главе. Движение системы, описываемое функцилми (2), будем называть нввозмущвнным двилсенивзз. Все другие движения механической системы, возмолгвые для нее при тех же силах, что и рассматриваемое движение, описываемое формулами (2), будем называть возззущвлныли двилсвнияззи. Разности лз=у; — 1з(1) (1=1, 2,..., яз) (4) значений уз длл возмущенного и певозмущенного движений называются возмущениями. Если в уравнениях (1) сделать замену переменных по формулам (4), то получим уравнения Ф ' '' "''"™ — '' = Х;(жы жз,..., ж„„1) (1 = 1, 2,..., гв), (3) 515 Оснввкые квиятал и впределекая которые называются дифференциальными уравнениями возмущенного движения.
Очевидно, что Х, = 1;. (х1 + Л(1). хз + Ь(1),...., х + У,„(1), 1)— 1а(Р1(1)~ зз(1) ~ Хт(1) Р) Уравнения (5) имеют частное решение х; = О (1 = 1, 2,..., т), отвечающее невозмущенному движению (2). Если функции Х, явно не зависят от 1, то невозмущенное движение будем называть установившимся, в противном случае — — неустановившимся. Примем следующее определение Ляпунова. Невозмущенное движение называется устойчивым по отношению к переменным у; (1 = 1, 2,..., т), если для любого сколь угодно малого числа е > О существует положительное число 6 = 6(е) такое, что для всех возмущенных движений, для которых в начальный момент времени 1с выполняются неравенства (б) ~х;(1с) ~ ( д (1 = 1, 2,..., т), при всех 1 > 1с выполняются неравенства /х;(С)/ (е (1=1, 2,..., т).
Дадим еще определение асимптотической устойчивости в смысле Ляпунова. Невозмущенное движение называется агимптотически устойчивым по отношению к переменным у; (1 = 1, 2,..., т), если оно устойчиво и число б можно выбрать настолько малым, что для всех возмущенных движений, удовлетворяющих неравенствам (б), будут выполняться условия 1пп х,(1) = О (1 =1, 2,..., 1п). 232. Функции Ляпунова. Наиболее эффективным методом исследования устойчивости движения является прямой метод Ляпунова. Этот метод не предполагает нахождения тех или иных решений уравнений возмущенного движения, а связан с отысканием некоторых функций г' переменных хы хз„..., х„„1 и изучением свойств самих этих функций и их производных. Функции У будем в дальнейшем называть функциями Ляпунова. В основе прямого метода Ляпунова лежат соображения, использованные Дирихле в его доказательстве теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы (см.
п. 225). 516 Гяаеа ХР Длн простоты будем изучать только установившиеся движенил. Функции Х;(ха, хз,..., х ) в уравнениях возмущенного движения (5) считаем непрерывными в области ~х;~ < Н (г = 1, 2,..., га), (9) где 11 — некоторая постоянная, и такими, что уравнения (5) при начальных значениях х,о из области (9) допускают единственное решение. В области ~х;~ < й (1 = 1, 2,..., гп), где 6 — достаточно малое положительное число, будем рассматривать функции 1г1хы хз,...., х ), предполаган их непрерывно дифференцируемыми, однозначными и обращаюшимисн в нуль в начале координат хг = хз = ... = х = О. Нроизводной Л'/ь11 функции Е в силу уравнений возмущенного движения (5) называется выражение — — Хь гЛ' дЕ <11 дх; з=г (10) Следовательно, а1'/а1 будет также функцией переменных хы .сз,..., х, которая непрерывна в области ~х,~ < Ь и обрешается в нуль при хг =хз = ° . ° =х =О. Кроме того, функции Е могут обладать более спепиальными свойствами.
Введем некоторые определения. Функцию г'(хы хз,..., х ) назовем определенно-положительной в области ~х;~ < Ь, если всюду в этой области, кроме начала координат (где функция Е равна нулю), выполннется неравенство Е > О. Если же выполняетсн неравенство 1' < О, то функция Е называется определенно-отрицательной. В том и другом случае функция Е называетсн зкакоолределекиой. Если в области ~х;~ < 6 функция Е может принимать значения только одного знака (Ъ' > 0 или Е < 0), но может обращаться в нуль не только в начале координат, то она называется зкакопостоянкой (положительной или отрицаглелькой). Если в области ~х„.~ < А функция Г может принимать как положительные, так и отридательные значения, то она называется знаколерелзенной в этой области.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
