1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Теории матриц. Мк Паука. 1967. жордановой формой матрицы А, т. е. чтобы матрица В состояла из од- ной или нескольких жордановых клеток, расположенных по ее главной диагонали, а все элементы, не входящие в жордановы клетки, равнялись бы нулюс: 531 З А Устойчивость по первому приллижеиию где чертой обозначена комплексно сопряженная величина. функция (9) являетсн определенно-положительной функцией исходных переменных т1, тз....., т .
Для ее производной в силу уравнений (8) получаем выражение 1' = 2 '> г зтзо Ч- 11Р -~ ~ ~(етний Ч- з У ), (10) где Š— — вещественная квадратичная форма, которан тождественно равна нулю, если все коэффиционты а: в системе (8) равны нулю, т. е. если матрица Л приводится к диагональной форме. Функция (10) нвляется вещественной функцией исходных переменных ж1.
жз,..., тт. Так как гт < 0 (1 = 1, 2,..., т), то квадратичнан часть функции 1' будет определенно-отрицательной функцией, если число р, достаточно мало. А так как последнии сумма в правой части выражении (10) содержит совокупность членов не ниже третьего порядка, то и вся фушсция $' при достаточно малых р будет определенпоотрицательной.
На основании теоремы Ляпунова об асимпотической устойчивости получаем отсюда вывод об асимптотической устойчивости невозмущенного движения, если вещественные части всех корней характеристического уравнения отрицательны. б) Пусть теперь 11 > О, 1'з > О,..., ги > О, гьч1 < О,..., гт < О. Длн доказательства неустойчивости невозмущснного движении воспользуемся второй теоремой Ляпунова о неустойчивости. Пусть (11) Ее производнун> в силу уравнений (8) — 2~~ г з.з.; Ч-2 ~~1 гоа х, +РС— 1=1 1=ЬЕ1 — ~',(з,гт+з,гт)+ 'ч (зтгт+з,ят) можно записать в виде (12) 532 !лава Х'у' где яг — пока неопределенное положительное число, а И' = ~~ (ге — 2г )г г -р ~ (2гу — ю)гусу + рС— 1=в.1-1 — ~(31гз-Р Д)+ ') (Узгу+гугз). (13) У=Ь-~-1 Все случаи, которые могут представиться при решении задачи об устойчиности, можно разбить на некритические и критические. В некритических случанх вопрос об устойчивости решается рассмотрением уравнений первого приближении (2).
В критических случаях уравнений первого приближения недостаточно: для решении задачи об устойчивости обязательно требуется привлечение нелинейных членов в уравнениях возмущенного движения (1). Из доказанной выше теоремы следует, что критическими будут те и только то случаи, когда характеристическое уравнение (2) не имеет корней с положительными вещественными частнми, но имеет корни с вещественными частнми, равными нулю. 238. Критерий Рауса — Гурвица.
Для практического использования теоремы об устойчивости по первому приближению важно определить знаки вещественных частей характеристического уравнения. В частности, желательно иметь критерий, позволяющий по коэффициен- зЛннунонА.М, И вопросу об устойчивости пнижонин О Собр. соч, т. 2, Мч Лг Ини-но АН СССР. 1966. Г.
267 — 271. Здесь 11 - — квадратичнан форма, понвляюшаясн в выражении длн 1г то1 да, когда не все коэффициенты а. в системе (8) равны нулю. Выберем число а. так, чтобы для 2' = 1, 2,..., й выполннлись неравенства 0 < ш < 2гз. Тогда при достаточно малых р функция И' будет определенно-отрицательной. Но функции И, очевидно, знакоперемепнан и, следовательно, не является знакопостоянной, противоположного с И' знака. На основании второй теоремы Ляпунова о неустойчивости получаем отсюда вывод о том, что при наличии хотя бы одного корня характеристического уравнения с положительной вещественной частью невозмушенное движение неустойчиво. Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИИ 1. Ляпунов также показал, что если у характеристического уравнения (3) нет ни одного корня с положительной вещественной частью, но есть корни„у которых вещественная часть ривна нулю, то можно так подобрать нелинейные члены в уравнениях возмущенного движения (1), чтобы имела место устойчивость или неустойчивость, по желанию.
533 (~ 8. Устойчивость по первому прищь жеиию там характеристического уравнении определить, будут ли все его корни иметь отрицательные вещественные части или нет. Запишем характеристическое уравнение (3) в виде аал™ -Ь атл~ " -~-... 4- аю 1Л -~- а = О. (14) ф = -(л, Ф л, +... + л„,)., — Л1Лз + ° ° ° + Л вЂ” 1Л (13) Ф=(-1)гпл Л ...Лю Но положительность всех коэффициентов уравнения (14) не является достаточным условием того, что его корни имеют отрицательные вещественные части.
Необходимое и достаточное условие даетсн критерием рауса — Гурвица. Сформулируем соответствующую теорему, не приводи ее доказательстаа1. Назовем матрицвй Гурвица квадратную матрицу т;го порядке а1 аз аь ао а ас О а1 аз О ао аз (1О) Эта матрица строится следующим образом: по ее главной диагонали стоят коэффициенты ас (1 = 1, 2,..., тп) в порядке возрастании значений индексе 1; в каждом столбце элементы, стонщие выше главной диагонали, расположены так, что соответствующие им коэффициенты ат 1доиаватеаьстао см., например, в га. 16 нниги: Гантмахеро.Р.
Теории матриц. Мч Паука, 1967. коэффициенты ао, ат,..., а, этого уравнении -- вещественные числа. Не ограничивая общности, будем в дальнейшем считать, что старший коэффициент ао положителен. Получим сначала одно очень простое необходимое условие отрицательности вещественных частей всех корней Л1, Лз,..., Лго уравнения (14): длл того чтобы при ао ) О всв корни уравнения (14) имели отрицательные вещественные части, необходимо, чтобы все его коэффициенты были положительны. Доказательство этого утверждения непосредственно вытекает из формул Виета1 534 Глава Хь' идут в порядке последовательного возрастания индекса з на единицу, а ниже главной диагонали -- в порядке последовательного убывании индекса з; те места матрицы, куда при таком правиле образования ес элементов следовало бы вписать коэффициенты а для з < 0 или з > то заполняются нулями.
Составим главные миноры матрицы (16) (определители Гурвица) аз аь аз аз аз аз аз из Дз= ао оз 0 аз Д1 — а1 Дз ао ,..., .Д„, = ажД„, ы (17) Теорема (Критерий Рауса — Гурвица). Яля того чтобы все корни уравнения (14) с вещественными коэуярициентами и положительным старшим коэуфициентом ао имели отрицательные вещественные чостпи, необходимо и достаточно, чгаобы выполнялись неравенства Дз >О, Дг >О,..., Д >О. (18) аоЛ+ аз = О. Условия (18) сводятся к неравенству аз >О.
Пгимкг 2 (Угквикник втогой сткпкии (т = 2)). (19) аоЛз + а,Л+ аз = О, Определители Гурвица (17) будут такими: Дз — аы Дз — азаз. Условин (18) запишутся в виде неравенств аз>0, аз>О. ПРимеР 3 (Углвнение тРетьей степени). (20) аоЛ + азЛ + азЛ+ аз = О. Отметим, также без доказательства, что если при ао > 0 хотя бы одно из неравенств (18) имеет противоположный смысл, то уравнение (14) имеет корни, вещественные части которых положительны. Рассмотрим простейшие частные случаи (везде предполагается, что ао > 0). Пгимкг 1 (УРАвнкннк пкгвой сткпкни (т = 1)).
Влияние диссипативных и гироскопических сил иа устойчивость 535 Здесь г3г — аг, гггз = агат — аааз, 43з = азиз, и условия (18) означают, что аг > О, аз > О, агоз — аоаз > О. (21) Эти неравенства показьгвают, гто при т > 2 положительности коэугфициентов уравнения (14) недостаточно для того, чтобы все его корни цвели отрицательные вещественные чисти: при т = 3 нужно еще потребовать выполнения неравенства агаг > аоаз. ПРимеР 4 (УРлвнение четВеРтОЙ степени). аоЛ + а»Л» + азЛ + азЛ + а» = О. (22) Опреде~гите~ги Гурвица имеют вид 43г = аг, 43з = агаз — азазг Ьз = азг)з — а»а„гг» = а»Ьз з Условии отрицательности вещественных корней уравнения гг22) запи- шутся, как нетрудно проверить, в виде неравенств аг > О, аз > О, а» > О, ггз(а»аз — аеаз) — и»из > О.
(23) 34. Влияние диссипативных и гироскопических сил на устойчивость равновесия консервативной системы 239. Влияние гироскопических сил и диссипативных сил с полной диссипацией на устойчивое положение равновесия голономной системы. В и. 225 отмечалось, что при добавлении к консервативной голономной системе гироскопических и диссипвтивных сил теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы при наличии строгого локалытго минимума потенциальной энергии остаетсл справедливой, т. е.
устойчивое при одних потенциальных силах положение равновесии системы остается устойчивым и при наличии гироскопических и диссипатипных сил. Это утверждение содержит только часть результатов. полученных Томсоном, Татом и Четаевым в задаче о влиянии гироскопических и диссипативных сил на устойчивость положения равновесия голономной консервативной системы.
В данном параграфе рассмотрим другие теоремы Томсона.-Тэта .Четаева. б36 Глава Х'г' Теорема. Если в некотором изолированном положении равновесия потенциальная энергия имеет строгий локальный минимум, то при дойивлении гироскопических сил и диссипативпих сил с полной диссипацией это положение равновесия становится асимптотичгски устойчив иль Доказательство. Ьсз ограничения общности будем считать, что в положении равновесия все обобщенные координаты аг равны нулю. Длн доказательства теоремы возьмем функцию г', совпадающую с полной механической энергией системы Е = Т + П. По условию теоремы она будет определенно-положительной в окрестности начала координат 2п-мерного пространства состонний до аг (1 = 1, 2...., и).
Из условия теоремы следует, что и 1г = № <ад. у1) = ~ а,Дд,. уд)дг < О, г=1 где ٠— непотенцнальнан обобщенная сила, отвечающан обобщенной координате уг (1 = 1, 2,..., и), и знак равенства достигается только при уг = О (1 = 1, 2,..., я). Из знакоопределенности функции 1г и неравенства (1) на основании теоремы Ляпунова об устойчивости получаем, что положение равновесия устойчиво. Для доказательства асимптотической устойчивости теперь достаточно убедиться в том, что если начальная точка траектории взята достаточно близко к началу координат гй = О, у„ = О, то при 1 -ь оо имеем дг — г О, уг — ь О длн всех 1 = 1, 2,..., п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
