1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Теоремы Делоыэ-Бертрана и Томсона 467 Теореме Томсона можно дать истолкование, близкое по форме к данному в предыдущем пункте истолкованию теоремы Делонов Бертрана. Будем рассматривать послеударное кинематическое состояние системы, заданным точкам которой сообщены заданные скорости, ьак одно из послеударных состояний системы с увеличенным числом связей. Тогда среди бесконечного множества таких состояний истинное послеударное состояние выделяется тем, что оно дает наименьшую кинетическую энергию при тех же скоростях заданных точек системы, Иными словами, добавление новых связей при тех же скоростях заданных точек системы приводит к увеличению ее послеударной кинетической энергии. Сравнив теоремы Делопэ Бертрана и Томсона, получим, что если заданы ударные импульсы.
приложенные в данных точках системы, то послеударное состояние системы может быть вайдено прн решении задачи максимума кинетической энергии, если же заданы скорости точек приложения импульсов, то послеударное состояние находится ьак решение задачи минимуме кинетической энергии при добавлении новых свнзей. Игимкг 3.
Для шглюстрации рассмотрим дво тонких однородных стержня АВ и ВС, связанных шарнирно в гпочке В. Стержни покоятся и составляют одну прямую (рис. 158). Внезапно точке С сообщаетпся скорость о в напривлении, перпендикулярном ВС. На основании вычислений, проведенных в примере 1 и. 207, можно получать, ипо при эгпом система из двух стержней приобретет кинетичесную энергию ТИ~ = — зпоз. 1 7 Теперь мысленно проведем второй эксперимент. Закрепим шарнирно точку А и приведем точку С в движение с прежней скоростью о. Использовав вычисления примера 3 и. 200. получим, *ппо в этом случае приобретенная кинетическая энергия Тбб = — тоз. 7 46 И, наконец, рассмотрим третий эксперимент.
Време точна А закрепим шарнирно еще и точку В, а точке С опять сообщим ту же скорость о. Здесь после удара стержень АВ остается в покое, и приобретенная кинетичесная энергия Т~з~ равна послеударной кинетической энергии стержня ВС. Согласно примеру из и. 197, имеем Тйй = -тоз. ,з 1 6 Так как — « — —,, то Тбй < Т~з~ < Т~з~, т. е., в соответ- 7 46 6' ствии с теоремой Томсона, наложение связей при неизменной скорости точки С приводит к увеличению послеударной кинетической энергии. Вели же в трех рассмотренныс эксперименгпах одинаковым будетп ортогональный ВС ударный импульс Т, то приобретенная кинетичес- Слава ХН кая энергия будет, соответппвенно, такой: Т(1) = —, Т(з) = ~~~ 4т' 7пь ' 2 Т(з) з«Так как 7 > 12 > 3 пщ ТИ) > Т(г) > Т(з) т е е со 2«п' 4 7 2' гласии с теоремой Делонэ — Бертранщ наложение новых связей привело к уменыиению послеударной кинетической энергии.
Пгнмьв 4. При помощи теоремы Томсона найдем положение мгновенного центра скоростей тонкого однородного стержня, правому концу которого сообщена скорость и перпендикулярно стержню (рис. 146). Эти зидача рассмотрена в предыдущем пункте при полющи теоремы Делона — Бертрана. Здесь используем аналогичный подход. На стержень мысленно ниложим связь, «закрепивз его при помощи шарнири в точке, отстоящей от ценгпра масс О на расстоянии х,. Тогда после- ударная угловая скорость задается равенством ш = . Момент 2с (+ 2х инерции З относительно оси вращения вычисляется по формуле (1). Для кинетической энергии стержня в его кослеударном состоянии получил вьаражение Т вЂ” 1 Дшг — 1 «пизу(х) у(х) — 1 Согласно теореме Томсони, искомая величина х доставляет мин мум величине кинетической энергии. Э«по даегп х =- —, что совпадает с 6' результатом предыдущего пункта.
Сравнивая формулы (2) и (11), видим, что д(х) =, т. е. тпео- 1 реми Делонэ — Бертрана и Томсона привели к рассмотрению эксгпремума одной и той же функции от х. В 8. Уравнения Лагранжа второго рода для импульсивных движений 214. Обобщенные ударные импульсы. Рассмотрим голокомную систему материальных точек Т«, (и = 1, 2,..., )ч') с идеальными связями. Пусть она имеет п степеней свободы, а ды дг,..., ((„".
ее обобщенные координаты. В некоторый момент времени (о к системе прикладываются ударные силы, имеющие за время удара т ударщае импульсьз Т (и = 1, 2,..., )ч'). Задача об импульсивном движении системы в обобщенных координатах состоит в нахождении значений дт обобщенных скоростей после удара по известным их значениям д„. непосредственно перед ударом. Для решения этой задачи могут быть использованы уравнения Лагранжа второго рода (см.
п. 136). з О. Уравнения Лагранжа второго рода для имвулвеивныя движений 469 Введем понятие обобщенных ударных импульсов, аналогичное понятию обобшенных сил (и. 54). Рассмотрим элементарную работу бх,=') тн б „, г =1 совершаемую ударными импульсами на любом виртуальном перемеше- нии системы. Величины бг„выражаютси через вариации обобщенных координат дуг по формуле (27) п. 16. Поэтому выражению (1) могкно придать такой вид: д ~1 ~х- ~~л.
' д . =1 1 — 1 1 — 1 н=1 Введи обозначение гт .1, = ~~1 1, " (1 = 1, 2,..., и), в=1 до, (3) равенство (2) можно записать в виде (4) гем Лг=~ / Р. и и=1 1 о ыте Но величины, " во время удара изменнютсл пренебрежимо мала и при дег интегрировании их можно считать постоянными. Поэтому последнее равенство можно переписать так ге= ) (г г. ив "") е. га Величина,У1 называется обобщенным ударным импульсом, соответствующим обобщенной координате ог (1 = 1, 2,..., н). Принимая во внимание равенство (1) и. 191, из формулы (3) получаем такое выражение длл абобшенного ударного импульса 460 1лава ХП Согласно формуле (9) и.
54, выражение в круглых скобках есть обоб- щенная сила ьго соответствующая обобщенной координате уо Следова- тельно, сов> ,1;= / агат (1=1, 2>..., и). (5) м 215. Уравнения Лагранжа. Проинтегрируем обе части уравненил (!1) п. 138 по времени на промежутке, соответствующем продолжительности удара т. Тогда, учитывая формулы (5) и тот факт, что интегралы от конечных величин —, за времн удара пренебрежимо ма- дТ дрн ' лы, получаем соотношения> — — — = А (1 = 1, 2., п), (6) Пгнмкг 2. Двойной маятник, образованный двумя тонкими однородными стержнями длины 1 и массы гп каждый, находится в покое, причем центры тяжести стержней находятся на одной вертикали ниже точки А подвеси стержней (это значит, что на рис. 15 имеем >р = >(> = О). Ему сообщается горизонтальный ударный импульс 1, приложенный к нижнему стержню на расс>поянии а от шарнира, соединяющего ппержни.
Найти угловые скорости каждого из стержней после удара. где. как обычно, верхними индексами — и + обозначены значения соответствующих величин до и после удара. Соотношения (6) образуют систему и уравнений Лагранжа второго рода длн импульсивных движений. Неизвестными нвляютсн величины >)~, ф~>... > д„ь. В отличие от уравнений Лагранжа (П) п. 138 для движения под действием конечных снл, уравнения (6) являются алгебраическими (причем линейными), а не дифференциальными.
Примну 1. Материальная точка массы >и движется вдоль оси Ох со скоростьк> о. К ней прикладываегпся ударный импульс 1, направленный вдоль оси Ох. Найдем послеударную скорость точки. Результат сразу же следует из основного соотношения в теории импульсивных движенш1 (см. форму>у (2) п. 192). Но в иллюстративных целях решим эту задачу при помощи уравнений Лагранжа (6).
Нз (1) имеем 51 = 16х> т. е.,1., = 1. Но Т = — тхг, —. = тх, 1 ° г дТ 2 ' дх поэтому, согласно (6), имеем уравнение (тх)е — (тх) =,1 = 1. Следовательно, хч = о+ —,. 1 1 д. Уравнения Лагранжа второго рода для импульсивных движений 461 Сложив кинетические энергии стержней, образующих маятник, по- лучим Т = — т1 ~ — уг- + ргрсоя(уэ — ф) + хф ~ . 1 г14 з ' ...
1 з1 2 (3 '' 3 (7) Ы = 1 ° дх = 1ду = П соя рбу+ 1асояфдф. Следователвно, (8) 1„= Псояуг, Лч, = 1асоягр. Уравнения Лагранжа (6) будут такими: — — — = 1„, †. — †. = Ле,. (9) Принимая, во внимание формулы (7), (8) и тот факт, что ф = зр = О, а при ударе р = ф = О, уравнения (9) можно записать в следующем виде: 8 -ь+Зф-ь 61 3 о+2.,о 61а Пй тР' Отсюда получим искомые величины послеударнвьх угловых скоростей стержней: 6! (21 — 3а) „61(8а — 31) 7т1г ' 7тР В примере 3 п. 200 этот же результат получен при помощи теорем об изменении количества двизкекия и кинетического момента.
Пример 3. Тонкий пднпродный стержень АВ длины 1 и массы т движется в плоскости Оху (рис. 161). В некоторый момент времени он ударяется об ось Ох своим концом А. Бп время удара стержень составляет с осью Ох угол сг, компоненты скорости его центра масс равны х, у, а угловая скорость рапна ф . Считая ось Ох абсолютно гладкой, а удар абсолютно упругим, найти послеударное кинематическое состояние стержня. В системе координат Аху, ось Ах которой направлена вертикалвно вниз, а осв Ау горизонталвна и лежит в плоскости рис. 15, имеем 1' = (О, 1), а радиус-вектпр зэ = (х, у) точки приложения импулвса имеет компоненты х = 1сояво + асов гр, у = 1 яьпю + аюпун Для элементарной работы (1) импульса 1 на виртуальном перемещении дгэ = (дх, бу) получаем следующее выражение 462 Глава ХН Гели х, у — координаты центра масс стерж я, а сз — его угловая скорость, то Т = — т(х~ + уз) + — т1~ф~.
(10) О х Пусть 1 — неизвестный ударный импульс оси Ох. Ввиду отсутствия трения он паралРис. 161 лелен оси Оу. Для элементарной работы ударного импульса на виртуальном перемещении стержня имеем следующее выражение: Ы = 1бу — 1 — сова Жр. 2 Отсюда следует, что Лз — 1, .7„— — 1- соз а. ,1с =О, Уравнения Лагранжа (6) имеют вид: т(хь — х ) = О, т(уь — у ) = 1, —,т1~(фь — ф ) = — —,1)сова. 12 2 (12) уе = -1сов сглазь, ,е 1 2 (13) Нз системы (12), (13) находим, что .е (11з +6созаУ )сова 2(1+ 3 сове а) 114) пь(1ьиваф — 2у ) 1= 2(1 + 3 совз а) ~'ь — 1сз + 6 сов ау 111 + 3 совз а) 216. Случай, когда ударные импульсы возникают только из-за наложения новых связей. Правые части уравнений (6) содержат как активнью ударные импульсы, так и, вообще говоря., импульсы ударных реакций новых идеальных связей, накладываемых нв систему Они представляют собой систему трех уравнений относительно четырех неизвестных хь, уь, фь, 1.
Недостающее уравнение получается из условия того, что удар является абсолютно неупруг м. Это условие означает, что скорость точки А после удара не имеет составляющей вдоль оси Оу, т. е. ~~ 8. Уравнении Лвгранжа второго рода длл илгнулъеивных движений 465 во время удара (еслиг конечно, такие связи есть). Но часто в задаче об импульсивном движении систем надо узнать лишь послеударнос кинематическое состояние системы и не требуется нахождение импульсов ударных реакций свнзей. Рассмотрим алгоритм Аппеля, позволяющий получать уравнении Лагранжа импульсивного движения, не содержащие ударные импульсы новых связей, накладываемых на систему. Рассмотрим голономную систему с п, степеннми свободы. Активные ударные импульсы отсутствуют.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
