1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 72
Текст из файла (страница 72)
рис. 155, где О точка, в которой происходит соударение, г единичный вектор касательной к кривой, являющейся пересечением поверхности и и госкости, Рнс. 155 проходящей через векторы нормали и и доударной скорости в ). Масса т точки и коэффициент восстановэгения щ заданы. Требуется найти модуль послеударной скорости точки н~ь, угол огпражения В и величину 1 ударного импульса. Теорема об изменении количества движения дает два уравнения: в" вшф — и вша=О, т(ньсовД+и сова) = 1. 14) Из соотношения (2) получаем недостающее третье уравнениег ггж совф = им сова. (5) Лз (4), (5) находим гад = — гха 1 (6) Из (4) — (6) следует, чтог касательные составляющие скорости до и посзге удира равны между собой, нри абсолютно неупругом ударе материальная точка после удара имеет только кисательную составляющую; при абсолютно упругом ударе угол падении равен углу отражения, а модуль скорости не изменяется (гз = Д.
ож = в ); при неупругом ударе угозг падения меньше угла отражения ф > а); при абсолюгпно упругом ударе ударный импульс в два риза больше импульса при абсолютно неупругом ударе. Обсуждение этого вопроса мехгне найти е книге: Панеакеи.Г. Введение е теорию механического удара. Мс Паука, 1977. Сеаременные математические модели теерии механического удара и их критический анализ седержатси е монографии: ИвановА.
П. Динамика систем с механическими сеударениими. Мл Междунареднаи программа образования, 1997. З 2. Соударение теердых тел Пгимкг 2. Однородный стержень, который может вращиться вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр тяжести, находится в равновесии. На один из концов стержня со скоростью о падает шар массы нп Длина стержня 2а. лсасса М. Коэффициент восстиновления равен нь Принимая шар за материальную точку, опредезшл послеударное кинелатическое состояние стержня и шара.
Пусть ое -. скорость шара, а аг" -- угловая скорость стержня после удара. Пз теорелы об изменении кинетического момента (относительно центпра тяжести стержня) следует равенство тоа = тома+ — Ма ю ь, 1 2 е 3 (7) а из того, что удар абсолютно упругий, имеем оь — ьз' а = — сесь Нз уравнений (7). (8) находим: е Зт — щМ ь 3(1+ щ)ти Зт+ М (Зги+ М)и АйьРь = ЕЕь ВьЕХсЕь = Едь Сьй гь = Кь тсЬох. = Еоь, тсЕ1ез, = ЕПщ гсьсЕ«е„= Е'уь (к' = 1 2). 202. Общая задача о соударении двух абсолютно гладких тел. С центром масс тела Вь (к = 1, 2) свяжем систему координат Сяхьдь«ьо направив ее оси по главным центральным осям инерции тела (рис. 154).
Через Ато Вь Сь обозначим соответствующие главные моменты инерции тела, а через тя . - его массу. В системе координат Сьхядь«ь точка Оь имеет координаты хь, дьо «ь, а вектоР ноРмали Яь задаетсЯ напРавлнющими косинУсами ого Пя, 7ь. Пусть шя — вектор угловой скорости тела ЕЕя, а ея — скорость его центра масс Сь. Задача состоит в определении послеударных значений этих векторов, если известны их доударцые значения. Приращении Ьшь = азь+ — ы„и Ьоь = е„— о зададим в системе координат Сьхьдь«я соответственно коьипонентами Ьрь, Ьуь, Ьгь и сьо,„, сьоя„сьо„.
Момент Мь = СяОь х Ея удерного импульса Еь относительно центра масс Сь имеет в системе координат Сьхьдь«ь компоненты Мх, = Е~„Мэь — — Ець: М.ь = Кь: где сь = дь'% — «яды Ць = «ьоь — хь7ье Ьь = хсДь — Уьоь Из теоремы об изменении кинетического момента и количества движении имеем двенадцать уравнений Глава Х1! Отсюда находим послеударпые значения кинематических величин те- ла Вь: Рь — — Рь +1 —, т1 =д„+1 —. т = г +1 —, (9) — т.ь ч. — Вь е ьь Ал Вл' Сь — оь е з+1ти Из (10), в частности, следует, что касательные составляющие скоростей центров масс тел при ударе не изменяются.
В равенствах (9), (10) содержится неизвестная величина 1 ударного импульса. Если найти ее через известные величины, а затем подставить в (9), (10), то тем семым общая задача о соударепии двух абсолютно гладких тел будет решена. Величину 1 найдем при помощи соотношения 13), Для этого. заметив, что аот = а„'~ + от'~, х СьОхо а,— = а + ьт, х СьСь и воспользовавшись свойствами смешанного произведения векторов, находим ра- венство (ео ео„) ' пь — т3еь ' пь + Миоь х пл) ' Лотто которое при помощи соотношений (9), (10) можно записать в виде (ат е.~.)'па=1 + + + (к=1: 2).
— Я 4 4~ о» тз. ~птл Аь В С ) Отсюда после суммирования по и получаем равенство (ео, ео,) 'пт+ (ео. ео ) 'по Р 1: где введено обозначение 9 2 / 2 3 2~1 р =~~~ — + — + — + — ). ~™ь Ал Вт,. Сл) ' а=1 (12) Из уравнений (11) и (3) находим (ео ' пт + ео ' ттз) 1+ш „3 3 (13) Заметим, что величина — (ео ° пт+ е, пз) представляет собой до! 2 ударную проекцию скорости точки От контакта тела Вт относительно точки контакта тела Вз на внутреннюю нормаль п тела Вз. Обозначим 24.
Соудерение твердых тел ее через и„„. Так как перед соударением оба тела стремились сблизить- ся., то эта величина положительна. Таким образом, 1+ж 'иеь, 2 (14) причем все величины, входящие в правую часть этого равенства, известны. Подставив 1 нз (14) в (9) и (10), получим полное решение рассматриваемой задачи о соударении двух абсолютно гладких тел. ЗАмечАние 2 (ДинАмическое истОлкОВАние коэФФициентА ВосстАНОВЛЕНИН).
Пусть еь, ьзя и е, (й = 1. 2) .- соответственно 00 60 (з) векторы скоростей центпров масс тел Пьо их угловых скоростей и скоРостей точек контакта Оь тел е момент У = уо+ т, окончанил пеРвой фазы удара. В эгпот момент вьтолняется равенство О,'~!+ О. ' 2 (2) (2) (15) означающее, что при ( = (о+ т1 проекция скорости точки Оь относительно точки 02 на общую нормаль к поверхностям тел равняется нулю. Пусть 1(з) и 1(2) — величины ударных импульсов, прилоэсенных к телам, за время первой и второй фаз удара соответственно.
Тогда з(~) + 1(~) = 1 (16) и, кроме того, имеют место равенства (9), (10), в которых верхний индекс + надо зименить ни индекс (1), а вместо 1 написать з(2). Величина з(~) находится из соотношения (15). Проведя выкладки, совершенно аналогичные выкладкам, проведенным выше при получении формулы (14) из соотношения (3), найдем (0 ись 2 Р и тогда из (14) и (16) получаем, что 2 и" (2) ж )з 1(2) Таким образом, — = ж, т. е. при соударении двух абсолютно гладких ' 1(з) тел отношение величин импульсов ударных сил, возникающих мезкду телами во второй и первой фазах удара, равняется величине коэффициента восппановления.
430 Слава Х11 Пгимкг 1 (Удяг о кгкнкз (о нкподвижнзю пгкггядз)). Пуапь неподвижной прегридой будет тело Вз. Полагая и = О, ш = 0 и устремляя величины тз, Аз, Вз, Сз к бесконечности, из (12) находим (индекс (1) у величин, относящихся к телу Вз, опускаем) и = —,+ ' + + ' . (17) Ь7 — (!)г ( — 7)' ( П вЂ” М' Величина и„„будет проекуией скорости точки контакта Оз тела Вз со стеной на вкешнюю нормаль к телу в точке 0ш Величина импульси вычисляется по формулам (14), (17).
Соотношения (9), (10) можно переписать в виде (д 7 — г(З) ч. (гсг — зеу) р~=р +1, йь=й +1 (х — УМ ч..1 хь =х +! ', и~ =о + —,пз. Пгимкг 2. Однородное колесо радиуса Л катится без скольжения по горизонтальной плоскости, оставаясь в вертикальной плоскости. Оно ударяется некоторой точкой своего обода о неподвижное препятствие высоты й < Н.
Удар происходит без тренин, коэффициент восстановгения равен ю. Покажем, что если и > 1 — . Л, то колесо 'и 1+ юг не преодолеет препятствие, как бы ни была велики до удара скорость центра колеса. Пусть сз — угол мезкду вертикалью и радиусом колеса, соединяющим центр колеса 0 с наивысшей точкой препятствия 0 (рис.
156), о — величина скорости центра колеса перед ударом, а и~, о~~ — проекции его скорости, после удара. Приложенный к колесу ударный импульс 1, ввиду отсутствия трения, направлен по радиусу 00. Поэтому за время удара угловая скорость колеса не пзменяется. Рис. 166 Так как скольжение отсутствует, то непосредственно перед ударом скорость точки контакта колеса с препятствием задается компонентами и ( — исова„— ив1псз). Из теоремы об изменении количества движения при ударе и гипотезы Ньютона (2) имеем систему трех уривнений (т — касса колеса): пь(и,~ — и) = — ! в1пец зпозь =!совсз, пфв1псз — в+савел = — ггзов1по, Соударвнив твердых твя решив которую, получи к = о]1 — (1+щ) а1» чз], о„= (1+щ)оа1посоао. 1 = т(1+т) ваш о, Отсюда и следует доказываемое неравенство.
203. Изменение кинетической энергии нри соударении абсолютно гладких тел. Для каждого из тел Вл по формуле (6) у3 имеем 2 1ньь Аь Вь Сь з] Используя обозначения п. 202, это выражение можно переписать в виде ЬТь = — — + — '+ — + — + 1(о + ш х СлОл) ° нь. ~ ( 2 ~ чпь Аь Вь Сл/ Замечая, что о + аз х СьОь = о „, производя суммирование и учитывая обозначение (12), находим изменение кинетической энергии системы двух тел ь+ з = 2 р + (оо1 нч+ оо, нз). Принимая во внимание равенства (13) и (14), последнее выражение можно записать в следующем окончательном виде: (1 — ') , 2р ЬТ = —, иты (18) Суммарная нинетическая энергия тела не изменяется только в случае абсолютно упругого удара (щ = 1).
В остальных случаях происходит потеря кинетической энергии (чзТ ( 0). Колесо кв преодолеет препятствие и отскочит кизид, если о+ < 0 (если о+ = О, то колесо взлетит вверх вдоль оси Су), т. е. если 2 (1 + щ) зш о ) 1. Но так как з1п о = Вз , то это озкачает, что должно выполняться условие 432 ! "лааа Х11 2 ГИ11Н2 11 ГН1 + 1112' (19) Подставлял это значение рз в выражение (14) и замечая, что в рассмат- риваемом случае (20) Ига: В1 Оз получаем величину ударного импульса при прямом центральном ударе: (21) 204. Прямой центральный удар двух абсолютно гладких тел. Назовем линией удара прямую.
проходяШую через точку соприкосновения тел при ударе перпендинулярно их общей касательной плоскости (на рис. 154 нормали ял к поверхпосятм тел ВВл лежат на линии удара). Удар называется прямым, если скорости эл центров масс до удара направлены параллельно линии удара. Из упомянутой выше неизменности касательной составляющей скоростей еь следует. что при прямом ударе скорости эь центров масс тел после удара будут параллельны линии удара. Удар называется центральныл, если центры масс тел перед уларом лежат на линии удара. При центральном ударе моменты Мь = СьОь х 11. УдаРного импУльса относительно цеитРов масс Сь тел равны нулю (величины (1, пь, 1,"1, в (9) обраща1отся в пуль).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
