1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Сложив уравнения (3) п. 193 и учтя постоянство масс т„, получим равенство и эч ьч ь(~, „) ~,г),~,() и=1 и=1 о=1 или Лд = Ф'1, т. е. иэмептше количестоа движения системы при ударе равно главному вектору внешних ударных импульсов, м Так как О = Мос, где М масса системы., М = 2 т, = сопят, и=1 а оо скорость центра инерции, то равенство (1) можно переписать в таком виде: Мэлос = Ю '1, (2) т. е. импульсивное движение центра инерции системы происходит так же, как импульсивное движение материальной точки, масса которой равна массе системы и к которой приложены все внешние ударные импульпа, действующие на систему.
Пгимве 1. Снаряд, летевший со скоростью с, разорвался в воздухе на два осколка равных масс. Скорость первого осколка направлена под углом сэ к направлению первоначального движения и имеет вели шну 2о. Найти скорость второго аско та. Так как внешних ударных импульсов нет, то вектор первоначального количества движения снаряда равен сумме векторов количеств движения осколков. а то Пусть т — масса снаряда, а 3 — угол между вектором оэ скорости второго ос- Ф колка и направлением двшкения снаряда. -то,--- 1 2 Из рис.
144 легко получить, что оэ Рис. 144 2'' 2 2' Заметим, что при решении не потрейовалось предположен я ой отсутствии аэродинамических сил и силы тяжести, потому что эти силы не являются ударными. 410 1лава Х11 196. Теорема об изменении кинетического момента. Пусть Л вЂ” произвольнан точка пространства, подвижная или неподвижная, а рр — радиус-вектор точки Рр системы относительно Л. Умнолгим обе части равенства (3) п. 193 слева векторно на р и результаты просуммируем. Тогда, учитывая постоянство гпр и тот факт, что р„не меняется во время удара, получаем соотно>пение р(~р. „~) =~р.
г!*'р~р. г!г. р=1 г =1 г =1 Сумма в левой части представляет собой абсолютный кинетический момент КА системы относительно центра Л. поэтому, учитывая равенства (5) и (6) из п. 193, последнее соотношение можно записать в виде (3) г=г ~?А = ТгА т. е. излгене>гие кинетического момента системьг относительно любого центра равно главному моменту внешних ударных импульсов относительно этого центра. Пгимгв 1. Два шкива радиусов г, и гз вращаются вокруг параллельных осей с угловыми скоростями а>1 и и>2 (рис.
145)р причем ь>ггг > ь>згз. На шкивы н мотана ненатянутая лента. В некоторый момент лента натягивается, вследствие чего происходит удар. Требуется определить послеударные угловые скороспги йг и йз шкивов и величину 1 ударного импульса силь> натяжения ленты, считая, что после удара ргента остается натянутой. Моменты инерции шкивов относитергьно их осей вращения равны,11 и,12.
Применяя формулу (3) к вращению первого шкива и учитывая, что ударный импульс реакции оси вращения не создает момента относительно этой оси, имеем ,11(йг — и>1) = — 1>1. (4) Для второго шкива получим Рнс. 145 12 (й2 ь>2) — 1> 2. ('>) Но так как лента остается натянутой, то (6) й1 Г1 — й2Г2 "зг. Теоремы об изменении основных днн мических величин 411 Из (4)-(6) находим П1 1172шс + 1272оз2 112 '~1'12(~~~1с2 ш222) Л~сг -~- дгсзз ~ ' с2с22 -с ззсз Есчи шкивы первоначально вращаются в противоположные стороны, то в результате натяжения ленты оозможно прекращение ах враще- ния, причем одновременное. Это произойдет, если выполнено равенст- во,12сзш2 + Згт2шз — — 0 — т1 ш=1 —, 1, 12 2' Рис.
146 т'оо = 1, отсюда находим со— 1, 61 т',п1' (7) Пгимкг 3. Найти послеударное кинематическое состояние стержня предыдущего примерц если один из его копцов шарнирно закреплен (рис. 147). В этом случае после удара стержень вращается вокруг точки А. Из формулы (3) получаел уравнение для нахождения угловой скорости вращения шс 3 — тЕ~оз = Л, Рис. 147 отсюда 31 ш = —. т1 Мозкно найти и не зевотный ударный импульс 1А шарнира. Из (2) имеем тес = 1 + 1А~ но со = ш — = — '. Поэтому 1А = тпо — 1 = — 1. 1 31 1 2 2т' 2 Пгимиг 2.
Находящемуся в покое тонкому однородному стержню массьь т и длины 1 при помощи удара по одному из его копцов соойщен импульс 1 в перпендикулярном к стержню направлении (рис. 146). Найти послеударное кинематическое состояние стержня. Пусоьь со скорость центро масс стержня, а со его угзьовая скорость после удара. Из формул (2) О и (3) получаем два уравнения 1 412 Глава ХП 197. Теорема об изменении кинетической энергии. Пусть Т и Т+ — величины кинетической энергии системы до и после удара: л» Т = — ~~»»п о л» Тэ — — ~» гп, о г (9) » =1 » =1 Имеет место следующая Теорема.
Изменеие кинетической энергии при импульсивном движе- нии равно сумме скалярна с произоедений калсдого ударного импульса иа полусумму скоростей точки его прил»оженил непосредственно перед уда- ром и после него: Т-» Т вЂ” ~ 1(ь) О» Ои» 1(л) Ои + 1»и »19) ~-~ и 2 ~-~ 2 и=л т,(о,» — о, ) ° о+ = Е(') ° о,+, -)- 1(л) о » (и = 1» 2, ..., лч').
Если в левых частях этих равенств сомножитель о» представить в виде о„'ь = — (о,,» + о ) + (о„» — о, ) а затем произвести суммирование равенств по и, то после простых пре- образований и учета обозначений )9) придем к соотношению л» л»» л» Т вЂ” Тэ = —, ~ ~т (о„— о,,»)з — '» 1(") . о» вЂ” ~» 1(л) .
о,+,. (11) » =1 и=1 Теперь умножим уравнения )3) п. 193 на о, в левых частях получаю- щихся равенств представим сомножитель о,, в виде 2 и произведем суммирование по и. Тогда получим такое соотношение: Т+ — Т = —, ~» т (,оь — о )' -)- ~~» 1(') о + ~~» 1(л) о, . (12) » =1 и=1 После вычитания равенства (11) из равенства (12) и деления на 2 при- ходим к доказываемому соотпошени»о (10).
Доказательство. Умножим каждое нз уравнений (3) и. 193 скаляряо на о;ь. Получим равенства 413 г Ж Импульсивное движение твердого тела Пгнмег 1. Найдем изменение кинетической э>сергии стержня в примерах 2 и 3 предыдущего параграу>а. Учитьсвая, что в твердом теле внутренние силы не совершают работы и что перед ударом стер>лень покоился> из (10) получаем Ть = — 1о, где о . величина послеударной скорости той точки стержь 1 2 ня, к которой приложена ударная сила.
В примере. 2 получаем и = оо + о> — = —, + — — = — и Ть = —. 1 61 1 41 „ь 21г 2»с т12 т >и В прилсере лсе 3 имеем и =- ь>1 =- — 1 =. — и Т 31 31,ь 3Тг >л1 'и 2ш ЗАМЕ>слннв 1. Равенства (11) и (12) ло существу представляют собой еще две различные формы теоремы об изменении кинетической энергии при, импузсьс>сеном дв>еже>си>с. Дадим их словесное выражение. Векторы о„— оь и о„+ — о„называк>т соответственно потерянной и приобретенной скоростями> а величину л> сч 1 ~~,~, („- о->)г 1 '~ ( ч- „— )г кинетической энергией потерянных (или приобретенных) скоростей.
Приращение Ть — Т называют еще приобретенной, а величину Т вЂ” Тч потерянной кинетической онер>ней при импульсивном движении. Используя эту терминологию, соотношение (11) можно прочитать следующим образом: потеря кинетической энергии равна кинетической энергии потерянных скоростей, уменьшенной на сумму работ внешних и в>>утренних ударных сил, если считат>ь что точки их приложения имеют в те сение всего времени удара постоянньсе скорости, равные их послеударным скоростям.
Л соотношение (12) означает, что приобретенная кинетическая энергия равна кинетической энергии приобретенных скоростей, увеличенной па сумму работ внешних и внутренних ударных сил, если считать, что точки их приложения имеют в течение всего времени удара постоянные скорости, равные их доударным скоростям. 3 3. Импульсивное движение твердого тела 198. Удар по свободному твердому телу. Изучим влияние заданных ударных импульсов па движение твердого тела. Так как кинематическое состояние тела вполне определяется вектором скорости 414 Глава ХП какой-либо его точки и вектором угловой скорости, то задача об импульсивном движении свободного твердого тела сводится к нахождению изменений этих двух векторов за время удара. Чтобы сделать вычисления наиболее простыми, возьмем за начало координат центр масс С тела, а за оси координат примем главные центральные оси инерции тела.
Введем обозначения: Ях, Яю Я„ 1 „Аю1, и р, о, г — проекции главного вектора Я('1, главного момента Х, внешних ударных импульсов относительно центра масс и вектора (х) угловой скорости ы тела на указанные оси; гп масса; Л, В, С главные центральные моменты инерции тела: величины Лр, Во, Сг будут проекциями вектора Ьи кинетического момента тела относительно центра масс. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента, согласно равенствам (2) и (3) предыдушего параграфа, дают два векторных уравнения 11 = Я(Ы 11К ° = Х(Ц.
Отсюда получаем выражения для проекций приращений вектора ско- рости центра масс Ьео и вектора угловой скорости Ьы: Я, сох — сох В р — р = †, й — о = †., г — г — — л -~-, — х Л' В' С' (3) Если тело совершает плоское движение, например, параллельно плоскости Овро то из шести соотношений (2), (3) остаются только три: — а, 1, Я оо — оо = — оо — 'си = — г — г = — '. (4) х х н1~ 'л ьв го~ С Упгхжнвние 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
