1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Пусть решение «невозмущенной» системы (3) найдено при помощи уравнения Гамильтона. Якоби 382 Главе Х! (!7) Н = Но + СН1 -!- .. Будем считать, что при е =!) система (1) интегрируема (т. е. мы мо- жем получить ее общий интеграл), а канонически сопряженные пере- менные йе Р; выбраны так, что функция Гамильтона Н„, соответстну- ющая невозмущенной задаче, зависит только от импульсов, т. с.
Н1) — НО(Р1~ ' ~ Рп) Так будет, например, в случае, когда невозмушенная система (1) интегрируется методом Якоби при помощи разделения переменных, а ее движения обладают свойством периодичности. Тогда Ре это переменная действие (см. и. 183), а возмущение Н вЂ” Но, записанное в переменных действие — угол, будет 2п-периодическим по угловым переменным 1/1~ ~ Чи Певозмущенная система (1) "с/1 ПН0 = СЧ(Р1: .. Рн).
и=арьсс * (18) сразу интегрируется: Рь Рьв сонэ!~ 91 — ь'1(Р10~ '; Рпо)! + Ьо (18) Для приближенного исследования движении при малых, но отличных от нуля значениях с в механике разработан специальный аппарат теории возмущений, основанный на применении канонических преобразований.
Длл простоты ограничимсл здесь случаем консервативной или обобщенно консервативной системы с одной степенью свободы (я = 1) 1. Функция Гамильтона (17) имеет вид Н = Нп(Р) + бН1 (9, Р) +..., (20) Следует, однвко, иметь в виду, что при и > 2 в теории возмущений возниквют принципиальные трудности, которых нет в случве одной степени свободы. Смз Арнольд В.
И. Малые знеменвтели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике // УМН, 1992, Т. 13, вып. б, С. 91-192. Следует отметить, что при получении уравнений (13) и (16) нигде не предполагалась малость «возмущения» Н1. Однако изложенное выше решение задачи вариации произвольных постоянных наиболее полезно, когда величина Н, мала по сравнению с Нб, например, если функция Н1 имеет порядок малости е и требуется найти решение системы (1) при малых значениях с. 188. Классическая теория возмущений. Пусть функция Гамильтона Н в системе (1) может быть представлена в виде рида по степеням малого параметра е: Ь' 7.
Канонинетгие преобразование в теории возмущений 393 где Пз можно представить в виде ряда Фурье Н1 — Нг (р) + ~~г (аь(Р) сов 1ад + Ьь(Р) афина). (21) н=з Здесь 11з(Р) — среднее значение функции Нг. 2зг 1' о 74 = Нв (Р*) + е Нз'(г1*, 1Р) + .. (22) Искомое преобразование близко к тождественному и задается форму- лами (см. п. 174) ддг доз д*' д Р Я (23) где яз(у, Р') = я~' -Ь едГО(д, Р").
(24) Неизвестную пока функцию Нг подберем так, чтобы в новых пере- ,(О менных функции Гамильтона имела вид (22). Подставив (24) в (23), получим соотношения ддг (у Р),. доз (у: Р) Ч*=Ч-еЕ °, 1 Р=Р +Е др' ' дд Отсюда с точностью до членов порядка е включительно находим замену переменных у., Р -~ у*, Р* в явной форме: ддзы(Ч", Р*) . доз '(Ч*, Р*) др* до* Тек ьак валентность преобразования равна единице, а функция Яг не зависит нвно от 1, то, согласно формуле (63) п.
174, новая функции Будем искать каноническое преобразование д, Р -> д*, Р*, приводящее функцию Гамильтона (20) к аиду 394 Глава Х1 Я = Не(р*) -ь еН~(р")+ + е ь>(р*) ",,' + 2 (иь(р*) сов йгГ + Ьь(р*) япй>1*) +... д9„(>1*, р*) д>1* ь=> (26) Здесь ПНе(Р) '(р) = др (27) Чтобы Я имела вид (22), нужно в функции (26) уничтожить зависимые от д* члены порядка е. Для этого надо положить »> „, 1 х бл(р") сов йд* — оь(р*) ЙпЬ1' ь=> При таком выборе функции Ч выражение, заключенное в квадрат(>) ные скобки в формуле (26), тождественно равно нулю и новая функция Гамильтона будет иметь вид (22), причем Н*(р*) = Нв(р*) + ей (р*). (29) Если теперь в функции (22) отбросить члены выше первого порядка малости по щ то соответствующая система уравнений =О дд' дН;, (р') Ир* <й др* ' Ж сразу же интегрируетсл.
Подставив ее решение в формулы преобразования (25), получим приближенное решение возмущенной системы исходных переменных д, р. Мы рассмотрели теорию возмущений в первом приближении по е. Аналогично можно рассмотреть и более высокие приближения. 189. 0 линейных гамильтоновых системах дифференциальных уравнений. Пусть в системе (1) функция Гамильтона не зависит от времени и система допускает решение, для которого величины йи р,(г' = 1, 2,...
> и) постоннны. Это решение отвечает положению равновесия механической системы, имок>щей уравнения движения (1). Гамильтона Я получается из старой функции Н, если в последней ве- личины >1, р заменить их ныражениями чероз новые переменные. Под- ставив д, р из (25) в функци>о (20), получим 395 з 7. Каноничесзсие преобразования в теории возмущений Так каь перенос начала координат является каноническим преобразованием (см. пример 5 п. 170), то, не ограничивая общности, можно считать, что вто положение равновесия отвечает началу координат в фазовом пространстве ды..., с7, ры .
р . В следующем пункте мы покажем, как, используя канонические преобразования, можно получить приближенное описание движения рассматриваемой системы вблизи ее положения равновесии. Для этого предварительно рассмотрим некоторые вопросы, связанные с линейными дифференциальными уравнениями Гамильтона с постоянными ковффициентами. Линейную гамильтонову систему дифференциальных уравнений можно записать в виде — = ЛНт, сСт сй с Ф = (язз з тнз заом з з яа)з (30) 0 Е„ — Е„О (Л' = Л ' = — Л, Лз = — Ег„, сСеСЛ = 1). В системе (30) Н вЂ” вещественнан симметрическан матрица порядка 2а. Будем предполагать ес постоянной. Рассмотрим характеристическое уравнение р(Л) = сСес(ЛН вЂ” ЛЕза) = О.
(31) Теорема. Характеристический многочлен р(Л) — четная сЛсункция Л. Доказательство. Доказательство вытекает из цепочки равенств: р(Л) = с(еС(ЛН вЂ” ЛЕг„) = сСеС(ЛН вЂ” ЛЕз„)' = сСеС(Н'Л' — ЛЕг„) = = сСеС( — НЛ вЂ” ЛЕза) = деС(ЛзНЛ -Ь ЛЛЕзнЛ) = с!еСЛ(ЛН+ ЛЕз„)Л = = с1еСЛ ° сСеС(ЛН ч- ЛЕга) с1оС Л = с1еС(ЛН+ ЛЕзи) = р( — Л). Таким образом, уравнение (31) содерясит только четные степени Л. Позтому если у него есть корень Л = а, то обязательно будет и корень Л = — а.
Будем рассматривать только тот случай, когда уравнение (31) имеет только простые чисто мнимые корни. Обозначим где:сь, е„ьь, (й = 1. 2,..., к) канонически сопрнжснные переменные (жь - координаты, ж„еь .-. импульсы). 11ак и в и. 168з здесь принято обозначение Глава Х! их Ль = 1ггь, Л ьь = — Ыь (1 мниман единица., и = 1, 2,..., п). Назовем норлаальнай формой системы уравнений (30) такую систему канонических дифференциальных уравнений, которой соответствует функция Гамильтона~ (32) Найдем вещественное линейное унивалентное каноническое преобразование ту — ь р (з' = 1, 2,..., 2п), приводящее систему (30) к ес нормальной форме: ой — „, =ЛН р, р = (р„..., р„, р„„,..., рх„), (33) (34) искомое преобразование.
Из (30), (33) и (34) следует, что постоянная матрица А должна удовлетворять матричному уравнению АЛН' = ЛНА. (35) Ввиду каноничности преобразовании (34) матрица А должна быть сим- плектической, т. е. она должна удовлетворять также и такому матрич- ному уравнению: А'ЛА = Л. (36) Чтобы найти нормализующее преобразование (34), надо из бесчисленного множества решений уравнения (35) выбрать хотя бы одно вещественное, удовлетворяющее уравнению (36). Решение уравнении (35) будем искать в виде А = ВС, где 1Ео Е„ — 1Е„Е„ (37) Тогда из (35) получаем уравнение для матрицы В: (38) ВВ = ЛНВ, гФункция Гамильтона (32) отвечает механической системе, образованной н не связанными один с другим гармоническими осцилляторами: их частоты равны ~аь~ (Ь = 1, 2,..., я).
где, в соответствии с (32), Н* — вещественная диагональная матри- ца, элементы которой определены равенствами Ь'ь — — 6„'+ь „+ь —— ай (/с = 1, 2,..., п) Пусть З 7. С!иконические нреобризооания е теории аоззсуиСений 397 где Р диагональная форма матрицы ЛН. Для ее диагональных элементов имеют место равенства дль = — с!ныл еь = Ыь (Ь = 1, 2,..., и). Таким образом, матрица В приводит матрицу ЛН к диагональной форме. Она строитсн следующим образом". Ге столбцами служат собственные векторы матрицы ЛН.
Именно, пусть Ь-й столбец матрицы В есть собственный нектор есо соответствующий собственному числу Ль = ссссо а (и + Ь)-й столбец есть собственный вектор еиеум соответствующий собственному числу Л„ьи = — !о (Ь=1, 2,..., и). Собственные векторы определяются с точностью до множителя.
Примем этот множитель вещественным и одинаковым длн векторов еь и е„ты Кроме того, соответствующие компоненты этих векторов выберем комплексно сопряженными. Такой выбор собственных векторов обеспечивает вещественность матрицы А. Произвольные множители собственных векторов определяются из условии их нормировки.
которое получим из условия (36) каноничности преобразования (34). Подставив А = ВС в уравнение (36), получим С'В'ЛВС = Л. Обозначим матрицу В'ЛВ через Р, се элемент йя,с равен сьалнрному произведении> векторов е„, и Лес. 7 с = (е Лес). Так как для любых двух векторов а и Ь справедливо равонство (а ЛЬ) = — (Ла Ь), то матрица Р кососимметрическая. Покажем еще, что ),ас = О, если ~пс — 1~ ф сь Для этого рассмотрим очевидное равенство (е„, Л~Нес) = (ем НЛ~ес). Преобразуя его левую и правую части, имеем последовательно (е„, Л~Нес) = (Л Н еяа Лес), (е .
ЛЛНес) = — (ЛНе Лес), ( е,„ ЛЛс ес) = — (Л е,„ Л ес), Последнее равенство можно переписать в виде (40) (Л„+Ас)~, с =О. Так как, согласно упорядочению собственных чисел, введенному при построении матрицы В, Л + Лс = О только в случае ~си — 1~ = и, то из сом.. например: ГантмахерФ. Р. Теория матриц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
