1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Следует. однако, отметить, что указанные способы разделения переменных применимы к таким важным задачам механики, как задача о гармоническом осцилляторе, задача о движении физического маятника, задача двух тел, задача о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в случае Лагранжа и др. Рассмотрим некоторые примеры. Пгимкг 1 (Своводнок вкгтиклльнок плдкник млткгихльной точки у поВеРхности Земли). дусте ось ОЧ направлена вертикально вниз. Если т .
- ласса точни, то 366 Глава Х1 ,запшаетпся в виде П соответствии с формулами (9) имеем =р~ дН ду Первое из этих соотношений дает равенство (36), а из второго полу- чаем — й+ 7п 712 = — П, 2,/,чГа+ тП71 или 2 ь7а+ тка — 1+ т д' = — П. (36) Произвольные постоянные 77 и П находятся из начальных условий. Пусть при 2 = О имеем й = О, ц = О. Тогда из (36), (36) и равенст- вар=сну следует, чтоо=д=О и О2 —,э = хпья4.
2 ' ПРИМЕР 2 (ДВИЛ1ЕНИЕ СТЕРЖНЯ, ОПИРАЮЩЕГОСЯ НА ГОРИЗОНТАЛЪНУЮ плоскость и Веэтиклпьную ось). Пусть в однородном поле тязкести движется бесконечно тонкий однородный стержень длиной 21 и массой т. Нижний конец стержня перемещается по гладкой горизонтальной плоскости, а верхний его конец на рассматриваемой стадии движения опирается ни гладкую вертикальную ось ОХ (рис, 143).
Найдем полнзяй интеграл уравнения Гамильтона-Якоби в этой задаче. Пусть 97 — угол между проекцией стержня на плоскость ОХУ и осью ОХ, а 62 — угол, который образует стержень с вертикалью. Со стержнем жестко свяжем систему координат Схуг, оси которой направлены по его главным центральным осям инерции, причем ось Су лежит в плоскости, проходящей через стержень и вертпикаль Ох. Для кинетической и потенциальнои энергии имеем выражения 2 1( ~рз + дуг+ СГ2) 17по2 П = тя1соедз, где А, В. С --- моменты инерции стержня относительно осей Ст, Су, Сг, а р, д, Г -- проекции его угловой скорости на эти оси, 71сз -- ско- рость центра масс стержня, к — ускорение свободного падения.
г б. Метод Якоби интегрирования уравнений движения 367 Имеем А = В = -т«2, а С = 0 ввиду 1 3 того„сто стержень бесконечно тонкий. Далее, р = с«гс с« = с«1 8п1 уг, вС вЂ” «(епс с«ге«1 + Ч2) г поэтому Т = —,т«(жп с«гс«1 + 72). 3 Рис. «43 При помощи функции Лагранжа В = Т вЂ” П находим обобщенные импульсьс Рс = .. = — т«81п Чгбы Рг = . = гт«С«2. д«4 г ° г ° дВ 4 дус 3 ' ' дс«г Так как рассматриваемая система консервативна, то функция Гамильтони имеет вид Н = Т + П и для нее получаем следующее выражениес 2 Н =, +Р, +ту«согс«2. 8т« ~ есп ог ) Положим 3 ( г «11 = Ос, +рг + гссу«совуг = 112. 1 81п Чг Тогда полньсй интеграл уравнения Гамильтона Якоби будет иметь вид ссг«+ сгсс«1 + 180.
Теорема Лиувилля об иитегрируемости гамильтоиовой системы в квадратурах. В п. 163 при помощи теории множителя показано, что для построения общего интеграла системы — — — — — (1=1, 2,...с и), с«бс дН ссрс дН (37) д« др,: где Н = Н(ус. Ро 1), достаточно найти 2п — 1 первых интегралов. Построение же 2п-го интеграла сводится к квадратурам.
Изложенный в п.п. 175 †1 метод Якоби интегрирования системы (37) позволяет 308 Глава Хг 1;(д~....., о„, рз,..., р„, Р) = ои = сопзь (1= 1, 2,..., и), (38) находящихся в инволюции, т. е. (7„, Я = 0 (г', в = 1, 2,..., и,), (39) причем д(7ы...., Г„) П(р,": р ) (40) Тогда интегрирование системы (37) сводится к квадратурам. Доказагпельство.
Заметим сначала, что при условии (40) уравнения (38) можно разрешить относительно обобщенных импульсов. В результате получим р; = ьс;(оы..., део оы..., сгя, 1) (1 = 1, 2,..., и). (41) Покажем, что при выполнении условий теоремы имеют место равенства (1, 1=1, 2,..., и). дул дрй (42) Заменив в равенствах (38) величины р; на их значения аи из (41) и продифференцировав затем г-ое из получив|пихся тождеств по д;, получим ПГ„" д7', дюь дщ дрь дд; Умножив обе части этого тождества на производную д)'„/др; и произ- ведя затем суммирование по 1, придем к соотношению т";- '~ 'Л ~- ~'- 'У 'Л П~ь =, („л = 1, 2,, „) (43) дч1 др~ дрь Пр; дф получить существенно более сильный результат: во многих случаях для сведения интегрирования системы (37) к квадратурам достаточно знать только и ее первых интегралов.
Говорят, что функции иы иг ° ., и~ от чы , чь р» . ° . ра~ 1 находятся в инволюпии друг к другу или что они образуют систему в инвол|оции, если все скобки Пуассона (иь ьл) (1, й = 1, 2,...,1) тождественно равны нулю. 'Теорема (Лиувилля). Пусть система уравнений (37) имеет и первых интегралов З б. Метод Якоби интегрирования уравнений деилиенив 369 д(; д~, и к д7; д~, д~ре ". '+Е2,. '. '. '=0 дрь дяь 2 ~ дрь др; дои Если здесь в первой сумме изменить индекс суммирования Й на ин- декс 1 и поменлть порядок суммирования в двойной сумме., то придем к соотношению Е~У'~У'+ЕЕ ~У' М~ ' =О (г =1, 2, ", ) (44) др; дри дрь др; дйь Вычитан почленно равенства (43) и (~14) и учитывая условия (39), по- лучаем и и — — = 0 (г, « = 1, 2,..., п). (45) д1гв др; 1, ддь дд; / Возьмем н из этих соотношений, соответствующих какому-то фиксированному значению г, и запишем их в виде — 'х;=0 (в=1, 2,..., и), д~, др; (46) где дХ.
(ое д~ ) и=1 Система уравнений (46) при условии (40) имеет только тривиальное решение, т. е. дрь 1дпь да / Взяв теперь н из этих соотноепений, соответствующих фиксированному значению 1, совершенно аналогично покажем, что все выражения, заключенные в круглые скобки н (47), равны нулю, т. е.
справедливы равенства (42). Теперь обозначим У* функцию!'амильтона П из (37), в которой величины р; заменены их значениями у; из (41). Покажем, что дуо, дН" дри — — (1=1, 2,..., п). (48) Аналогично, умпоекив на д~,/дре обе части тождества, получающегося в результате дифференцирования по дь в-го из равенств (38) (при р; = ин) и произведя затем суммирование по Й, получим 370 Глава Х1 Имеем из (37),(41) и (42) дн 19; дарг дсс1 ~ д рг дгб д рг ~ дну ддда, дг д1 дб ~ дбд г11 д1 ~. дд, др ' 1=1 1=1 Следовательно, др дН С- дНМ 0Н* 01 = дпе ~-др,,дг= д®' 1=1 (49) Из математического анализа известно, что нахождение такой функции д требует только квадратур, т.
е. вычисления интегралов от известных фупкпий. Равенства (49) показывают, что функции д удовлетворяет уравнению Гамильтона Якоби, соответствующему системе (37). Покажем, что д будет полным интегралом этого уравнения. Для этого надо проверить выполнимость неравенства (8), которое, в силу первых и равенств (49), приводится к виду в дгхь (50) Эти неравенства представляют собой необходимые и достаточные условия разрешимости уравнений (41) относительно атг..., гс„. Но уравнения (41) эквивалентны исходным интегралам (38), которые при получении уравнений (41) уже разрешены относительно ст1,..., ст .
Следовательно, неравенство (50) выполнено и д — полный интеграл. При известном полном интеграле д интегрирование уравнений (37) завершается рассмотрением соотношений (9). Следует отметить. что далеко не каждая система (37) приводитсл ь квадратурам. Обычно нельзя найти необходимого количества первых интегралов. И пе потому, что их нахождение технически сложно, а потому, что существуют причины принципиального характера, препятствующие интогрируемости'. 1цодробное изложение атой проблемы можно найти в статье: Козлов В. В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамиаьтоновой механике О УМИ, 1333, Т.
33, вып. 1, С. 3.67. и справедливость равенства (48) доказана. Равенства (42) и (48) являются необходимыми и достаточными услоииями существования такой функции о' от у1, г7м..., йю 1 и от ПОСТОЯННЫХ ГХ1,..., О ю Чта 371 З б'. Переменные действие — угол В 6. Переменные действие — угол 181. Случай одной степени свободы. Продолжим начатое в и. п. 177-179 изучение некоторых вопросов, связанных с интегрированием консервативных и обобщенно консервативных систем.
Будем изучать системы, движения которых обладают описанным ниже свойством периодичности. Длл таких систем Делонэ предложил специальный выбор постоянных импульсов сгз (г = 1, 2,..., в) в характеристической функции Гамильтона п. 178. Эти новые импульсы представллют собой и независимых фупкпий от набора величин сгс, появляющихся при нахождении полного интеграла уравнения Гамильтона Якоби. Они называются действиями (точные определения см. далее) и ниже чаще всего будут обозначаться 1о Канонически сопряженные к ним координаты ш; назелваются угловыми переменными. Переменные действие — угол Ти ич весьма удобны длл описанил движений, обладающих свойством периодичности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
