1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 59
Текст из файла (страница 59)
170. Ковврнантность уравнений Гамильтона прн канонических преобразованиях. Если преобразование (4) является каноническим, то в новых переменных система уравнений (1) снова будет иметь гамильтонову форму. Более точно, имеет место следующее утверждение. Теореме. При каноническим преобразовании (4) любая гамильтинова система дифференциальных уравнений (1) переходит снова в голильтонову систему (вообще говоря, с другой функцией Галилыпона Я(«, с)) Глава ХГ Покажем, что если преобразование (4) каноническое, то — ',~ =ди", дГ (25) где И' некоторая функция переменных ~, и В самом деле, опирансь на соотношения (3) и (6), получаем из (25) следующую цепочку равенств: — -И;.1, —, .1 И,, —, 1М И,—, И;, т.
е. соотношение (25) зквивалентно равенству И;= —,. ЛМ, (26) где И' рассматривается как функция пероменных и, р, Г. В скалярной форме равенство (26) запишется в виде 2и соотношений ОР, Оф'1 ( = Ф~ (1 = 1, 2,..., я), Ог Ор~ ( где обозначения Фл, Ф~ для производных функции И' введены для крат- кости записи. Величины Фл и Ф~ являются производными по дь и р~ от некоторой функции И' в том и только в том случае, когда выполнены условия ОФь дФ; дФь дФ; ОФь ОФ; Ойт ОгГь Ор.
Орь др' Оал Эти условия, как показывак>т непосредственные вычисления, могут быть записаны в виде д д — [о;, Г,) = О, — (Р;, Рь) = О, Так как преобразование (4) каноническое, то имеют место равенст- ва (11), откуда вытекает справедливость равенств (27), а следователь- но, и равенства (25). ОИГ,~-' (' ОЯ дР1 х=г Ои с-'- (дГГ ОЖ Ор~ ~-' ( Ор~ ОГ х=г — (Пи рь) =0 (1, 5=1, 2,..., и). (27) З 4.
Канонические преобразования Таким образом, уравнение (24) может быть записано в виде — = Л(сН4 + И'4). аь сзк Если обозначить Я функцию сН+ И', то последнее уравнение примет гамильтонову форму — = ЛЯ~. гП Роль новой функции Гамильтона играет функция Я. Теорема доказана. Приведем некоторые простые, по практически важные примеры канонических преобразований. Старую и новую функции Гамильтона обозначим соответственно Н(ч1, р. 1) и Я(Ц, Р, 1).
Пгимке 1. Тождественное преобразование (28) % =узч Р;=р, 0=1, 2,", )- Это унив лентное каноническое преобразование; при этом Я =Н(ф Р,1). Примну 2. Пуеобразовиние (29) Оз=рч Р.=д (э=1, 2„..., п). Это каноническое преобразование с валентностмо с = — 1. Оно меняет ролями обобщенные координаты и обобщенные импульсы. При этом Я = — Н(Р, Ч, 1). Примкр 3. Преобразование чез = абаз, Р, = ДР, (1' = 1, 2,..., и; а = сопз1, ьз = сонат, аЭ ф О).
(30) Это пуеобразование каноническое, и сс "и: Пгимкг 4. Преобразование Яз = арз, Р = До (у = 1,2,...,п",а = сонет,,Э = соплс,аП ф О). (31) Это преобразование также каноническое, а Глав« Х1 Пример»л 2 и 4 показывают, что при канонических преобразованиях может исчезнуть различие между координатами и импульсами.
Применение названий «импульс» и «координата» может стать *тото условным. Поз«кому для пары переменных 1,)г и Ры очень удобно низвание «канонически сопряженные переменныеэч Примят 5. Перенос начала координат в фазовом пространстве (32) представляет собой унивалентное каноническое преобразование. При этом новые переменные Ц. Р удовлетворяют системе дифференциаль- ных уравнений с функцией Гамильтона Я = Н(ьг + З' (1), Р + д" (1), 1) + — . Ц вЂ” — ° Р, (33) где точкой обозначено скилярное произведение векторов.
Поимки 6. Преобразование уб =.,э»2т,э1п~р, рд = ~/2г сову» (у =1, 2....., и) (34) Н= — ~> Л(й +р), з=з (35) то уравнениям для переменных рэ, т соответствует функция Гамиль- тона а Й = ~~ Лз.тз.. 4=1 (35) Поимки 7. Преобразование 1гз =уз — зр;, Рэ. =йз+гр (» =1, 2,..., п), (37) где з — мнимая единица (Р = — 1), осуществляет переход к комплексно сопряженным переменным. Оно является киноническим с валентнос- тью 21 и (38) является унивалентным каноническим преобразованием. Оно осуществляет переход от пары канонически сопряженных переменных уэь р, играющих роль декартовых координат на плоскости, к паре канонически сопряженных перел«еннь х рз, т (ч»э — «координата», т — «импульс»), имеющих характер полярных координат.
Если старая функция Гамильтони имела вид 347 Канонические преобразования Если, например, старая функция Гамильтона имеет вид (35), то 'Н = з ~~~ Лзц)зР,. з=з (39) 171. Канонические преобразования и процесс движения. Очень важным примером канонического преобразования служит процесс движения., описываемого гамильтоновой системой дифференциальных уравнений. ПУсть длЯ гамильтоноиой системы (Ц пРи С = 0 Я' = г,', = (ое, Ро). Тогда вектор-функция Ь' = ~'(зо.. 1) = (П'(Чо, Ро, Ц Р'(гяп Ро ~)) УЛОВ летворяет тождеству — = ЛН,'. йь иь (40) Она задает преобразование фазового пространства оо, ро -ь о.
р. Теорема. Преобразование фазового пространства, задаваемое двилсе- ниями гамильтоновоб системы, является унивалентным каноническим преобразованием. М'ЛМ = Л. (41) Для этого найдем дифференциальные уравнения, которым удовлетворнют матрицы М и М'. Продифференцировав обе части тождоства (40) по зо, получим — =ЛН дрда, = 44дп, или = ЛН44М. (42) Транспонируя обе части этого равенства и учитывая соотношения (3) и симметричность матрицы Нсс, получим дм' ПМ = М'Н,'4 ' = -М'Н„. (43) Учитывая (42) и (43), вычислим теперь производную по времени от матрицы М'ЛМ.
Имеем Лм М'Л = — М'Н ЛЛМ М'ЛЛН М. гн г1р Й 44 44 Доказательство. Надо убедиться в том., что матрица Якоби М = д~/дго удовлетворяет тождеству (7) при с = 1, т. е. 348 Глава Х1 Если теперь заметить, что, согласно равонствам (3), Лз = — Езп, то это выражение можно представить н виде а М'ЛМ) а» Отсюда следует, что матрица М'ЛМ постоянна.
Но при 1 = О она, очевидно, равна Л. Поэтому при всех 1 имеет место равенство (41). Теорема доказана. 172. Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема. Пусть Со -- некоторая область фазового пространства йы ..., йю ры ..., р„. Из каждой ее точки д»о. ° оно: р»о, ° °, рпо как из начальной «в«ппустим» траекторию системы уравнений (1). Пусть ѫ— совокупность точек о = о(оо, ро, 1), р = р(йо, ро, 1) в момент времени 1, 1~ — объем области Со, а 1㫠— объем области Сы Теорема (Лнувилля).
При движении гамилыпоновой системы фазовый обеем остается постоянным, т. е. К, = »о при любом Е Доказательство. Имеем равенства »о = / ... / 4йо... Пйпойр»о ° йроо но 'г« = / ... ~с(у~...«(й с(р ...ар„,. (44) я, 1г» = ~...Л~ ~бе«М~«(7»о. ДИойР»о ДР о, (43) где (в обозначениях предыдущего пункта) М = д~/дхо. Матрица М удовлетворяет равенству (41).
Так как деСЛ = 1, то из него следует, что Ое«М = ~1. Но прн 1 = О, очевидно, М = Е „и Ое«М = Ое«Е»„= +1. Отсюда, ввиду непрерывности М, получаем, что и при любых с ОеФМ = +1. Поэтому из (44) и (45) следует, что»'» = Ът Теорема доказана. 173. Свободное каноническое нреобрезование и его производящая функция. Пусть преобразонание (4) каноническое н в некоторой области фазового пространства удовлетворяет условию йе», 7.
-О. д«Л др (46) В интеграле, входящем во второе из этих равенств, перейдем от переменных Ом....,ап, Ры...,Р„к пеРеменгпам д»о Чоо, Р»о °,Рпо. Тогда, как известно из курса математического анализа, 849 Канонические преобразования Тогда преобразование (4) называется свободныл~ каноническилг преобразованиелс При выполнении условия (46) из первых п равенств (4) можно выразить р через д, Ц и С Тогда выражение (18) может быть записано в виде н п с~~~ рьбдл — ~~~ РьбГ1ь =бГ(д, р(д, О, 1), 1) =бд(д.
Ц,1), (47) ь — 1 ь=1 где Я вЂ” функция Р, в которой р заменено на р(д, 1~, 1). Из равенства (47) вытекв1от соотношения дЯ „ дд дд; " дсч — =ср;... = — Р; (1=1, 2,..., и). (48) дед Ое1,, ~0 (49) формулы (48) задают свободное каноническое преобразование с валентностью с. При условии (49) формулы (48) можно прецставить в виде (4). В самом деле, условие (49) означает, что первые и равенств из соотношений (48) можно разрешить относительно Щ.
Сделав это, получим Гг'; = Гг;(д, р, 1). Подставив эти функции в левые части последних и равенств из (48), получим Р, = Р;(д, р, 1). В и. 170 мы получили уравнение (24) и показали, что его можно записать в гамильтоновой форме. Осуществим эту запись, используя производнщую функцию 5, В (24) Н представляет собой старую функцию Гамильтона, выраженную через новые переменные, а < д~~' (дЮ'(д, р, 1) дР'(д, р: 1) д1! (, д1 ' д1 (50) В первых и равенствах соатпатепнй (48) величину Ц заменим на ее выражение Ц = Я(д, р, 1). В результате эти равенства станут тож- дествами относительна старых переменных д, р, С Продиффоренциро- вав их по 1, получим дзс дЦь дзс +,, =0 (з=1, 2,..., и). Функция Я называется производнщей функцией свободного канонического преобразования (4).
Очевидно, что верно и обратное утверждение: если заданы дважды непрерывно дифференцируемая функция Ь(д, Ц, г) и число с ф О, то при условии 350 Гинее ХУ Меняя здесь порндок дифференцировании и пользуясь последними и равенствами из (48), имеем дЯьдРь+ И~8 =0 ('=1, 2,..., ~) дг дд„д1дщ или Оц' ()з.е Пй П 1'П.С д1 дауду ОР дР ( д~/ ' (51) Далее, последние и равенств нз (48) дают ПР' ()г8 П (08 ) дг дЦд1 д(~ 1, д~/ (52) Из (50) и (51), (52) получаем Следовательно, уравнение (24) имеет вид й — — Л си+ й (53) и новая функция Гамильтона Я=сУ+ —, дЯ <91 ' (54) где Н и 8 должны быть выражены через Ц, Р, 1. Таким образом, если заданы производящая функция 8(п, Д. 1) и валентность с канонического преобразования, то свнзь старых н новых переменных определяется из равенств (48), а функция Гамильтона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
