1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 56
Текст из файла (страница 56)
138). Обозначая х, у координаты точ- 326 1лава Х! ки Р и применяя теорелзу о сложении скоростей (п. 31), получаем д и проекций абсолютной скорости точки Р с.гедующие выражения: Аинепзичесзсая энергия точки Р вычисляется по формуле Т = 1 ~зз, + о„) = Т + Т + Т, 141) где Тг = — т(х + у ), Т, = т(ху — ху), То = -т1х + у ).
(42) Яотендиалвноя,энергия точки Р определяется выражением П = — т — т ,—„, г =(х+р) +у, г = (х — 1+у) +у . г г г г (43) Уравнения движения точки Р могут быть записаны в 1дорме канони- ческих уравнений Гамильтона. Функция Гамильтона явно от времени не,зависит, поэтому существует обобщенный интеграл энергии — ин- теграл Якоби: (44) Тг — То + П = 1ь = сснж1. Так как число степеней свободы и = 2, то для посгпроен я общего ин- теграла недостает одного первого интеграэга.
3 2. Системы с циклическими координатами зивк следует ив и. 148, 158, ;-- = — -- — = — — †, поэтому если координата дд„ дд дд цикличвскак, то ока ив входит также и в функции Гамильтона и рауса; варка и обратила. 164. Циклические координаты. Крайне важным источником упрощении интегрирования дифференциальных уравнении движения янляется наличие циклических координат.
Рассмотрим этот вопрос для голономных систем, движущихся в потенциальном поле сил. Пусть система имеет п степеней свободы, а дз, дг,..., д„— ее обобщенные координаты. Координата д называется циклической, если она не входит в функцию Лагранжа, т. е. если ЯЬ /дд„= 0 '. 327 З М. Сипкемы с циклическими координатами Теорема.
Пусть у — циклическая координата. Тогда соответствующий ей импульс — первььй интеграл: р = с = соплФ, при этом изменение осталаных координат со временем такое лсе, как в системе с и — 1 степенью свободы, в которой с играет роль параметра. ЕЕоназательство. Доказательство проще всего провести, используя гамильтопову форму уравнений движения — — — — — (ч=1,2,...,п), сЕуч дН др' дХХ (1) дрч сЕг дрд где Н = 11(уы...,у итачи... ПЕк,ЕО,...,Р„ыРа,р ч.ы...,ра,т). Если в (1) 1 = сн то дН/дуа = О и др„/дг = О.
Поэтому р = с = сопль. Положив в (1) р,„= г;,„, придем к систеие уравнений (2п,— 2)-го порядка — — — — — (1=1, 2,..., и; Ефн), дф ПН <Ерч дН (2) чХЕ др, ' сЕХ дад он = ф(Е~ са; сз ... 1 сза з)~ 1зч — Рч(Е1 са1 сы... 1 сгк 2) ° (3) где сы..., сз„з — произвольные постонпные. Зависимость циклической координаты у от времени определяется одним из уравнений системы (1) ау дн й др (4) в котором правая часть выражена через 1 н 2п — 1 постоянных с, сы .,., сз„з при помощи подстановки в нее функций (3). Интегрирование уравнения (4) дает у =~ д1+с, 1 ПН дра где с — 2п-я произвольная постоянная.
Аналогично, если не одна, а1 обобщенных координат являются циклическими, то первыми интегралами будут 1 обобщенных импульсов и порядок системы дифференциальных уравнений (1) может быть понижен на 21 единиц. 165. Понижение порядка системы дифференциальных уравнений движения при помощи уравнений Рауса. Пусть уа в которой Н = Н(чЕы..., уа и гЕа.ь и,..., да., ры, ра и са, р„, и.... р„, 1) . Интегрирование уравнений (2) дает Глина Х! (о = 5+ 1,....и) циклические координаты. Тогда имеем и — 1: первых интегралов р =, .' =с =сопле (ел=)с-ь1,..., в). дй (5) дда Пусть гессиан функции Лагранжа по переменным д отличен от нуля: дЧадед (6) Составим функцию Рауса (и. 153) сафа (7) -и-~-з где да выражены через ед, е)о с и 6 (з = 1, 2, ..., й; о = й -)-1, ..., и) из уравнений (5)~.
Функция Рауса не содержит обобщенных скоростей, отвечающих циклическим координатам: Л = П(д;, до с, 1) (1 = 1, 2,...., )с;, се = й+ 1,..., и). (8) Поэтому часть системы уравнений Рауса — — — — =0 (в'=1, 2,..., й) с7 дЛ дЛ с)т де); д% (9) описывает изменение иециклических координат со временем и может интегрироваться независимо от другой ее части — = 0 (о = 5+1,..., я), с)1 дс„' с)1 (10) соответствующей циклическим координатам. Проинтегрировав систему уравнений (9), имеющую порядок 2)5 получим д; = де(К с, сы с',..., сво с', ) (з = 1, 2, ..., Й), (11) д,„= в( — с(1 -Ь с'„(гл = й + 1,..., и), 1 дгг дса (12) знри выполнении условии (6) уравнении (о) разрешимы относительно д' .
где со с'; (1 = 1, 2,..., )с) -- произвольные постоянные. Затем из первых и — й уравнений системы (10) находим зависимости циклических координат от времени 329 2 с. Системы с циклическими координатами Т = — т! (У -~ еьп Уф ), П = зпу(сову. 2 Так как функция Лагранжа Е = Т вЂ” П = 1 т!2(уз + зьпг уфз) — ту1 сову 2 ке содержит 1р, то эта обобщекнан координата циклическил. Ей соот- ветствует первый интеграл Р = —. = гп! в!п дф = т! 1оось, д1 2 . 2 ° 2 дф (13) где сь — произвольная безразмерная постоянная; обозначение 1оо = ~/у!'1' введено для удобспьва. Так как из (13) следует, что а1о ф= .2 О~ вшг у (14) то для функции Рауса получаем выражение 1 2 '2 1 пь! ьзоо 2 2 2  — — — т1 У + — -> гну!солд.
2 2 гй'у (15) где в функции д!1,1дск величины 41 заменены на их выражении (11). Описанная в и. 164, 165 процедура понижения порядка системы дифференциальных уравнений движения явлнется одним из наиболее эффективных и практически важных способов, применяемых при интегрировании уравнений движения. Всякая симметрии задачи, допускающая такой выбор обобщенных координат, чтобы некоторые из них у были циклическими, приводит к существованию первых интегралов р = сопев и, как мы видели, позволяет свести исследование движения к рассмотрению системы с меньшим числом обобщенных координат.
Для обобщенно консервативных систем с двумя степеннми свободы наличие одной циклической координаты позволяет свести интегрирование уравнений движения к квадратурам (см. и. 164). Примну 1 (Движннин сфнуичнского маятника). Сферический маятник (см. пример 2 п. 138) имеет две степени свободы. Если за обобщенные координиты принять углы У и 1р (рис.
134), то длн кинетичесной и потенциальной энергии будем иметь выражения Глава Х1 Уравнения отве ьают системе с одной степенью свободы, которой соответствуют кинетическая и потенциальная энергия, опреде щемые равенствами 12 2 2 П* = тя1совд -~— 2 гьиз д Т" = 1тп1здг 2 Эта система называется приведенной системой, а функция П* — приведенным потенциалолц изьи потенциалом Рауса.
Приведенная система имеет интеграл энергии заз -т1'д'+ льд1 сов д+ — .," = -ль1зшоА 2 2 зпзд 2 (16) где  — безразмерная постоянния. Введем обозначение и = согд. Тогда и = — в1пдд и из (16) следует, что — й = С(и), 1, 3 ~о (17) где С(и) — многочлеи третвей степени, С(и) (1 иг)( — 2и) ьхг который можно льакзке записать в форме С(и) = 2(и — из)(и — из)(и — из), (19) где иы иг, из корни уравнения С(и) = О. Заметим, что С(+оо) = +со, С(х1) = — сзз < О (если сь ф О), С( — со) = — эо.
Так как С(и) — непрерывная функция, то хотя бы один из корней, например из, должен быть не меньше едитщы. Но на отрезке — 1 < и < +1 должны быть значения и, при которых функция С(и) полоксительна или хотя бы обращается в нуль, так как в противном случае равенство (17) иевозмознно для действительных значений и. Величина же и обязятелвно должна бььть дейсльвителвной, так как движение маятника. безусловно, физически существует. Отсюда следует, что функция С(и) имеет ровно два вещественных кор я иы из на отрезне — 1 < и < +1 и один корень из > 1. График функции С(и) должен бытв таким, как показано на рис.
139. З е. Системы с циклическими координатами Рис. 139 Рис. 140 Так как для реального движения гг(гг) > О, то интересующий нас интервал изменения и определяется неравенством и, < и < из. Ему соответствует обегасть изменения угла 0: уз < 0 < угг отвечающая реильному движению маятники. Рассмотрим движение, отвечающее различным значениям постоянных ы и Д. Сразу отметим, что из условий г (и) ? О и — 1 < и < +1 следует, что величина г0 не молсет быть совсем произвольной, а должна удовлетворять неравенству(з ) — 2.
Если,'3 = — 2, то постоянная гх мозсет быть толыго равной нуло, что соответствует по гожеггию равновесия маятника, когда он занимает вертикальное положение (и = — 1, т. е. 0 = к.). Функция С(гг) имеет максимум в точке (20) и = и, — 6(рг — чг(де + 12) причем г '(и„) = 1((г) — гз, где 1(Я = — [((з~ + 12)~г + 36гЗ вЂ” рг~].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
