1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 51
Текст из файла (страница 51)
и), где к произвольное фиксированное число, меньшее и. Предположим, что гессиаи функции Лагранжа по переменным д (а = Й + 1, ..., п) отличен от нуля: дз1 д 1 Для натуральной системы и П2Т дд' Пдр „, Од„()туз Последний определитель в равенстве (2) отличен от нуля (положителен), так как Тз — определенно-положительная квадратичная форма от обобщенных скоростей и к ней применим критерий Сильвестра. Следовательно, длн натуральной системы неравенство (1) всегда вьшолнено.
В случае ненатуральной системы зто неравенство является дополнительным к условию (46) и. 147 ограничением на функцию А. 294 Глава Х Обобщенные импульсы р определяются обычным образом прн помощи равенств ра =,' (о = й Ч- 1, ..., п,). (3) дЧа В = ~~~ РаЧа 1 (ЧГ Чае ЧО Ча 1)~ (4) где Ча (о = й + 1, ..., и) выражены через Ч„., Ч„, Чо ра, 1 из уравнений (3). 154. Уравнения Рауса. Полный дифференциал функции Рауса вычисляется по формуле ('ЙВ,1 + дВ,1 ) + т, (дВ,1 + дВ,1 ) + ЙВЙ (о) С другой стороны, вычислив полный дифференциал правой части ра- венства (4) при условии (3), получим е в ЙВ=-Š— ЙЧъ+ —.. ЙЧЬ + ~~,' ЧаЙРΠ— —,ЙЧа — — а. дА дА дА ~ дЬ 1,дЧ; ' дЧ; ') 1, дЧа,) дг а=1 (6) Сравнение правых частей равенств (5) и (6) приводит к равенствам дВ дл, дЧе Й% дВ дь дун дЧ; (1=1, 2, ..., к), дВ др. дВ дл.
дг дг дВ дл. дЧ дЧ„' (о = к + 1, ..., в), (8) (9) Но для нашей системы справедливы уравнения Лагранжа — — — — =О (,1=1,2, ..., и). Й дЕ дХ г11 дЧ1 дЧ1 (10) Функцией Реуса В(Чы ..., Ча, Чьлл, ...; Чв, Чы ° ° ° Чы рвем ° ~ рв 1) называется преобразование Лежандра функции А по переменным Чьеы ... Ча, т. е.
295 Уравнения движения неголономнъсх систем Из 17) и (10) следует, что — — — '=0 (ю'=1,2, ..., Й), (11) а равенства (3)г (8) и (10) дают: — — (сг = Ь+ 1, ..., и). (12) сй др ' с1с дс1 Совокупность уравнений (11) и (12) образует систему уравнений Риуса. Она состоит из Ь уравнений (11) второго порядка, имеющих структуру уравнений Лагранжа второго рода, и 2(п — й) уравнений (12) первого порядка, обладающих структурой уравнений Гамильтона. Уравнения Рауса находят широкое применение при исследовании движения систем с циклическими координатами (см.
далее и. 165). 3 4. Уравнения движения неголономных систем 156. Уравнения движения с множителями связей. Пусть на систему наложено в дифференциальных неинтегрируемых связей, заданных равенствами (26) и. 16: Ьгз,(ды..., д, 1)д, + Ьд(ды..., д, 1) = 0 ()1 = 1, 2, ..., в). (1) г=г Тогда в общем уравнении динамики (см. и. 137) и д=г (2) величины 691 не могут быть произвольными. Они связаны в независи- мыми соотношениями ее Ьд,бдг. = 0 ()3 = 1., 2, ..., в), Р) д=! — —.— — — Π— ~ ЛзЬд 61 =О.
с1 дТ дТ ~ 11 Лье 09 о=1 1 я=1 и число степеней свободы системы равно гс = ггг — ж Для вывода уравнений движения воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа. Каждое из в равенств (3) умпожим на свой неопределенный скалярный множитель Лд и результаты вычтем из (2). Тогда получим Глава Х В силу независимости равенств (3) ранг матрицы, составленной из коэффициентов Ьр: (В = 1, 2, ..., е; у = 1, 2, ..., т), равен е.
Следовательно, хоти бы один из ее миноров порядка в отличен от нуля. Для определенности будем считать, что (5) Тогда величины буы..., бу„гиожно принять за независимые, а ба„+ь (й = 1,, в) однозначно выражаются через пих из равенств (3). Выберем величины Лр (В = 1, 2, ..., з) тагц чтобы коэффициенты при бд„ьы ..., дут в вырая.енин (4) обратились в нуль.
При условии (5) это сделать можно, и притом единственным способом. Прн таком выборе величин Лс в выражении (4) будут содержаться только независимые вариации йй (ю, '= 1, 2, ..., п), и, следовательно, коэффициенты при них должны равняться нулю. Таким образом, приходим к следующим зп уравненилм: — — — — =Я,+ ~,ЛрЬдз 0=1,2,...,т).
(6) д ВТ ВТ д1 Пуз Пуз о=1 К ннм еще надо присоединить в уравнений связей (1). Тогда по- лучим систему зп + в уравнений длп определения величин узч Лр (у = 1, 2, ..., т; В = 1, 2,..., е). Величины Лд называются множите- в ляли связей. Слагаемые 2 Лдбе в уравнениях (6) представляют собой с=1 обобщенные реакции свнзей, Пгимвг 1. В качестве примера рассмотрим движение конька по гори- зонтальной поверхности льда (см, пример 5 из и. 1О и рис. 10) в пред- положении, что трение отсутствует.
Пусть С . — центр масс конька. Положение конька зададим тремя обобщенными координатальи х, у. 1о, смысл которых ясен из рис. 10. Пеинтегрируемая связь задается урав- некием (7) х1к |р — у = О. Если т, масса конька, а дс — его момент инерции относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс, то кинетическая энергия вичисляется по формуле Т т(х +у)ч- .У у. 1, .з , з 1 2 ' 2' 'Ч'ф. Уравнения движения неголономных систем Уравнения (6) принимают вид — —, — — = де+ Л1898 ддТ дХ дй дэ: дх ЫдТ дХ д1 ду ду = (9) т1 дТ дТ вЂ” —. — — = Юе. дй др др е' Так как трения нет, а потпенциальная энергия П конька постпоянна, то обобщенные силы Яе, Яи, ~)е равны нулю.
Уравнения (9) с учетом вьтраженин (8) запишутся в аиде (10) тпх = Льй~р, тпЯ = — Л, (11) т. е. конек движется, равномерно вращаясь вокруг вертикали. Исключив тпеперь величину Л из первых двух уравнений системы (10), получим х + 18 та 1У' = О. Используя уравнение связи (7), исключаем отсюда величину у. Тогда с учетом равенства (11) получим уравнение относительно хт (12) э': -Ь ыо Ь8 иго 1х = О.
Иэ (7), (11) и (12) с учетом начальных условий найдем ио у = — (1 — сое ито1). юо оо х = — е1псио1 ито ' (13) Отсюда следует, что центр масс конька равномерно со скоростью ио движется по окружности радиусом ие,ттао, центр которой ниходится на оси Оу (рнс. 136). Пусть в начальный момент центр масс конька находится в начале координат и конек располозкен вдоль оси Ох, т. е. при 1 = 0 имеем х = О, у = О, ~р = О. Пусть, далее, в начальный момент скорость центра масс равна ио, а угловая скорость конька ще, т.
е. х = ие, р = що. Иэ уравнения связи (7) находим тогда, тто при С = 0 у = О. Третье уравнение, системы (10) при этих начальных условиях дает 298 Глава Х Мнолгитель связи Л можно найти теперь из (13) и второго из уравнений системы (10): Л = — пиоооо созыог. (44) При известной величине Л можно найти реакцию ль связи. Для ее проекций Ль, В из (10), (11) получаем выражения О х гья = Л1бюог, Рис. 136 Подставив в них значение Л из формулы (14), получим Ль = — пиво по з1пхог.
Пх —— тсооио созьзой Реакция В имеет постоянную ввзтчину тропе и направлена к центру окружности, по которой движется центр масс конька. 156. Уравнения Воронца. Система уравнений (1), (О) помимо функций уз (з = 1, 2, ..., т) содержит еще в дополнительных неизвестных множителей связей Лд ()д = 1, 2,, в), Число уравнений в системе (1), (6) равно т+ в = и+ 2в, т. е. превышает число степеней свободы на удвоенное количество неиптегрируемых связей. Большое количество уравнений в системе (1), (6) и наличие в ней множителей связей ведет к значительным сложностям при исследовании движения.
К тому же, когда целью исследования является только нахождение двияьенин, т. е. определение зависимостей уз(1) Ц = 1, 2, ..., гп), вычисление величин Лр, позволяющих найти реакции связей, являетсн совершенно излишней процедурой. Для пеголономпых систем со связями (1) П.В.Воронец получил уравнения, которые по форме близки к уравнениям Лагранжа второго рода и свободны от упомянутых недостатков.
Выведем зти уравнения, предполагая, что система склерономна. В случае склерономной системы величины Ьв в уравнениях связей (1) равны нулю, а козффициеиты Ьду не зависит от времени. Среди гп обобщенных скоростей есть и независимых; пусть это будут обобщенные скорости уг, уз, ..., д„. Тогда из (1) находим с).ьь=~~ ояд, (1=1,2,...,в=гп — и), (1ог) где сгы — функции от йь, оз, ..., у 299 Уравнения движения неголономнь»х систем Когда система неголономна, то величины » » ~(~) Оы % ' Оы Ву ч- Ойд А, = ' + лгм»тя» — + ~~, ояг (18) Чд „Ч»»ч и»й Чп-ь»» не могут все одновременно быть тождественно равныьчи нулю».
Урав- нения движения, содержащие множители связей, запишутся в виде — — — — = (с — ~~' )»ис» »1 дт дт ь=» д д »11 дЧ»»ьв дЧп, ь (»' = 1, 2, ..., и), (17) (й = 1, 2, ..., в). Эти уравнения должны рассматриваться совместно с уравнениями связей (1ог) Обозначим О функцию, получаюшуюся в результате исключения при помощи равенств (1б) величин Чпеь (й = 1, 2, ..., л) из выражения для кинетической энергии Т: Т(Ч»» . » Чп»» Ч» ". » Ч»п» ~) — ()(Ч»» Чп» Ч»» . » Чп» 1) Согласно (15), справедливо равенство — = — +~~ .
ара (»=1»2»...»п). дО дТ дТ дЧ» дЧ» ддп Следовательно, »11 дЧ»»1(дЧ» ~-~ ч»11 дЧ дв ~-~ »11 ддп гь' Заменив здесь величины — —,. и —,, на их выражения из уравнед дТ с( дТ »11 дЧ» »11 ддп.ьь ний (17), получим, что члены, содержащие множители связей, взаимно уничтожаются, и равеаство (18) запишется в виде д дО дТ ч дТ ч ч г(с»в» дТ ,((д. = —, д-(г»-~- р аыд + г,гхв»с» ев+ г, Ч»' Ч» Чпеь (19) »Если бы зто было ие тан, та длн всех Ь имели бы место ревеиства д„чл = уь(д», дз,..., д„,), т.
е. система не была бы неголанампай. Действительно, условия А, = О (» 1 = 1, 2, ..., п; Ь = 1, 2, ..., л) суть записанные с учетом ра(ь) »д веиств (15) условия того, что величина дд„ьь = 2, оь»дд» явлнется полным диффе:=1 реиииалол». Глава Х Учитывая, что в соответствии с (15) в и дО дТт~к,' дТ ~,' ла~1 ~1 1 2 ц) дд~ дд~ ддав в дщ из равенства (19) получаем 4 дО дО ~ дТ (~; долл ~+1) +~ дО сИ дд'; дд; дд„ев '1 дщ а/ ' ' ддвв.л ь=~ 1=1 ь=г в 8 дт ( д'.'1'1 с1аы дТ л=1 (20) или — — — — = Ф+,7. оы ~Ма-Н + ) + ддО дО т 1 дО 11дд, ддв * ~- * 1, "' дд„,л) л=з а дд„„„л' 1=1 в=1 (21) Замечая, что выражение, заключенное в квадратные скобки в соотно- шении (21), тождественно равно величине и ~ .4,.
ф (1 = 1, 2, ..., и; й = 1, 2, ..., в), 1=1 Оь = , (й = 1, 2....., л), дд„ьв (22) получаем окончательно уравнения — — — — =в+~ .;~~а...+, ~/+ д дО дО, г дО Й дд; дд( ' * " дд„ел (23) +~~~ Вь ~> Л, ~д (1 =1 2....,п). а=1 1=3 где величины Л, определены равенствами (!6), и вводя для импульсов <л) обозначение ВО1 'З 4. Уравнения двизкеяия яегвлвнвмкых систем Эти уравнении называются уравнениями Воронца.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
