1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 47
Текст из файла (страница 47)
йг~ ), .~е '( ' Из уравнения Цт) = 0 найдем время т торможения вращения тела, а затем по формуле гп = дт вычислим необходимый расход тотшва. В результате получим т / я~со тс.— м тг ГЛАВА Х Дифференциальные уравнения аналитической динамики В 1. Уравнения Лагранжа (второго рода) 137. Общее уравнение динамики в обобщенных координатах. Рассмотрим систему Х материальных точек Р (и = 1, 2, ..., Х). Если система несвободна, то наложенные на нее связи предполагаются удерживающими и идеальными.
Пусть бг„— виртуальное перемещение точки Р, т ." ее масса, ю, . ускорение в ннерциальной системе координат, а Р, равнодействующая всех активных сил, приложенных к точке Р,. Тогда имеет место общое уравнение динамики (п. 57) ~(Р— т ш ) бг„=О. В том случае, когда все илн некоторые нз связей не идеальны, к величинам Р, следует добавить часть С, равнодействующей реакций связей, действующих на точку Р, которая не удовлетворяет условию идеальности. После этого изучаемую систему можно формально рассматривать как систему с идеальными связями. Общео уравнение динамики (1) мы принимаем за исходное при получении основных дифференциальных уравнений аналитической динамики, которым посвящена данная глава.
Фактически все изучаемые ниже уравнении движении материальных систем пвляютсн только различными формами записи уравнения (1), к которым оно приводится при тех или иных предположенинх о характере активных сил, действующих на систему, и о наложенных на нее связях. Пусть на систему наложено г геометрических и з ьипематичесьих неинтегрируемых связей.
Пусть д~, дз, ..., д,„обобщенные координаты системы. Их число т равно Зд' — г. Тогда радиусы-векторы г точек Р относительно начала инерциальной системы координат записываются в виде функций аргументов оы оз, ..., д„о 1 (2) !лава Х ч дг . дг д.з д~ 1=1 о' бг,=~ боб 1= д2 (и = 1, 2, ..., Х), (3) (и=1,2, ...,Х). (4) Запишем общее уравнение динамики (1) в обобщенных координатах. Для элементарной работы активных сил имеем выражение ~ г.
бг. = ~ ~)16 О., (б) где Я,. обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате о1. Она в общем случае является функцией ф, ф и (1=1,2, ..., т). Преобразуем выражение для элементарной работы сил инерции на виртуальном перемещении системы. Пользуясь формулой (4) и меняя порядок суммирования, получаем предварительно (6) 1=! ~и=1 дщ Но Е ".= —,~~. ' .)-~.
т. — — „,,т,т.гЬ вЂ” ~ о~я. и=э з и=э «=1 1 0=1,2, ..., т). Последнее равенство при помощи формул (25) и. 16 можно записать в виде г =1 которые предполагаются дважды непрерывно дифференнируемыми. Ес- ли система сьлерономна, то обобщенные координаты гд, оз, ..., о~ можно выбрать так, чтобы функции г, не зависели от ~. Из (2) получа- ем (см.
п. 16) 269 З1. Уретеепия Лагранжа (второго рода) Если использовать выражение длн кинетической энергии системы то равенство (7) можно переписать в виде т, ' ° '= — —,, — — (у=1,2, ..., т). (8) сБи дто д дТ дТ ' д( дг11 дг дц, дбб Подставив (8) в формулу (6). получим выражение для элементарной работы сил инерции в виде (9) и=1 1=1 Подставим теперь выражения (б) и (9) в соотношение (1) и умножим обе части получившегося равенства на — 1. В результате получим общее уравнение диназеини в обобщеннььх координатах: (1О) 138. Уравнения Лагранжа.
Пусть система голономна. Тогда величины ба (г = 1, 2, ..., гн) независимы и число обобщенных координат равно числу степеней свободы системы (т = и). В силу независимости величин бвд уравнение (10) удовлетворяется тогда и только тогда, когда равны нулю коэффициенты при всех дуг. Поэтому уравнение (10) эквивалентно следующей системе и, уравнений: — — — — = ь)1 (1 = 1, 2, ..., п). ПОТ дТ (11) д1 дс)1 дог Уравнения (11) называются уравненинии Лагрангна второго рода .
Они образуют систему и уравнений второго порядка относительно и функций ае(1). Порндок этой системы равен 2п. Заметим, что зто наименьший возможный порядок дифференциальных уравнений движении рассматриваемой системы, так как начальные значения величин вм а, (г = 1, 2, ..., н) могут быть произвольными. ьуравнения (1ц Ляя краткости мы часта будем называть престо уравнениями Лагранжа. 270 Глава Х Для получения уравнений Лагранжа надо ныразить кинетическую энергию Т системы через обобщенные координаты и скорости, найти обобщенные силы и произвести указанные в (11) дифференцирования функции Т (узч фзь 1) по обобщенным координатам, обобщенным скоростям и времени. Заметим., что форма уравнений Лагранжа не зависит от выбора обобщенных координат уы йз, ..., да.
При другом их выборе изменились бы только функции Т и (го а сама форма уравнений (11) осталась бы той жс. В свнзи с этим говорят, что уравнения Лагранжа второго рода обладают свойством ковариантности. В уравнениях Лагранжа не содержатся реакции идеальных связей. Если же нужно найти реакции связей., то надо после интегрирования уравнений Лагранжа подставить функции ря(1) в выражения (2), и тогда равнодействующан В реакций связей, приложенных к точке Р, найдется из соотношений В, = т,т''„— я' (я, г, 1). Пгимкг 1 (Вглщкник твкгдого тклл вокгьт нкподвижной оси и).
Здесь и = 1. За обобщенную координату примем угол уз поворота тезьа вокруг оси и. Обобщенная сила Цч равняется главному моменту ЛХ„ (а) внешних сил относительно оси и (см. пример 2 и. 54). Кинетическая энергия тела равна Т=-,Т„ф, 1 ° 2 2' где д„— момент инерции тела относительно оси и, Вмеем — = авар, ОТ дф — ' —. =,Г„р', д дТ ас дф Уравнение Лагранлса д дТ дТ ждф др = имеет вид Пгимкг 2 (Увлвнкния движкния сэкгичкского маятника).
Сферический маятник представляет собой материальную точку. ноторпя движется в однородном поле тяжести, оставаясь на сфере постоянного радиуса. Будем считать, что точка имеет массу т и закреплена на одном из концов невесомого стрежня длиной 1; другой конец стержня при помощи шарнира прикреплен к неподвизкной точке О тан, что стержень мозает иметь произвольное направление в прострпнстве (рис. 134). Трением пренебрегаем.
271 2 1. Уравнения Лпгранжп (втппрпго родп) Сферический маятник имеет две степени свободы. За обобщенные координате! примем су!ерические координаты !р, В точки т. Так как расстояние точки т до начала координат постоянно и равно 1, то, согласно формуле (30) и.
9, для кинетической энергии ил!еем выраже- ние Т = — т12(02+ яп Вфг). (12) Для нахолгдения обобщенной силы О„, дадим х точке виртуальное перемещение по параллели. Тогда дА, = О и, следовательно, О„= О. ЧтоРнс. 134 бь! найти обобщенную силу ф>, дадим точке виртуальное перемещение по меридиану. Тогда бАв = тдяпВ 160 = ьгвдВ.
Отсюда Яп = ту1еьнВ. Лля координат В и ьо (после деления обеих частей уравнений Лагранжа на постоянные множшпели) получаем такие уравнения: — (япг В!р) = О. (13) а!  — ыпусоедр — — япВ =О, Г 139. Анализ выражения для кинетической энергии. Рассмотрим структуру выражения длн кинетической энергии системы, записанной через обоб!ценные координаты и скорости. Используя формулу (3), кинетическую энергию можно представить в виде 2 1 2 1 дг дь» (14) а,ьугь)ь + ~ а 1)1 + ао, 1=! где введены обозначения Х Ю агь= г.т»д О, а!= г т, °, ое= — г т»~ »=1 Чд Уь »=1 »=! (13) Величины а:ь, а, ав — фУнкпии от 01, 92, ..., Ут, й Формула (14) показывает, что кинетическая энергия является многочленом второй степени относительно обобщенных скоростей и представима в виде (111) т = Т2 + Т1 + тс, 272 !лава Х где 1 % Тз — — — ~ а Ы)дды Тг — — ~~> пуд., То — — ао.
2 .Е В случае склерономной системы дг 7В1 = О (и = 1, 2, ..., Х) и из (15) следует, что а; = О, ао = О (»' = 1, 2,, т). Поэтому 1 ч Т=Тз= — р аьдды 2 зла=1 (17) т. е. кинетическая энергия склерономной системы нвляется квадратичной формой обобщенных скоростей, причем коэффициенты аеа в (17) не зависят явно от времени. Покажем, что квадратичная форма Т, является невырожденной. Это означает, что определитель, составленный из ее коэффициентов, отличен от нуля при любых ды дз, ..., дко г: ЙМ !)а ь!).„, ~ О. (18) В самом деле, из того, что квадратичная форма Тз может быть записана в виде г Тз= 2 ~~ Иь ~~ . д1 «=~ у=~ ддд (19) д.*;=О (и=1, 2, ..., Х).
1=1 В скалярной форме эти векторные равенства запишутсл в виде П4 С д,'. "=О, ~ ~ одд (20) т 1=1 (и = 1. 2, ..., Х). ° ~ Вкг Вдх сразу следует, что она неотрицательна: Тз ) О. Докажем теперь, что она может обратиться в нуль только тогда, когда все дд (1' = 1, 2, ..., т) равны нулю. Допустим, что это не так, т. е. что Тз может равняться нулю прн некоторых значениях обобщенных скоростей д*, дз, ..., д*, среди которых есть отличные от нуля.
Тогда каждое выражение, заключенное в скобки в формуле (19), должно обратиться в нуль, т. е. 273 Уравнения Лагранжа (егпорого рода) Комментлгнй 1. В качестве примера рассмотрим движение твердого тела вокруг пеподвизкггой точки О. Пусть А, В, С вЂ” главные моментьг инерции, а р, д, г — проекции угловой скорости тела на его главные оси инерции для точки О. Кинелгическая энергия тела вычисляется по формуле Т вЂ” — (Ар + Вд +Сг ). (21) П качестве обобщетгьгх координат примем углы Эйлера пц й, гр, вводи- мые обычн м образом (п. 19). Найдем величину Т при значении угла д, равном 0 или к. Использовав кинематические уравнения Эйлера (и. 36), получим иэ (21) Т 1 ~(А сове р+ Ийпз гр)дг + С(ф ~ ьгг)з~., (22) где знаки тгюс и минус отвечают значениям д, равным 0 и к соответственно. Опредезгитезгь коадратичной формьг (22) равен нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
