1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Появление гравитационного момента можно пояснить очень простым примером. Пусть две точки 1'г и Рз одинаковых масс соединены жестким стержнем пренебрежимо малой массы. Пусть О середина стерж- Рис. 127 ня (центр масс точек Рт и Рз), а О, притягивающий центр (рис. 127). Пусть О„Р» > О„Р», тогда если Ьт — плечо силы Ры в Ьз плечо силы Ез относительно точки О, то из сравнения площадей треугольников О„Р»О и О,РзО получим Отсюда и из неравенства Рз > Ры справедливого при О„Р» > О,Рз, следует, что РзЬ» > Е»Ьы Таким образом, появляется момент, стремящийся расположить стерягень 1',Рт вдоль прямой О,О.
В обычных «земных» условиях гравитационные моменты малы по сравнению с другими воздействиями. В задачах же небесной механики Мы предполагаем, что Земля представляет собой либо однородный, либо неоднородный пжр, в каждой точке катарога плотность аависит только ат расстаннии этой точки до центра шара.
Можно показатьч что в этом случае гравитационное пале Земли такое же. какое создавалось бы материальной тачкой, обладакппей массой Земли и памешенной в ее геометрическом центре. 246 Раааа У111 они часто играют решающую роль. Например, движение Луны относительно центра масс почти полностью определяется гравитационными моментами, обусловленными притяжением Земли. ьО. Рис. 129 Рис. 128 Рассмотрим задачу о движении свободного твердого тела в центральном ньютоновском гравитационном поле. В соответствии с п. 108 для полученил дифференциальных уравнений движения нужно знать главный вектор сил тяготения и их гравитационный момент относительно центра масс тела.
Пусть ОХУУ вЂ” система координат с началом в центре масс тела и осью ОЯ., направленной по прямой, соединяющей притягивающий центр О„и центр масс О тела (рис. 128). Ось ОУ направлена по бинормали к траектории центра масс в ту сторону, откуда его движение видно совершающимся против часовой стрелки, ось ОХ дополняет оси ОУ и ОЯ до правой прямоугольной системы координат. Систему координат ОХУХ обычно называют орбитальной. Пусть  — радиус-вектор центра масс тела относительно притягивающего центра, а г радиус-вектор выделенного в теле малого элемента массой йп (рис. 129).
Сила притяжения элемента с1гп определяется по формуле 1гХ дт, „ гз где 2 универсальная гравитационная постоянная, а ЛХ вЂ” масса при- 247 2 М. Детнение твердого тела в граеитационнолг поле тягивающего центра О,. Главный вектор К сил притяжения тела получается нз (1) путем интегрирования по всему объему тела. Произведем вычисления, считая линейные размеры тела много меныпими расстояния от центра масс тела до притягивающего центра. Это предположение вполне нриемлемо для естественных и искусственных спутников планет.
Пусть р — радиус-вектор элемента г1т, а Х, У, Я вЂ” его компоненты в орбитальной системе координат. Тогда г = Л+р, г = В 1 ь 2 —" + —. гб Р Д Нз' (2) Если пренебречь величинами порядка (рг'11)2 и выше, то из (2) получим разложение величины 1)гз в ряд Тейлора в виде (3) Теперь надо величину г из (2) и величину 12'гз из (3) подставить в формулу (1) и произвести интегрирование по всему объему тела. При этом следует учесть, что так как центр масс тела находится в начале ноординат, то Х йп = / У <1гв = / Я Ют = О. Произведя интегрирование, получим, что с упомянутой точностью главный вектор сил тяготения задается формулой Мт 11 — Т 22 где т масса тела.
Отсюда следует, что если пренебречь величинами порядка (р/Л)2 и выше, то размеры тела не влияют на величину и направление главного вектора сил тяготения. Следовательно, в рассматриваемом приближении можно считать., что центр масс движется по коническому сечению. Это движение подробно изучено в предыдущем параг рафе. Найдем теперь гравитационный момент. Пусть Огуз система координат, жестко связанная с твердым телом; ее оси направлены по главным центральным осям инерции тела (рис. 129). Ориентацию твердого тела относительно орбитальной системы координат будем определять при помощи углов Эйлера цл д, ео, Элементы и„: матрицы перехода от системы координат Окуз к системе ОХ1 7 выражаются через углы Эйлера по формулам (3) и. 19.
248 Глава ЕИ1 На основании формулы (1) для главного момента Мо сил тяготения относительно центра масс получаем вырагкение Мо = / р х ЙР = — уМ~ Йгв, 7рхг / гз (4) где интегрирование производится по всему объему тела. Вычисление интеграла (4) проведем, используя систему координат Охдг. В этой системе Р = хг + дз + гй, о = Л(азгг + иззу + иззу), (б) г = Л Ч- р = (х+ Визг)з + (д+ Визг)г + (г + Яазз)й, (6) р х г. = Л((дазз — визг)г + (гам — хоза)1'+ (тазг — дазг)И~. (7) — = — ~1 — — (хам ч- дазг -> гизз) 8 з 11з ~ Д (8) С той же точностью из (7) и (8) получаем рхг = — ~1 — — (тазг + дазг + газз) ((дазз — газг) з+ гл Л' 11 > ' (9) +(газг — хазз)3 + (хазг — Чазг)К.
11одставим это выражение в формулу (4) и произведем интегрирова- ние. Так как оси Ох, Од, Ог являются главными центральными осями инерции тела, то выполннются равенства хдпг= /дйп= /вот=0, хдсЬп= /хгг1т= /дгв1т=0. (10) !1роизведя интегрирование и учтя равенства (10), получим Мо = з ( ((д — г )азгаззг'+ (г — х )аззазгд+ 87М г г г г л' / (11) +(х' — д )азгазгй)4т. Если в разложении величины 1)гз в ряд Тейлора пренебречь величина- ми порядка (Р/В)г и выше, то получим 249 З Я.
Движение твердого тело в гравитационном поле Замечая, что (уг — гг)гамп = С вЂ” В, (гг — тг)гу>и = А — С, (я — у )г1га =  — А, ЛХ* = (С вЂ” В) азгазз. йуМ Лз 32ЛХ Ми = (А — С)аззазм и Лз (12) ЛХл = — ( — А)азгазг. Лз Отметим, что выражения (12) являются приближенными. В них отброшены величины, порядок которых не ниже (ру'Л) . 126. Уравнения движения тела относительно центра масс. )(ля получения уравнений движения тела относительно центра масс используем динамические уравнения Эйлера А — + (С вЂ” В)дг = ̄ — + (А — С)гр = М„, гур гЬу (12) С вЂ” '" + ( — А)рд = М,.
Величины Мн, Ми, М, вычисляются по формулам (12), в которых величина Л имеет вид Л= Р 1+ е соя и' (14) где р' и е — параметр и эксцептриситет орбиты, и — истинная аномалия, представляющая собой угол между радиусом-вектором Л центра масс тела и линией, проходящей через притягивающий центр О, и перицентр орбиты. Согласно и, 122, величина и удовлетворяет уравнению — = — (1 + е соя и) ей чуй г Аз,зуг Р (1б) Так как масса тела га много меньше массы притягивающего центра, то можно считать, что й = уЛХ. где А, В и С вЂ” моменты инерции тела относительно осей Ож, Оу и Ог соответственно, получаем из (11) такие выражения для проекций Ми, Мн, М, гравитационного момента на оси От, Оу, Ог связанной с телом системы координат: 260 Глава У111 Выразим проекции р, о, г абсолютной угловой скорости тела на оси Оа, Од, Оз через углы Эйлера, их производные и угловую скорость (15) движения центра масс по орбите.
)1ля этого заметим, что твердое тело участвует в сложном движении: оно вращается относительно орбитальной системы координат ОХУл', а орбитальнан система координат за счет движения центра масс, по орбите вращается вокруг оси ОУ. Проекции угловой скорости первого из указанных вращений получаются из кинематических уравнений Эйлера, а угловая скорость второго вращения направлена по оси ОУ и равна й. Поэтому р = фа!яд яву + д сову -ь йагг д = ув!пдсову — дяпу+ йагг, р = ф сов д+ у+ йагзг (16) — (1+ ссовгл), лг (! г) г1г -131 (1+ есови)~, дз (! г)з где постоннная я есть среднее цвижение центра масс.
и = з(~М/гл~1~: на круговой орбите (е = О) и будет угловой скоростью вращения радиуса- вектора В. 127. Относительное равновесие твердого тела на круговой орбите. Если центр масс тела движется по круговой орбите, то существуют движения, отвечающие положениям относительного равновесия. Относительным равновесием тела мы называем такое его двигкенне, когда оно покоится в орбитальной системе координат, т. е. для таких где величины ан определены равенствами (3) и.
19. Система семи уравнений (13), (15) и (16) с учетом равенств (12), (14) и формул (3) п. 19 является замкнутой системой дифференциальных уравнений., описывающей движение твердого тела относительно центра масс. Эти уравнения или их модификации широко используются при изучении движения искусственных спутников Земли.
Если в (13) н (16), использовав (13), ввести вместо времени 1 новую независимую переменную истиннувз аномалию гг, то получим систему, состоящую из шести уравнений первого порядка. Если затем величины р, о. г из (16) подставить в (13), то придем к трем уравнениям второго порядка относительно углов Эйлера у, д, у. Отметим еще, что если орбита центра масс эллиптическая и ив большая полуось орбиты, то согласно и. 120-122 231 'З' е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
