1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Материальные точки при своем движении могут входить в область пространства, ограниченную поверхностью Я, и могут выходить из нее. Обозначим С систему переменного состава, образованную материальными точками, паходлщимисл внутри поверхности Я. Количество движения рассматриваемой системы обозначим Ц. Зафиксируем момент времени 1 = Р и обозначим С* систему постоннного состава, образованную теми и только теми материальными точками, которые в момент Р заполняли объем, ограниченный поверхностью Я. Количество движения системы С' обозначим Ц*.
Так как при 1 = Р системы С и С* совпадают, то в этот момент В момент времени 1с = Р+ Ь1 количества движения систем С и С* будут иметь соответственно значения 1;2-1-2лО и Я*+ ЬЯ'. На рис. 131 сплошной линией показано положение поверхности Я в момент 1", а штриховой — полол1ение поверхности, ограничнвакзщей объем, заполненный в тот же момент 1" теми материальными точками, которые образуют систему С'. Очевидно, что 9 + сл9 — ЧС + сльг сл91 + сльг2~ 12) где ЬЦ1 — сумма количеств движении в момент 1" тех материальных точек, которые за времн Сь| вышли нз объема, ограниченного поверхностью Я, а слЦ2 сумма количеств движения в момент Рч точек, 256 Глава ГХ вошедших за время Ы в объем, ограниченный втой поверхностью.
На рис. 131 зти точки заполнянгг соответственно обьемы Сз и Сз. Из (1) и (2) получаем (3ьг ~3ьг* '3(в)1 ) (392 (3) Пусть )ь(в) — главный вектор внешних сил, приложеннодх к системе С (а следовательно, и к системе С') в момент времени г'. Поскольку система С' явллетсл системой постоянного состава, то к ней применима теорема об изменении количества движения, т. е. П(в) Ж Рис. 1:)) (4) Разделив обе части равенства (3) на Ы и перейди к пределу при Ы вЂ” з О, получим с, учетом равенства (4) — Н(в) Ь Р Яв( г)1 (5) гдеГ=Х~+Рана Рз = — Ппз, Кз = 11ш ЬФ . 3Ф (6) ы- о ЬГ г1Х ( (в) (Р) щ А А (7) Векторные величины Рз и Рз имеют размерность силы.
Условимся называть эти величины реакьзивныжи силами. Реактивная сила Рз возникает за счет отделения материальных точек от рассматриваемой системы, а Рз — за счет присоединения точек. Таким образом. теорема об изменении количества движения системы переменного состава выглядит так же,как и в случае систем постоянного состава; надо только в число внешних сил системы включить еше добавочную (реактивную) силу Р = Рз + Рз. 131. Теорема об изменении кинетического момента. Пусть А ..- неподвижная точка в инерциальной системе координат Г)хрв, М ' — главный момент внешних сил и Хл — кинетический момент (в) А системы С относительно точки А.
Совершенно аналогично п. 130 можно показать, что '2 Л. Деилсекие материальной точки переменного состава 2б7 где ЛХл — — ЛХ1 + Млз — дополнительный момент, возникающий за )р) би) би) счет того, что система С является системой переменного состава: <р) . ДКл1 = — 1цп Лг О М1р) 1 ттлз л' лс-. о Д1 Здесь ДКл1 — сумма моментов количеств движения при 1 = 1о тех материальных точек, которые за время Д1 вышли из объема, ограни- ченного поверхностью Я, а Дала — аналогичная величина для точек, вошедших внутрь поверхности Я. З 2.
Движение материальной точки переменного состава Д ьс1 — ДМ1 и1 Д ьсз — ДЛХ2 и и, следовательно, согласно формулам (6) п. 130, е 1 — 111 л' 2 — н2 ° с)М1 ИМ2 с)1 ь)1 (1) Здесь, как и в и. 129, М1(А) н М2(1) представляют собой суммарную массу всех частиц, отделившихся от точки Р и, соответственно, присоединившихся к ней за время 1, прошедшее от момента 1 = О, когда масса точки Р была равна Ме.
Пусть о -- абсолютная скорость точки Р. Тогда ее количество движения вычисляется по формуле (2) 132. Дифференциальное уравнение движения. Пусть материальная точка Р переменного состава движется относительно инерциальиой системы отсчета Ожрл. Масса точки Р изменяется со временем вследствие одновременного отделения и присоединения к ней малых частиц материи, размерами которых можно пренебречь. Пусть 221 .
абсолютная скорость (скорость относительно Ождз) частицы, которая отделяется от точки Р в момент времени 1', а из абсолютная скорость частицы, которая присоединяется к Р в этот момент. Пусть ДМ1 и ДМ2 — соответственно массы отделяющейся и присоединяюьцейся частиц. Тогда, применяя обозначения предыдущего пункта, имеем следующие равенства, справедливые с точностью до членов первого порядка малости включительно относительно Д1 и ДМь (1 = 1, 2): 258 Глава 1Х Подставив (1) и (2) в уравнение (5) и.
130. получим дМ де дМ1 дм е+ М вЂ” „=  — и1+ газ, где лс — равнодействующая сил, приложенных к точке Р. Используя соотношение М = Мв — М1 + Мз, это равенство моя1но переписать в ниде дМ1 дМ2 де ПМ, дМ2 — е+ и+М вЂ” = л — и1+ и2. й й й ™ й й Перенеся первые два слагаемых левой части в правую часть равенства, окончательно получим (и1 Е) т (и2 Е).
дМ1 11М2 й й й (3) Мде — и+ дМи й й (4) Уравнение (4) называется уравпеннем Мещерского. Из него видно, что эффект отделения частиц эквивалентен действию на точку Р добавочной силы Х1 — — ' и,„(называемой реактивной силой). Аналогично ПМ й можно рассмотреть и эффект присоединения частиц к точке Р.
Реактивная сила численно равна произведению величины ЫМ11й (называемой секундные расходол1 л1ассы) на относительную скорость отделения (или присоединения) частиц к точке переменного состава Р. В случае отделения частиц реактивная сила направлена противоположно вектору и1„ относительной скорости отделяющихся частиц, а в случае присоединения частиц реактивнан сила и относительная скорость иг, имеют одинаковые направления. Пусть имеет место только отделение частиц от точки Р переменного состава. Если абсолютная скорость и1 отделяющихся частиц равна нулю, то уравнение Мещерского (4) примет вид Уравнение (3) является дифференциальным уравнением движения точки переменного состава и называется обобщенн лг уравнением Мещерского.
Отметим, что и1 — е = и1, — скорость отделяющихся частиц относительно точки Р. Аналогично из — е = иг, — скорость присоединнюшихся частиц относительно точки Р. Пусть имеет место только отделение частиц. Тогда М2 = О, М(1) = Мо — М1(1) и ИМ(д41 = — дМ1)йг. В этом случае уравнение (3) принимает вид 1 е. движение материальной тонни переменного состава 259 или с1(Ма) сЫ т. е. если абсолютная скорость отделяющихся частиц равна нулю, то производнан по времени от количества движении точки Р переменного состава ранна равнодействующей приложенных к ней сил. Если же относительная скорость ць„отделщощихся частиц равна пулю, то из (4) получаем (5) где и„ вЂ” относительная скорость отделения продуктов сгорания топлива.
Будем считать, что скорость ы„ постоянна и имеет направление, противоположное скорости е ракеты. Тогда ракета будет двигаться по прямой линии, имеющей направление вектора а. Примем эту прямую за ось От (рис. 132). Проектируя обе части равенства (5) на ось От, получаем с1М аьс Ю (6) где и, — величина относительной скорости и„.
Полагая, что при 1 = О масса ракеты равна Мо, а ее скорость равна ео, и интегрируя (6), по- лучаем е(1) = оо + и,, 1п Мо М(ь) т. е. если относительная скорость отделяющихся частиц равна нулю, то уравнение движения точки Р переменного состава записывается формально в том же виде, что и уравнения движения точки постоннного состава. 133. Движение ракеты вне поля сил.
Пусть точка Р переменного состава движется в безвоздушном пространстве вне полн сил. Движение точки моделирует, например, движение ракеты в космическом пространстве, если ракету принять за точку и пренебречь силами сопротивления космической среды, гравитационным притяжением, силами светового давления и т. и. Тогда В = О и из равенства (4) получаем векторное уравнение движения ракеты 260 Глава 1Х Отсюда видно, что скорость ракеты х и в данный момент времени зависит от от- Р ношения начальной массы к текущему ее значению. Пусть Мт — начальная масса топлива, в Мк — конечнан масса ракеты после того, как израсходовано все топливо (т.
е, масса корпуса ракеты, полезных грузов и оборудования). Тогда Мо = Мк -ь Мт, и для скорости ракеты, Рис. 132 которую она приобретет в конце процесса сгорания топлива, получаем из (7) следующее выражение, называемое у1орлулой Ццолковскоги ок = оо + ив 1н 1 + Мт 1 Иэ этой формулы следует, что предельная скорость ракеты як зависит только от относительного запаса топлива и относительной скорости истечения продуктов его сгорания. От закона изменения массы ракеты (режима работы двигателя) предельная скорость ракеты пе зависит; если задано отношение Мт/Мк = У (называемое числом Циолковского), то предельная скорость буцет вполне определенной независимо от того, быстро или медленно происходило сгорание топлива.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
