1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Следовательно, при значениях В, близких 0 или и, вводимые обычным образом углы Эйлера неудобньг для описания дв женин тела. Этот факт улсе отмечался в и. 19. 140. Разрешимость уравнений Лагранжа относительно обобщеных ускорений. Используя структуру (16) выражения кинетической энергии, уравнения Лагранже (11) можно представить в виде с аыдь = йт (г = 1, 2...., и), (23) ь=г Равеггства (20) показывают, что столбцы матрицы (22) и.
14 линейно зависимы, т. е. ранг этой матрицы меныпе т. Согласно п. 14, это невозможно, если величины дг, цз, ..., ут являются обобщенными координатами. Таким образом, квадратичная форма Тз определенно-положительна. Из критерия Сильвестра тогла следует, что определитель, составленный из ее коэффициентов, положителен. Следовательно, справедливо неравенство (18). ЗАмЕчАниЕ 1, Если при дагигом выборе обобщенных координат цг, цз, ..., ц для некоторых положений систелгы неравенство (18) не выпозгняется.
то это означает, что при исследовании движения системы вблизи этих положений величины дг, дг, ..., цы в качестве обобщенных координат малопригодны. В окрестности таких пололсений системы целесообразно вводить другие оообщепные координаты. Глава Х где функции Л1 пе зависят от обобщенных ускорений. Из предыдущего пункта следует, что определитель линейной относительно у1 системы уравнений (23) отличен от нуля, поэтому она разрешима и имеет единственное решение (24) В=С(йь Чь 1) Как известно из теории дифференциальных уравнений, при некоторых ограничениях на С; (например, при существовании непрерывных частных производных у функций С„которое в механике всегда предполагается) система уравнений (24) имеет единственное решение при произвольных начальных данных: рд = ус, 1)1 = овсы при 1 = 1о (1 = 1, 3, ..., и). Таким образом.
уравнения Лагранжа удовлетворнют условию детерминированности движения (см. и. 45). 141. Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил. Функция Лагранжа. Пусть обобщенные силы ф вычисляются по формулам ь)1 = — —, (1 = 1, 2, ..., п), г) у1 где потенциал (потенпиальнан знергия) П есть функция у1, дг,..., ув, й Уравнения Лагранжа (11) в случае потенциальных сил имеют вид — — — — — — (1=1,2,...,п).
д дТ ОТ дП дГ ду1 дд, = дул Положим л. = Т вЂ” П, тогда зги уравнения примут вид — — — — = 0 (1 = 1, 2, ..., и). д дТ дТ (25) дул Функция Т называется функцией Лагранжа (лагра1 жианомв кинетическим потенциалом). Используя выражение (16), функцию Лагранжа можно представить в виде многочлена второй степени относительно обобщенных скоростей (26) л' — .~'1 + ~2 + л.с: где Хз = Тг.
Х1 = Т1, Ьо = То — П. (27) ЗАмечАние 2. Для получения дифференциальных уравнений движения (25) голономной системы в потенциа21ьном поле сил надо знать только одну функцию — функцию Лагранжа 7,. Уравнения Лагранжа не З 1. Уравнения Лпгрпнжп (етпрпгп родо) изменятся, если к функции П добавить пешую производную по времени от произвольной дважды непрерывно дифференцируемой функции 1" от обобценных координат и времени: гч" ч дз .
дз" д1 ~ ° дЧ; ' д1' В самом деле, из последнего равенство имеем следующие два соотноше- нияг д ~4'~ " дзХ дз~ дуч [, ~й/ ~-~ дцьдугЧь дбдцг Правые части этих равенств одинаковы, так как )' дважды непрерывно дифференцируема, и поэтому возможно изменение порядка ее дифференцирования по (Ч;, Чь, Ф). Поэтому если в (25) вместо П подстадф д/ПЮ д ИУ') вить П + —, то величины — —.— и — — взаимно уничто- гМ' а 1,ПЧга) ПЧг ~,а( жатся, и уравнения Лагранжа останутся неизменными. 142. Теорема об изменении полной механической энергии голономной системы. Пусть помимо потенциальных сил к системе приложены также некоторые ненотенцивльные силы.
Часть обобщенных сил, соответствующую непотенцивльным силам, обозначим через ц),'. Тогда Щ = — — + Цг (г = 1, 2, ..., и), дП ПЧг и уравнения Лагранжа (11) примут вид — — — — = — — +1),* (1=1, 2, ..., п). (28) Найдем производную по времени от кинетической энергии Т(Чю Чы ~). Имеем (29) д4 */ ~- ~йдг), дгй! * д,. ;=1 276 Глава Х вЂ” х;=й7", д7" дх; ' в=1 Применяя эту теорему к функпин (16), получаем ~ — ьцг =2Тз+Т,.
ЭТ дф в=1 Используя еще уравнения (28), запишем равенство (29) в виде — = — (2Тз + Т| ) + ~~ —,дг — ~~ 1,1; ог + —, йТ и' ЭП * дТ вй йй или — = — (2Тэ + 2Т1 + 2То) — — (Тэ + 2То) + оТ и' вВ йг ог оП ЭП ч * 'дТ + — — —,— э 9 ог+ —. Й дв ' дв '1'ак как 2Тг + 2Т1 + 2То = 2Т, то отсюда вытекает следующее выра- жение для производной по времени от полной механической энергии системы Е = Т+ П: — = № + — (Тг + 2То) + —, оЕ * о ЭП ЭТ ог ог дг дг ' (30) где (31) в=1 Величина № называется мощностью непотенциальпь~х сил.
Формула (30) выражает гпеорему об иэлвепепии полной льехапичесной энергии голонолвной систелвы. Рассмотрим некоторые ее частные случаи. 1. Пусть система склерономна. Тогда Тг — — О, То — — О, дТ/д1 = 0 и йЕ ~*+ ЭП Й дв' (32) Далее воспользуемсн выражением (16) н теорелвой Эйлера об однородных функциях. Согласно этой теореме, длн однородной функПии )(хм хз, ..., лвь) Ьй степени справедливо равенство "З А Уравнения г7аграннеа (второго рода) 277 2. Пусть система склсрономна и потенциал не зависит явно от времени. В этом случае ПП/де = О и из (32) получаем 11Е ~-* Й (33) 3.
Пусть система удовлетворяет следующим требованиям: а) она скаерономна., б) все силы системы потенциальны, в) потенциаа пе зависит явно от времени. Система, удовлетворяющая этим трем условиям, называется консервативной. Для нее — =О, е(г (34) Е = Т+ П = 6 = сонэк 143. Гироскопические силы. Непотенциальные силы называютсн гироекопичвекияги, если их мощность равна нулю. Из равенства (33) следует, что для склерономной системы, у которой потенциал П не зависит явно от времени, интеграл энергии существует и при наличии гироскопических сил. Пусть непотенциальные силы линейны относительно обобщенных скоростей Щ = ~71ье)ь (1 = 1, 2, ..., и). Ь=1 МатРицУ, составленнУю из коэффиционтов 711о считаем кососиммстРической, т. е. 71ь = — ты (1 = 1, 2, ..., и). Тогда силы Я гироскопические, а кососиммстричность матрицы коэффициентов 71ь является необходимым и достаточным условием гироскопичности сил 17;.
В самом деле, замечая, что у кососимметрической матрицы диагональные элементы 7н (1 = 1, 2,..., я) всегда равны нулю, получаем Дг" = ,'г, 1)~цг = ~ Ъючь = О Прежде чем переходить к рассмотрению примеров, обратим внимание на следующее. Имеет место равенство т. е. полная механическая энергия консервативной системы не изменя- ется при движении системы; имеет место интеграл энергии !'лава Х Замечая, что и что в случае склерономной системы дг„/дг = О, получаем отсюда Поэтому в случае склерономной системы равенство «1'* = О выральает условие гироскопичности Х'* е =О э=1 непотенциальных сил Р', приложенных к точкам материальной систе- мы.
ПРимкР 1. Покажем, что силы, приложенные к вращающемуся гироскопу и обеспечивающие его регулярную прецессию, являются гироскопическими (отсюда и происходит термин «гироскопические силыв). Пусть 0 — пеподвизкная точка гироскопа, ьо1 — его угловая скорость собстоенного вращения, а ыз ." угловая скорость прецессии. Согласно п.
106, главный момент Мо сил, приложенных к гироскопу, вычис яется по формуле Мо = ь«г х ы, ~С+ (С вЂ” А) — согде~, ыз ыз где С и А — моменты инерции гироскопа (относительно оси симметрии и относительно перпендикулярной ей главной оси, проходящей через неподвижную точку 0 гироскопа), до -- постоянное значение угла нутации. Для элементарной работы сил, приложенных к гироскопу (являющемуся склерономной системой), имеем такое выражение: 6А = Мо ьз йа = Мю ° ьоь да+ Мгз ыз йа = О.
Таким образом, силы, обеспечивающие регулярную прецессию гироскопа, имеют мощность, равную нулю, и, следовательно, являются гироскопическими. ПРИМНР 2. Кориолисовы силы инерции в склерономной системе являются гироскопическими. В самом деле, пусть т — масса точки Р, о — ее скорость в неинерциальной системе координат, а ьз угловая з 1. уравнении Лагранжи (второго рода) 279 скоросгпь вращения этой системы координат относительно некоторой инерциальной системы координат.
Тогда кориолисова сила инерции уус для точки Р вычисляется по формуле укс = — 2т„(ы х в„). бА = ~~ М У с ' Оге = ~~' .Ьс ' йр и=1 М 2„, в„ йб = — 2 ~~~ т (го х о ) в„ М. Следовательно, мощность кориолисовых сшг инерции равна нулю и они являются гироскопическими. 144. Днсснпатнвные силы. Функция Рэлея. Непотенциальные силы называются диссипативными, если их мощность отрицательна или равна нулю (№ ( О, причем № К: О).
Из равенства (33) следует, что для склеропомпой системы, у которой потенциал П не зависит явно от времени. при наличии диссипативных сил — (О, гД т. е. полная механическан энергия системы убывает во время движения. Саму систему в этом случае называют диссипативной'. Иногда говорят, что происходит рассеивание, или диссипация, энергии. Отсюда и возник термин «диссипативные силыщ Если мощность диссипативных сил № будет определенно-отрицательной функцией обобщенных скоростей дг (т = 1, 2, ..., и) г, то диссипацип называется полной. Если же № — знакопостоннная отрицательная функцинз, то диссипацин называется неполной или частичной.
Пусть задана положительная квадратичная форма Н = — ~ ~ггьцгг)ь 2 х., ць=г (й; = ь ;), Это слкечеет, что при ~д;~ < г П = 1, 2, ..., и), где г достаточно мелле пележителькее числе, № < О, причем № ебрещеетсл е нуль тольке тегде, кегде лсе обобщенные скорости реалы кулю. гте есть е окрестности ~ай < г П = 1, 2, .... и) при сколь угодно малом г справедливо неравенство № < О и № может обращаться и нуль не только тогда, кегде псе«1=ОП=1, 2, ..., и). 27ггя склерономной системы действительное перемещение дг является одним из виртуальных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
