1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Поэтому для элелгентарной работы кориолисо- вых си г инерции имеем выражение 280 Глава Х такая, что непотенциальные силы Щ задаются соотношенинми Ж= — дЛ= — У Ь;Чь 0=1,2,...,н). (35) Рй Тогда для склерономной системы мощность Х* непотенциальных сил равна Г; о = ~ Ц,*д; = — 2Л < О. (36) т. е. скорость убывания полной механической энергии системы равна удвоенной функции Рэлея. В качестве примера рассмотрим склерономную систему, к каждой точке которой приложена сила сопротивления, пропорциопальнан скорости этой точки: (37) Р,= — /со„(и=1, 2, ..., Х), где Й > О. Мощность этих сил будет равна ж Ж* = ~~~ Г„о = — 2Н, где я 2 (38) г =з 145.
Обобщенный потенциал. Пусть существует функция г' от обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени такая, что обобщенные силы Щ определнются по формулам — — — — (1=1,2, ..., и). д дг' ЛИ 41 дф дд; (39) Тогда функция И называется обобщенныж потенциалоль Функция Л называетсн диссияатианоб функцией Рэлея. Из (33) и (36) следует, что в случае склерономной системы с потенциалом, не завися- щим явно от времени, — = — 2Л, гй З П уравнения Лагранжа (второго рода) 281 ог1 О =~~,, н, 'Ь+Л Ф Чь где функции Д пе зависят от обобщенных ускорений.
Но в теоретичес- кой механике обычно рассматриваются только такие силы, которые не зависят от ускорений. Поэтому обобщенный потенциал Е должен быть линейной функцией от обобщенных скоростей: 1' =рь+1'о; 1'г =~~ А;В, (40) где Ив А; (1 = 1, 2, ..., в) .--. функции обобщенных координат и времени. Из (39) и (40) находим выражение для обобщенных сил: ЛАе () 1 ~6 дпг Про ПАе ~- (ПАг ПА,') . (41) Если дА;/дг = 0 (1 = 1, 2, ..., в), т. е.
линейная часть Ф~ обобщенного потенциала не зависит нино от времени, то обобщенные силы складываются из потенциальных сил — ПУе/дуг (1 = 1, 2, ..., и) и гироскопических сил Яг = 'р "~,ье)ь (1 = 1, 2, ..., и), я=з (42) где дА; дАя 'Г ь = — 'узи = — — — (г = 1, 2, ..., я).
(43) дф, до Если к тому же система склерономпа и часть Ц обобщенного потенци- ала не зависит от времени, то, согласно и. 143, при движении системы величина Т+ 1го остается постоннной (однако Т + 1 ф сопз1). Если положить 1 = Т вЂ” У, то уравнения Лаграюка (11) запишутся в той же форме (23), какую они имели в случае обычного потенциала сил. Из (39) следует, что 282 Глава Х Отметим, что в случае существования обобщенного потенциала функция Лагранжа лвллетсп многочлецом второй степени относительно обобщенных скоростей и представима в виде П = Вз -~- 11 -Ь Го, где Вз = Тз 11 = Т~ — 1ы Во = То — го.
Квадратичная часть функции Ь совпадает с квадратичной частью кинетической энергии, и уравнении Лагранжа, как и в случае существовании обычного потенциала П, разрешимы относительно обобщенных ускорений. Упгкжнвнин 1. Показать, что сумма переносных и кориолисовых сил инерции всех точек системы всегда имеет обобщенный потенциал. 146. О составлении уравнений Лагранжа для описания движения в неинерцнальной системе отсчета.
При получении уравнений движении системы относительно неинерциальной системы координат можно применять различные способы. Укажем два из них. Первый способ не связан с теорией относительного движении. Здесь задача формулируется без введении сил инерции. Кинетическая энергии абсолютного движения системы выражается через относительные обобщенные координаты и относительные скорости точек системы. Обобщенные силы вычисляются обычным способом (длп заданных активных сил).
В этом способе силы инерции учитываютсп автоматически самой процедурой выписывании уравнений Лагранжа. Второй способ основан на теории относительного движении. Задачу формулируют, вводя переносные и кориолисовы силы инерции.
Кинетическую энергию здесь надо вычислять длл относительного движении, а при подсчете обобщенных сил, помимо заданных активных сил, учитываются и силы инерции. Если в первом и втором из указанных способов за обобщенные координаты приняты одни и те же величины, то мы придем к одним и тем же уравненинм двилзенил. В конкретной задаче бывает ясно, какой из способов предпочтительнее.
Конечно, возможны и другие способы получении уравнений Лаграюка, описывающих движение системы относительно неинерциальной системы координат. 147. Натуральные и ненатуральные системы. Системы, в которых силы имеют обычный П(г1ь 1) нли обобщенный $'(щ, г)ь 1) потенциал, называются натуральными. В таких системах функции Лагранжа 1 вводится каь разность Т вЂ” П или Т вЂ” 1' и квллетсл много- членом второй степени относительно обобщенных скоростей, причем 283 'ч' 2. йапопичеспие уравнения Галчхлыпопа гессиан функции Лагранзка и ч г(еФ ... = г(е$ .. = г(еФ ~~и,ь~~, „ф О (45) дьдг)ь ць, дч;дъ и уравнения Лагранжа разрешимы относительно обобщенных ускорений. В дальнейшем, если не будет оговорено особо, мы будем рассматривать более общие системы.
в которых функция Лагранжа А не обязательно определяется как разность кинетической энергии и потенциала и в этом смысле является произвольной функцией 1(Ш, оь г). Будем лишь требовать, чтобы гессиан этой функции относительно обобщенных скоростей не был равен нулю: бед,.,'. ~О. д21 дйдчл (46) Такие системы будем называть ненатуральными. Требование (46) ана- логично неравенству (45) и нужно для обеспечения разрешимости урав- нений Лагранжа относительно обобщенных ускорений.
В 2. Канонические уравнения Гамильтона 148. Преобразование Лежандра. Функция Гамильтона. В уравнениях Лагранжа второго рода — — — — =О (1=1. 2, ..., п), Лдпя дА (1) идО, д~, = р; = —.' (1 = 1, 2, ..., п). дА де, (2) Переменные Ш, рь 1 называют переменными Гамильтона.
описывающих движение голономной системы в потенциальном поле сил, функция Л зависит от переменных щ, ш, 1 (1 = 1, 2, ..., и). Эти переменные задают момент времени и кинематическое состояние системы, т. е. положения и скорости ее точек.
Переменные Ш, де 1 (1 = 1. 2, ..., и) называют переменныли Лагранжа. Но состояние системы можно задавать и при помощи других параметров. За такие параметры можно принять величины ог, р„1 (1 = 1, 2, ..., и), где р; — обобщенные илпульси, определнемые ра- венствами 284 Глава Х Гессиан функции Л относительно переменных г)е (г = 1, 2, ..., и) отличен от нули (см.
неравенства (45), (46) п. 147). Замечая, что он равен якобиану правых частей равенств (2), на основании теоремы о неявной функции получаем, что зги равенства разрешимы относительно переменных 66 Ч1 = ~Р1(62 ф,. рм °, ре, 1) (2 = 1 2 гь) (3) Следовательно, переменные Лагранжа могут быть выражены через переменные Гамильтона и наоборот. !"амильтон предложил записывать уравнения движения в переменных уб р„, Г. В этих переменных уравнения Лагранжа (1) переходят в разрешенную относительно производных систему 2п уравнений первого порядка, имеющую замечательно симметричную форму записи. Эти уравнения называют уравкекиялги Гамильтона (или каноническилги уравнениями).
Переменные ая и р; (г'. = 1, 2, ..., а) называютсн канонически сопряженными. Прежде чем получать уравнения Гамильтона, введем некоторые вспомогательные определения. Пусть дана функция Х(шы 2:2,..., Ф„), гессиан которой отличен от нуля: П2Х <1еф,, ~ О. длчдшь, „ (4) дХ (и) Преобразовакиелг Лежандра функции Х(шм шз, ..., т„) называется функция новых переменных 1'(уг, уз, ..., у„), определяеман равен- ством У = ~уешг — Х, (6) в правой части которого переменные л:, выражены через новые переменные у„при помощи уравнений (о)~.
В курсах математического анализа показывается-, что преобразование Лежандра имеет обратное, причем если Х при преобразовании ~Эти уравненил в силу условия (4) разрешимы относительно ж (1=1, 2, ..., ид лпм., нецример, гл. 6 книги; Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интогрального исчислении. Т. 1. Мл Науке, 1966. Перейдем от переменных шм шз, ..., т„к новым переменным уы уз, .... у„по формулам 289 'З й. Канонические ураекекил Гамильтона Лежандра переходит в 1', то преобразование Лежандра от 1" будет снова Х. Преобразование Лежандра функции Г (ун до 1) по переменным дс (1 = 1, 2, ..., в) есть функция Н(ун Га 1) =,~ реус — 1(уу, уу 1).
в которой величины д; выражены через уу, р, 1 при помощи уравнений (2); при атом при проведении преобразования величины ун 1 играют роль параметров. Функция Н называется Функцией Гамильгпока. 149. Уравнения Гамильтона. Полный дифференциал функции Гамильтона вычисляется по формуле с1Н вЂ” ~~~ с1ус + ~ с1рс + с11 ° дН дН, дН ,,ду *, „дре * д1 (8) С другой стороны, полный дифференциал правой части равенства (7), вычисленный при условиях (2), будет таким: сШ = ~~ у, др; — ~~ —,Ис1с — — с11. дА дА дан ' дг (9) = у; (1 = 1, 2, ..., и), дН д1 дН (10) дан а также (11) Но согласно (1) и (2), р; = — (1 = 1, 2, ..., и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
