1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Поэтому из (10) дЬ дал получаем уравнения движения аал дН с11 др; Ай дН сй = ду,' (1 = 1., 2, ..., и). (12) Эти уравнения называются уравнениями Гамильтона (или каноничес- кими уравнениями). Так как при переходе к новым переменным значение полного дифферен- циала не меняется, то правые части равенств (8) и (9) равны. Отсюда следует, что 286 Глава Х Т= — гп1 ф, 2 П = — ту1 сову. Иоэтому Ь = Т вЂ” П = — т1гфг + гпу1 сов д. 2 Иэ равенства ре = . — 7П1 ~О ь)1 г. дф находиль 1 грг. гп1г Используя формулу (7), находим функцию Гамильтона Н = рнер — Ь = — р — т81 соэ ~р. 1 г 2пдг Канонические уравнения (12) имеют вид др дн др — = — гпл1 а1псо. Ф дН 1 й др гп1г1"" 150. Физический смысл функции Гамильтона.
Пусть система натуральна. Тогда 1 = 1г + 1г -~- Ао и, согласно формулам (2) и (7), и-~д(1г + ьг — 1о), ддг но по теореме Эйлера об однородных функциях ддг . и дТн. 11г=21г, ~ .. уг=1ы д% дуг Отметим, что попутно мы получили равенство (11), означающее, что если функция Лагранжа не зависит явно от времени, то и функции Гамильтона также не зависит от времени, н наоборот. Аналогично, из равенств (10) следует, что если функция д ае зависит от какой-либо из обобщенных координат, то и функция Н от этой координаты не зависит, и наоборот. Пгнмкг 1. Получим гамильтонову форму уравнений движения мателштического маятника, рассмотренного в примере 2 п.
57. Для кинетической и потенциалной энергии имеем вырагжения (см. рис. 55) 287 'О 2. йаненичеение уравнении ранилынана поэтому Н = (2тз + 11) — (Ьз+ Лч -ь Ео) = Тз — 1о (13) Пусть Т = Тз + Тч + То. Если силы имеют обычный потенциал П, то 1о = 1)~ — П и, согласно (13), (14) н=т — т +и. Если же силы имеют обобщенный потенциал И =1'ч + Рщ то Ао = = то — 'г'о и (13) Н = тз — то + Ео. Пусть система натуральна и склерономна; тогда Тт = О., То = О и Т = Тз. В том случае., когда силы имеют обычный потенциал, (18) Н=Т+П, (17) Н=т+ ио.
151. Интеграл Якоби. Найдем полную производную функции Гамильтона по времени. Используя уравнения (12), получим тождество (ОНОН ОНОН)+ ОН дН ~-- ~дйч дрч дрч д~,~+ О1 — О1. т. е. полная производная функции Гамильтона по времени тождественно равна ее частной производной: ч1Н ОК г11 О1 ' (18) Система называется ойобценно консервативной, если ее функция Гамильтона не зависит явно от времени. В этом случае ОН/д1 = О и в силу тождества (18) г1Н/Ф = О. т. е. прн движении системы Н(ои р;) =Ь, (19) т. е.
для натуральной склерономной системы с обычным потенциалом сил функция Гамильтона Н представлнет собой полную механическую энергию. В этом и состоит физический смысл функции Гамильтона. Отметим также, что в случае склерономной натуральной системы с обобщенным потенциалом сил 288 Глава Х где Ь вЂ” произвольная постоянная. Функцию Н называют обобщенной полной энергией, а равенство (19) — обобщенным интегралом энергии. В случае натуральной системы с обычным потенциалом сил функция Гамильтона вычисляется по формуле (14) и, если она не зависит от времени, (20) Хз — То + П = Ь.
Соотношение (20), где Ь - . произвольная постоянная, называют интегралом Якоби. Если система консервативна, т. е. она склерономна и силы имеют потенциал, не зависящий от времени, то То = О, Тз = О, Т = Тз и интеграл Якоби запишется в ниде (21) Е=Т+П=1ь Таким образом, консервативная система явлнется частным случаем обобщенно консервативной и в рассматриваемом частном случае обобщенный интеграл энергии переходит в обычный. О Пгимиг 1.
Гладкая трубка вращается Рис. 13б в горизонтальной плоскости с заданной постоянной угловой скоростью иг. Внутри трубки движется ширин массой т. Будем считать, что шарик можно принять за материальную точку. Угол ~р, который составляет ось трубки с некоторым неизменным направлением в горизонтальной плоскости, известен (у = ш1). Положение шарика будем задавать координатой т — расстоянием до оси вращения трубки (рис. !35). Потенциальная энергия шарики постоянна; примем, что П = О. Для кинетической энергии шарика ил~еем выражение Т = — гп(т' -~-~Рг ), 2 т. е. 1 .2 То=-тш г. 1 г г 2 Тз=О, Н = — 7пг — — 7пзо г = Ь = соплы 1 2 1 3 2 2 2 Имеет место интеграл Якоби (20), который в рассматриваемом при- мере запишется в виде 289 г в.
Канонические уравнения Хамильтона Н(ЧХ1 ° . ~ Чп; РЫ ° ° . ~ Рп) = и (22) где й произвольная постоянная, определяеман начальными условиями, 6 = Н(д~, ..., у~, Рс, ..., Рс). В 2п-мерном пространстве Хы ..., у„, Рм ..., Рп ' уравнение (22) задает гиперповерхность. Будем рассматривать только такие движения, которые соответствуют этой гиперповерхности. Иначе говоря, рассмотрим движение системы на фиксированном изознергетическом уров- неН(ды ...,утры...,Р„) =Ь. Покажем, что движение изучаемой системы на изознергетическом уровне описывается системой дифференциальных уравнений, порядок которой равен 2п — 2, причем зта система уравнений может быть записана в виде канонических уравнений.
Предположим. что в некоторой области фазового пространства выполняется неравенство дН/дрт ~ О. Тогда в втой области равенство (22) разреп~иыо относительно Рт, Рт = — К(йт Чг, ° Уп Рг ° Рп, 6). (23) Перепишем систему уравнений (12), отделив два уравнения, соответ- ствующих значению г, равному единице. от остальных (2п — 2)-х урав- нений ХХУХ дН оХХ дуг ' сьут д~ ХХХ дрь ' (24) ХХР: дН дух' хХлХХ дН йХ др,' (1=2, 3..., п). (25) Разделив почленно уравнения (25) на первое из уравнений (24), полу- чим с1Н йуу дрт йуг дН дрг дН арх дуй йХХХ дН дрг (г = 2, 3, ..., и,). (26) Это ироотрвиство иввыввют Вгвоовым пространством. Было бы ошибкой принять за интеграл полную льеханическую энергию Е = Т + П, так как рассматриваелтя система (шарик во вращающейся трубке) не является консервитивной.
152. Уравнения Уиттекера и Якоби. Пусть движение системы описывается каноническими уравнениями (12). Если функция Рамиль- тона не зависит явно от времени, то существует обобщенный интеграл знергии 290 Глава Х Подставив величину Р1, задаваемую равенством (23), в левую часть интеграла (22) и продифферепцировав полученное тождество по переменной щ, получим дН ОНдН = 0 (лв = 2, 3, ..., и). (27) др1 д9, Аналогично получим, что дН д11 д1~ 0 О 2 3 и) (28) др, др1 дР1 Преобразуя правые части уравнений (26) с использованием равенств (27) и (28),находим окончательно — — — — (у = 2, 3, ..., н).
(29) а11 дЛ "Рл дЬ д91 др, ' д91 дч, ' Уравнения (29) описывают движение системы при Н = Ь = сопа1 и называются уравнениями Уиттекера. Онн имеют форму канонических уравнений; роль функции Гамильтона играет функция К из (23), а роль времени координата 91. Интегрирование уравнений Уиттекера (29) дает ч1 = ч1(ч1~ 10 С1~ ..., С2в 2)~ (30) Рв = Р1'(йы Ь, С1,, Сза — 2) (у = 2, 3,, 11), где с1....., с2„2 произвольные постоянные. Если эти выражении для щ, Ру подставить в равенство (23), то получим Р1 =11(71 Ь С1 -. С2 -2) (31) Равенства (30), (31) задают геометрический характер движения: они определяк1т уравнения траекторий в фазовом пространстве (точнее, на гиперповерхности фазового пространства Н = Ь).
Чтобы найти зависимость движения от времени, воспользуемся первым из двух уравнений (24). Если в его правую часть подставить величины р1, йм Р из (30) и (31), то получим дв11 — = 81(ч1~ Ь., С1~ ...., Сзв 2)~ откуда (32) 291 "2 е. Канонические, уравнения Гамильтона Разрешив уравнение (32) относительно Ч1, получим Ч1 — — Ч1(», Ь, с1, ..., сз — 1).
(33) Уравнения Уиттекера (29) имеют структуру уравнений Гамильтона. Их можно записать в виде уравнений типа Лагранжа. Пусть гессиан функции К по переменным р отличен от нуля: 2 п с$еС ф О. др,дрс ... (34) Пусть Р— преобразование Лежандра функции К по переменным ру Ц = 2, 3, ..., и). Тогда Р = Р(Ч2»» Чп» Чз, Ч»»» Ч1» Ь) = ~~' Ч»Р» К: (35) 1=2 где Ч.' = »1ЧЧ/»1Ч1.
Величины р в (35) выражаются через Чз» ..., Ч„' из уравнений Ч'. = О = 2, 3, ..., в), д»оу т. е. из первых и — 1 уравнений системы (29). При помощи функции Р уравнения (29) могут быть записаны в следующей зквивалентной форме: — — — — =О (у=2, 3, ..., в). дР дР (35) »1Ч1 дЧ,' дЧ1 Зто уравнения типа Лагранжа. Они называются уравнениями Якоби. Роль функции Лагранжа в уравнениях Якоби играет функция Р, а роль времени, как и в уравнениях Уиттекера (29)» — координата Ч1. Преобразуем выражение (35) для функции Р, учитывая равенства (7), (23) и соотношение Ч', = 1: и и и Р = ~~~ руЧ,',.
+Р1 = ~~ р»Ч» = ~р»Ч» = (Ь+ Н) (37) »)1 Ч1 1=2 »=1 »=1 Р= —, 2Т »)1 (38) Пусть система консервативна. Тогда А = Т вЂ” П, Н = Т+ П и из (37) следует, что 292 глава Х Но в консервативной системе — а1ь~йуй ч1О(йы '' ча~ чг~ ''' ' Чп)' Р9) где 1 ч 2 Рл ',я=г Из интеграла энергии Т+ П = й и равенства (39) находим, что )'ь- а И из (38), (39) получаем окончательное выражение для функции Р в случае консервативной системы: Р = 2 ДК вЂ” П)а. (40) Пгнмкг 1. Найдем уравнения Уиттекеро и Якоби, описывающие движе- ние точки массой т в однородном поле тяжести. Нуспгь ось Ог непо- движной систелпа координат Охуг направлена вертикально вверх.
Тог- да Т= — т(х +у +г), 2 П = гпуг, Я= — т(х +у +г ) — гпяг, 1 ° г г г 2 р. =тх, рь — — гп,у, р,=тг, Н = — 1р'.+р'„+ра)+та . Очитая величину х пологкительной, иэ уравнения Н = 6 получаем р. = — К, где Уравнения Уиттекера (29) будут такими: 293 'З 3. Уравнения Рауса Так как рассматриваемая система консервативна, то функцин Р может быть вычислена по узормуле (40), Получаем 2 Тогда и уравнения Якоби (36) запишутся в виде 3 3. Уравнения Рауса 153. Функция Рауса. Для описания состоннин голономной системы в данный момент времени 1 Раус предложил комбинацию переменных Лагранжа и Гамильтона. Леременны и Рауса являются величины щ фб д„, реб 1 (1 = 1, 2, ..., й: в = к+ 1, ....
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
