1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Онн должны рассматриватьсн совместно с уравнениями связей (15). Полученная система уравнений движения неголономной системы не содержит множителей связей. Число уравнений равно и+ в, т. е. совпадает с числом обобщенных координат. 157. Уравнения Чаплыгина. Пусть кинетическая энергия Т2 козффнцненты аы (к = 12 2, ..., в; 1 = 1, 2, ..., и) в уравненинх связей и обобщенные силы О1 (1 —. 1, 2, ..., т) не зависят от обобщенных координат д„+й (к = 1, 2, ..., з). Тогда уравнении (23) запншутсн в виде 2 2 П й=1 й=1 1=1 (1=1,2, ...,и), (24) где — — — — — 2.~~21' 2с) в= 222,..., „2 (22) й дО дО ВП ' /" (14. йй дуй д271 дсй ~ 11 3 й=1 1'=1 Пгимкг 1 (Кйчкник дискй по нкподвижной гогизоитйльией плоскости).
Пусть однородный круговой диск катится йез скольжения по неподвижной горизонтальной плоскости, опираясь ка нве одной п1очквй своего края. Движение отнесем к неподвижной системе координат ОХ1'Я с началом в некоторой точке О опоркой плоскости; ось Ов направлена верпшкалько вверх (рис. И7). Пусть ОХУЯ вЂ” поступательно движущияся система координат, оси которой париллелькы соответствующим осям системы ОХАХ.
Система координат Охуг Если в выраженинх для обобщенных сил й.,ц (1 = 1, 2,... 2 т) и импульсов дй (к = 1, 2, ..., з) при помощи уравноннй свнзей (15) исключить обобщенные скорости у„чй (к = 12 2, ..., з), то получим систему уревнений относительно уй (1 = 1, 2, ..., и), которую можно интегрировать независимо от уравнений связей (15). Зги уравнения впервые были получены Чаплыгиным и носят его имя. После интегрирования уравнений (24) остальные координаты 27„ч12..., у найдутся из (15) при помощи квадратур. Если обобщенные силы потенциальны и потенциал П не зависит от обобщенных координат д„ей, то уравнения (24) примут вид ЗО2 Глава Х Рис.
137 (27) г = ргшд, где р ". радиус диска. Кинетическая и потенциальния энергия диска определяются выра- жениями Т 1т(аз+уз+ з)+ 1(д э+д,г+Стз) ц, йпд где т — масса диска, К вЂ” ускорение свободного падения, р, д, т— проекция угловой скорости ьз диска на оси Сх, Су, Сг, являющиеся его главными центральными осями инерции, Л, В, С моменты инерции диска относительно осей Сх, Су, Сг, причем й= В=-',р'. 4 С = — тр, 1 а р, д, т задаются кинематическими уравнениями Э лера р = фвшдв1п~р+ дсог~р, д = й) з1п д сое ьз — д вш 1о, т = ф сог д -~- уь (28) жестко связана с диском: ее ось Сг перпендику ярна плоскости диска. За обобщенные координаття примем три угла Эйлера и две координаты к, у проекции (г центра тяжести С на опорную плоскость в системе ОХз'о. Туетья координата г центра тяжести есть его расстояние до опорной плоскости.
Из рис. 137 видно, что 393 24. Уравнения движения неголономных систем Принимая во вниманиез что„согласно (27), г = рдсояд, (29) выражение для кинетической энергии дисии можно записать в виде Т = 1 тп(хз + уз) + 1 трз(1 + 4 сояз д)дз + + — зпр яззз~ Вз(з~ + — трз(зр соя 0+ ф)2. (30) Уравнен я связей получим иэ условия отсутствия скольжения. Если скозьжения нет, то скорость озз точки диска, которой он касается опорной плоскости, равна нулю. Поэтому (31) осз + из н СР = О, о'в = (хз у, г), СР' = р(соядяззззр, — соядсояз(ц — язззд), (32) из~ = (Всояф+ фязизрязпд, Вяшф — фсояз)зяшВ, ф+ фзсояВ). Третья компонента векторной правой части ривенства (31) тождест- венно равна нулю в силу равенства (29).
Приривнивание нулю первых компоненпз дает уравнения связей т, = р[дя1и фчш0 — (фсояд+ ф) соя ф), у = — р(Всояфзтпд+ (фсояд+ ф) яззззР). (33) Так как П, Т и уравнения связей не содержат обобщенных координат х, у, то уравнения движения диска могут быть записаны в форме уравнений Чаплыгина. з7ля удобства вычислений введем временно обозначения Чз = д Чз = 'Р Чз = Ф Чз = и Чь = У. Тогда в обозначениях п. 156, 157 имеем жзз — — ря1ийзязпуз, зззз = — рсоьЧЗ, сз2з — Р соз Чз соз Чз ~ зззз — Р Язп Чз соз Чз ~ сз22 = Р ьззз Чзз сззз = — Рсозуз Яшуз.
где осз - — сиорость центра тяжести, СР --. радиус-вектор пзочки Р относительно С. На рис. 137 прямая РЕ является касательной к диску в точке Р. Она параллельна линии узлов Сзч". Прямая РС перпендикулярна РК, лежит в плоскости, проходящей через оси СЕ и Сз, и составляет уго.з уз с осью Су. П системе координат ОХУЯ 304 Глава Х Отсюда и из (25) следует, что Л,' = — Л," = ряпуз, (ч) (г) Аг, = — Лз, — — — рсовдз. (г) (г) Вг = тх = тр(япдч в)пдзуг — совуздг — сов уз сов узуз) Вг = чпу = чпр(вшуг совузЧ1 + вшузуг + сов уз вгпДЗДз) ° Ес.чи теперь возвратиться к исходным обозначениям, то уравнения Чаплыгина запишутся в виде — — — — = — пьдр сов д, йдО ОО Ф дд дд — — — — = тр япддчй, йдО ОО (34) — — — — = — гпр вшВВф.
йдО дО йу д,~ дф Здесь О есть кинетическая энергии (30), в копзорой величины х, у ис- ключены при помощи уравнений связей (33): О = 5 тргдг + -тр яп В~Р + — тр (ф сов д -(- ф)г. (35) 11одставив функцию О в (34), получим систему уравнений движения В+ в(пдсовдчр + — в(пд(очг+ — — совд = О, 'г 6 ° ° ' 4е 5" 5Р— (чрсовд+ ф) = — вшддм ц й: 2 йг '' 3 — ((чрсовд+ ф) совВ+ — яп ВчЯ = — — в1пддьг. 1 ° г,' 2 й( '' 6' 3 (36) Если эта система проинтегрирована, то движение центро тюкести диска найдется при помощи конечного соотношения (27) и двух квадратур из (33).
Уравнения двизкения (36) допускают частные решения, для которых д = Во = сопв(. При этом ф = шг = соччвч; (37) (о = шч — — сопела, Остальные величины А, (г, ) = 1,, 3; к = 1, 2) тождественно ровны нулю. Для обобщенных импульсов дю дг имеем выражения 306 Уравнения движения несолоно иных систем а угол Во удовлетворяет следуюГцему соотношению, вытекающему из первого уравнения системы (36): соэ Яо е111 Во~ 12 -~- 81п Вошь ш2 -~- р — сог 00 = (). 6 4К, (38) Если Во = кГГ2, то это уравнение переходит в условие иГГо12 = О. Отсюда следует, что существуют следующие движения диска: (36) Во = к!2, о11 — — О, шз У'- О, Во=к/2, Го1фО, юг=О, во = кГГ2, и11 —— О, и12 = О; (40) (41) ш2 сог во ч Гэ1 у = 12+ р соеГЯ, Гэг сое Во + иГ1 Х = Сà — Р О22 зш уц где и и Г3 — постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям, а ф = о121+ Гро. Отсюда и из (27) следует, что центр тязкести диска движется по окружности, расположенной в горизонтальной п шскости и имеющей центр в точке (ГГ,Д, рзьпво); радиус этой окружности о22 сог Во + и11 ОЗ2 Отсюда и из рис.
137 следует, что точка Р касания во время движения диска описывает на опорной плоскости ОХУ окружность с центром в то1ке (ГГ, Д) и радиусом, равным р~1э1(озз~. И самом общем случае аналитическое исследование движения диска приводится к интегрированию одного линейного дифференциального уравнения второго порядка и квадратурам. Чтобы показать это, залсетим, что 2рсозв+ф = г, и, рассматривая промежуток времени, ни котором 0 ф О, перейдем во втором и третьем уравнениях системы (36) 0 движении (39) диск вращается с произвольной постоянной угловой скоростью о12 вокруг одного из своих диаметров, который неподвижен и занимает вертикальное положение.
В движении (40) диск катится по прямой, при этом плоскость диска вертикальна, а центр тяжести движется с произвольной постоянной скоростью ~Го1р~, 27вижение (41) соответствует покою диска в вертикальной плоскости. В общем случае, когда Во ~ кГГ2, величины Гэ1, и12, Во связаны между собой соотношением (38), которое, следовательно, определяет двухпараметрическое семейство движений диска.
Для этих движений из уравнений связей (33) получаем 3ОО Глава Х к новой независимой переменной О. Тогда получим — = — сцпВЬ~~, — ) гсовО+ — сцп Оу)) = — — сцпу(г — й)созВ). (42) йг 2 ' и' / 1, г '1 2 йВ 3' ' йВ '1 О ) 3' Исключив из этих уравнений величину ф, приходим к дифференциальному уравнению сРг аг 4 — + с180 — — хг = О, 402 - йу 3 = которое, ес ги положить и = сова О, принимает вид и(1 — и) — + г(1 — Зи) — — — г = О. азт 1 йг 1 й„ 2 ' йн 3 Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка представляет собой известное иэ теории дифференциальных уравнении гипергеометрическое уравнение Гаусса.
Его интегрирование дает величину г как функцию угла О. Нз первого уравнения сиспьемы (42) и равенства за сов О + ф = г определ ются затем зу и ф как функции угла О. Таким образом, задача нахождения углов Эйлера сводится к нахождению 0 как функции времени, так ьак ф(1) и ~р(1) найдутся при известной функции 0(1) посредством квадратур. Зависимость В(1) также получается посредством квадратур.
Действительно, уравнения (34) имеют интеграл энергии (43) 0; П = 6, = сопе1. Это следует из того (см. п. 143), что уравнения (34) можно рассматривать как уравнения движения склерономной системы под действием гироскопических сил Щ = тр зпьОВмц б)Г, = — трг сйпООф и потенциальной си ьы б~э = — тур сов 0 с потенциалом, не зависящим от времени, Подставив в равенство (43) ве шчины зрц ф как функции угла О и разрешив его относительно О, получим В как функцию В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
