1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 54
Текст из файла (страница 54)
уравнения (4) п. 97). Примкр 2 (Клчкиик шхрл по плоскости). 11усть однородный шар движепгся по неподвижной горизонпгальной плоскости без скольжения. Движение шара отнесем к неподвижной системе координат ОХ1'Е с началом в некоторой точке О плоскости, ось ОУ направим вертикильно вверх. Пусть игх, игу, ши — проекции угловой скорости шара на оси ОХ, ОУ, Ол, а р, а, с проекции того же вектора на оси Сх, Су, Сг жестко связанной с шаром системы координат с началом в центре шира. Пусть х, у, г — координаты центра шара в системе ОХ1'Я; 2 = а, где а — радиус шара. Условие отсутствия скольжения (равенство нулю скорости точки Р шара, которой он касается плоскости) приводит к соотношениям х = агуа, у = — шха. (63) Момент инерции шара относительно любого диаметра равен — таг, 5 где т — масса шара.
Из (57) и (61) получаем выражение для энергии ускорений: я = — т(х + уз) + —,то, (рз+ г) + р ). (64) Введем псевдоскорости по формулам (65) ГГ2 = ГЭУ~ кг = игх, Из (63) тогда получим (66) т = ил'2. у = — адг. Пусть е — угловое ускорение шара. Тогда, замечая, что р -~-ч -~- г = е = игх+ игу -~-шх — — кг -~-кз-~-кз У2 2 2 2 ° 2 -2 22 -2 -2 2 Уравнения движенин неголономных систем и пользуясь равенствими (66), получаем из (64) такое окончательное выражение для энергии ускорений: ~ = 16та'Рак'+ дз) + 2кз).
Тая как обобщенные силы 11, (г = 1, 2, 3) равны нулю, то из уравнений Аппеля дЯ~дке = О гй= 1, 2, 3) следует, что к; = О (е' = 1, 2, 3), или еох = сопз1, юу = сопв1, еоя = сопез. Таким образом, из уравнений Аппеля сразу следует, что угловая скорость при движении остается неизменной. /[ругам способом этот вывод получен в п.
113. ГЛАВА Х1 Интегрирование уравнений динамики В 1. Множитель Якоби 161. Множитель системы уравнений. Дифференциальное уравнение для множителя. В данной главе будут получены некоторые общие утверждении, относнщиесн к интегрированию уравнений динамики. Сначала рассмотрим нужные в дальнейшем вспомогательные вопросы теории дифференциальных уравнений.
Пусть задана система дифференциальных уравнений 11хг 11хг 1гхь х, х ''' х„.' где Х, (1 = 1, 2...,, й) — — заданные функции переменных Х1, Хг, ..., Х1,. Всякая функция Р(Х1, хг, ..., хь), которая постоннна при хг, хг„...,,сг., удовлетворяющих системе (1), называется ее первым интегралом. Если Р(Х1, хг, ..., Хь) — первый интеграл, то дифференциал 1(1 в силу (1) тождественно равен нулнг, т, е. 4 = , Йхг + — дхг + ° ° + 11хь = В дУ дР дР дх1 дхг дх в силу уравнений (1). Это означает, что необходимое и достаточное условие того, что функции 1'(х1, хг,, хх) нвлнстся первым интег- ралом, записываетсн в виде равенства Х(р) гад Х,+ Х,+...+ Х,=В.
д1 дУ . ду Х1 Х2 ХЬ (2) /'1=с1, рг — — с2, ..., р1=с1 (сг= сонат;1=1,2, ...,1), (3) Обозначение Х(1) введено для краткости записи. Очевидно, что если 11 12. ° 21 (1 < Й вЂ” 1) . первые интегралы, то и любая функция Г(~ы,6, ..., Я тоже будет первым интегралом системы (1). Если известны 1 независимых первых интегралов 616 11. Мнолеитпеле Якоби то их можно использовать длн пониженин порядка системы (1) на 1 единиц. В самом деле, если Л, 12, .... )) незввисимы, то рвнг матрицы дЛ д11 дЛ дх1 дх2 дхь д.6 д.6 д (2 дх1 д:гг ' ' ' дхь (4) дЛ дЛ дА дх1 дхг ' ' ' дхь равен Е Не ограничивая общности, будем тогда считать, что отличен от нули определитель Его порядка, составленный из первых 1 столбцов матрицы (4), т.
е. нкобиан функций у1, 12, ..., у1 по перемен- НЫМ Х1 Х2, . ~ Х1: ду1 д,~г д,гг дх1 дхг ' ' ' дх1 дуг дуг д)'2 дх1 дхг ' дх1 ~ О. (5) д(Л. Уг: " У1) д(х1, хг, ..., х1) дЛ д1"1 д,г1 дх1 дхг дх1 При выполнении этого неравенства соотношения (3) можно разрешить относительно величин х1, хг,..., х1, в результате чего эти величины выразятсн через переменные х1.11, ..., хь и константы с1, сг, ..., с1. Подствнив их в функции Х1т1, ..., Хь и обозначив получвгощиесн в результате этой подстановка функции Х,*„„ ..., Х*, где Хг (у = 1+ 1,.... Й) —.
функции от х1т1, ..., х1, и с1, сг..... с1, мы сведем систему (1) к системе уравнений дтьь1 дхь Х1*., "' Х1 ' порндок которой на 1 единиц меньше порядка исходной системы (1), Система (1) может иметь только й — 1 независимых первых интегралов. Если они изнестны, то соотношении (6) Л с1~ 12 = его ° ° ° 1 гь — 1 = сь — 1 дают общий интеграл системы дифференциальных уравнений (1). Всякий же другой интеграл у будет функцией независимых интегралов Л. 12, ..., 11 1. Для доказательства этого утверждения на- 316 Глава Х1 до проверить, что вкобиан функций 7", Г1, ..., Гь 1 по переменным:г1, аз, ..., кь равен нулю: ~1' ' ь 1) — О (7) д(кгс:аз, °, кь) Действительно, если 7", 71, ..., Гь 1 — первые интегралы, то Х(7") = Х1 +Хзд + ...+Хьд — — О, д7" д7" дГ" д,, д,, "' Ъь х(у1) =х, +Х,.
+...+Хь =О, дЛ дЛ д~1 Х(,~ь 1) =Х1, +Хз +...+Ха . =О. дЬ-1 дЬ-1 дЬ-1 л1 дща дзь Эта система Й линейных однородных уравнений относительно Х1,Х2,...,Хь должна иметь нетривиальное решение. Следовательно, выполняется равенство (7). Что и требовалось доказать. Разложив нкобиан, стоящий в левой части равенства (7), по элементам первой строки, представим это равенство в виде Ь1 — +Ьз +...+Ьь =О, д г" д1 д,г" 2'2 кь (8) (9) Ь1 = ЛХХ; (1' = 1, 2, ..., й). Функция М называется множителем Якоби или просто множителем системы уравнений (1).
где Ь; (1 = 1, 2, ..., й) есть алгебраическое дополнение 1-го элемента первой строки якобиана, Условие (8) означает, что Г" — — функция первых интегралов 7ы Гз, ..., 1ь 1. Если à — первый интеграл, то выполнено условие (8), а если выполнено (8), то з — функция (ы 5, ..., 11. 1 и, следовательно, является первым интегралом.
Поэтому равенство (8) является необходимым и достаточным условием того, что (при известных первых интегралах Г1, 72, ..., )ь 1) ) есть первый интеграл. Последнее означает, что условия (2) и (8) эквиналентны. Поэтому соответствующие коэффициенты при производных дГ/дк1 (1 = 1, 2, ..., Л) в равенствах (2) и (8) пропорциональны, т. е. существует функция Л1 (к1, кз,..., кь) такан, что 317 З С Мнолситель Якоби В равенство (9) входит интегралы уы 7з, ., уь з. Однако можно получить дифференциальное уравнение для М, которое не содержит уы,~з, ° ., 1ь ы Покажем„что множитель М удовлетворяет линейному уравнению в частных производных д(МХз) д(МХз) д(МХь) + +...+ =О.
дх1 дхз дхь (10) (11) д(хз~ хю хь) а во втором — коэффициент при дЛ/дхз в Ьз, т. е. определитель (11), взятый с противоположным знаком. Следовательно. сумма упомннутых слагаемых равна нулю. То же самое справедливо и для остальных слагаемых. Любое решение уравненин (10) прилито называть мнолсителем. Справедливо следующее утверждение: частное, двух множителей яеляется первым интегралом системы (1). В самом деле, пусть Мз и Мз — множители, т.
е. решения уравнения (10). '1'огда справедливы равенства +Х;дМ =0, (12) +Х,.дМз = О. (13) Умноязив первое из этих равенств на — Мз, а второе па М1 и сложив результаты, получим В самом деле, если в соответствии с (О) вместо величин МХ; (1 = 1, 2,..., )с) подставить в (10) их выражения Ь;, то после проведения содержагцихся в (10) дифференцирований получим, что левая часть равенства (10) представляет собой совокупность слагаемых, каждое из которых есть произведение производной второго порядка вида д"-~,/дх;дхб (1 ф у) на к — 2 частных производных первого порядка. Поэтому, чтобы показать справедливость равенства (10), лостаточно убедиться в том, что его леван часть не содержит ни одной производной второго порядка.
Возьмем, например, производную да г1~дх1дхз. Она содержитсн в двух слагаемых. В одном слагаемом при дз~з/дхздхз будет коэффициент при д)з/дхз в Ьы т. е. определитель 218 Глава Х1 Следовательно, Мг/М1 действительно являетсн первым интегралом. Верно и обратное: произведение какого-либо множите я на первый интеграл системы уравнений (1) также является множителем. В етом легко убедиться непосредственной проверкой. Для дальнейшего приложении теории множители к уравнениям дидХ1 намики важно заметить, что из (10) следует, что если 2 ' = О, дх; то М = 1 является множителем.
162. Инвариантность множителя. Последний множитель Якоби. Сделаем н системе уравнений (1) замену переменных, введи вместо х1, хг, ..., хь переменные у1, уг, ..., уь по формулам хн = хг(у1. 'у~, ..., у1) (1 = 1,2, ..., й). (14) Будем считать, что якобнан д(т1, хг, ..., хь) (15) д(у1; уг~ ' ' 1 уь) отличен от нуля. Тогда замена переменных (14) является обратимой. Для получения преобразованной системы уравнений введем вспомога- тельную переменную 1 так, чтобы каждое из отношений Нхг/Х1 равня- лось ее дифференциалу Ф. Тогда система (1) запишется так: дх1 йг —" = Хг(х1, хг, ..., 1г1) (1=1, 2,..., й). (16) Выраженную через у1, уг, ..., уь величину Х(уг) обозначим 1'о Тогда в новых переменных система уравнений (1) будет такой: '~у1 Фг дул 21 22 1А (17) Отметим, что выражение Х(Г) инвариантно в том смысле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
