1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 58
Текст из файла (страница 58)
!егко видеть, что Х =Л = — Л, Л = — Ез„. с1е13 =1. (3) Получение решений системы уравнений (1) часто оказывается очень сложным делом. Поэтому надо искать какие-то пути, упрощающие исследование движения. Например, в 32 показано, что наличие одной циклической координаты позволяет понизить порядок системы (1) на две единицы.
Это указывает на то, что удачный выбор обобщенных координат может существенно облегчить исследование движения, а иногда позволяет провести его во всей необходимой полноте. С такой ситуацией мы встретились в и. 166 при анализе движения сферического маятника. Глава Х1 Ф =Ю;(Ч, р,~), 1л =ЫЧ, Р,1), ('=1,2,", п), (4) или, если ввести обозначение ь =(9', Р). Ц =1(вы ° . Йа); Р = (Ры ...., Ра)., ~ = ~(л, 1). (5) Может случиться, что в новых переменных система уравнений (1) будет иметь более простую структуру и ее интегрирование будет проще интегрирования исходной системы.
В новых переменных уравнения движения могут уже не быть гамильтоновыми. Мы, однако, будем далее рассматривать только такие преобразования (4), которые пе нарушают гамильтововой формы уравнений движения. Это будут канонические преобразования. Ниже мы дадим определение канонических преобразований, получим критерии каноничпости и укажем способ нахождения функции Гамильтона, отвечающей преобразованным уравнениям. Практический смысл канонических преобразований состоит в упрощении уравнений движения, в выборе таких новых координат в фазовом пространстве, которые более удобны для решении задачи о движении системы, нежели исходные старые координаты. Метод канонических преобразований является широко распространенным и зффективяым методом исследования гамильтоповых уравнений.
Пусть М вЂ” матрица Якоби преобразования (4), доз да1 доз доз дЧз ''' дча дрз ''' др„ двУ„дЯа дЯ„дЦ„ дЧ1 "' дча дрз "' др. дЦ дЦ дЧ др дР дР (6) дРз дРз дР, дРз дЧз '" дЧп дрз "' дра дР„дРа дра дР„ дчз ''' дча дрз ''' др„ Преобразование (4) называется канонически и, если существует такое постоянное число с ~ О, что матрица Якоби (6) удовлетворяет тож- деству М'Лм = сЛ, (7) В некоторой области фазового пространства Чы Чз, ..., Ча, рз, рз, ..., Р„рассмотрим обратимую, дважды непрерывно дифференцируемую замену переменных Ч, р — ~ Ц, Р, содержащукз время 4 в качестве параметра: Канонические преобразования где матрица Л определена равенством (2).
Число с называется валентностью канонического преобразования; если с = 1, то преобразование называетсп униеаленппзым. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Матрицы М, удовлетворяющие тождеству (7) при с = 1, называются самплектическами если же в (7) с у': 1, то матрица М называется обобщенно симплектической (с еалентностью с).
Так как, согласно (3), де1Л = 1, то из равенства (7) на основании теоремы об умножении определителей получаем бесМ = ~с", пь е. обобщенно симплектические матрицы являются нееырожденны- ми. Злмечлиие 2. Лусть е фазовом пространспзее последовителько выполнены деа канонических преобразования: Ьз — — Ьз(я. 1) с валентностью ст и ~г = з,з(~м 1) с вавзентпостью сг. Тогда результирующее преобразование Ч = Ч(я, 1) = — ~г(з,з(г, 1), 1) таксе будет каноническим, и его волентность с равна произведению сзсг.
Б самом деле, по условию М',ЛМ~ — — сзЛ, Мз — — д~,/дя МгЛМг — — сгЛ, Мг = дьг/дь,. Поэтому с~~ д1г дл дб, дг а следовательно., М'ЛМ = (МзМз)'Л(М Мз) = М',М',ЛМзМз = = МзсгЛМз = сгМзЛМз = сгсзЛ. Отсюда, согласно определению (7) канонического преобразования, следует доказываемое утверждение. Пусть, далее, задано каноническое преобразование з. = з,(л, 1) с валентностью с. Тогда обратное преобразование г = я(з,, 1) такязе будет каноническим, а его валентность равна 1/с. Действительно, умножив обе части тождества (7) слева на матрицу (М') ~, а справа — на матрицу М ~, получим 1зЛ = (М') ЛМ '. с 24О Глава Х! Учитывая перестановочность операций транспоцирования и взятия об- ратной матрицы, приходим к равенству (М ')'ЗМ з = — Л.
(9) Так ьак матрицей Якоби обратного преобразования х = х(Ь, !) является матрица М ", то отсюда следует, что это преобразованис каноническое и имеет валентность 1!'с. Отметив еще, что тождественное преобразование Цч = Чи Р; = р; (з' = 1,2,...,п), очевидно, будет каноническим, приходим к выводу, что совокупность всех канонических преобразований образует группу. Упивалентные преобразования составляют ее подгруппу. 169. Критерии каионичности преобразования. Равенство (7) позволяет легко проверить, является преобразование (4) каноническим или нет.
Приведем еще некоторые критерии каноничности. Они эквивалентны условию (7) и могли бы быть приняты за определение каноничности преобразовании (4). Сначала введем понятие скобки Лагранжа и дадим критерий каноничности в терминах этих скобок. Пусть заданы 2п функций 'рз; Фз' О = 1з 2~... з и) от двух переменных х, д и еще, может быть, от некоторых других переменных. Тогда скобкой !агракзки для этих функций называется величина (дуз! д4! дуз! дф!') (, дх ду ду дх ) ' з=з (10) Теорема. Если в качестве ьззч з)зз принягпь функции ьгз, Р из (4), то необходимое и достаточное условие капокичкости преобразован я (4) запишется в виде (Чо Чь) = О. [р„рь) =(), (Чзз рь] = сбил (з, у = 1, 2, ..., п). (11) Здесь бщ — символ Ерокекера (бзь = 1 при з, = !с и б,ь = О при з ф к), а с — валектиость канонического преобразования.
МЛМ дч дч дч дч д1;з ' др др ' д1;з (12) Доказательство. Доказательство получается при помощи непосредственной проверки. В самом деле, левая часть равенства (7) может быть записана в виде следующей блочной матрицы: 341 Канонические преобразования Вычисления, проведенные для левого верхнего блока этой матрицы с учетом обозначения (10), дают (эо)'Те (др)'до ~(до де до;де) э'=1 = ~Пу у П!,1 л=, Проведя аналогичные вычислении для остальных блоков матрицы (12), убеждаемся, что равенство (7) может быть записано в виде ~ИЧд, Уь4, „„~ИВ: Рь)~~„л, -Ьд»лйч,= ~.(Рд М~~',,= () Для доказательства теоремы теперь лостаточно заметить, что равенства (11) и (Вй) эквивалентны. Получим теперь критерий каноничности преобразовании (4)д использующий скобки Пуассона.
Теорема. э7ля того чтобы преобразование (4) было каноническим, необходимо и достагпочно, чтобы скобки Пуассона функций Оэч Р, от перелденных ды..., д„д ры..., р„, 1 удовлетворяли равенством Яп Щ) =О, (Рд, Рь)=О, (О;, Рь)=од;ь (д', у=1, 2,..., и). (14) МЛМ' = сЛ, (15) которое эквивалентно равенству (7). Левая часть последнего равенства может быть представлена в виде блочной матрицы Доказательство. Доказательство проводится при помощи непосредственной проверки эквивалентности равенств (14) и равенства (7)д положенного в основу определения каноничности преобразования (4).
Возьмем от обеих частей равенства (8) обратные матрицы и учтем, что, согласно (3), Л ~ = — Л. Тогда придем к равенству Глава Х1 Непосредственные вычисления показывают., что левый верхний блок этой матрицы может быть представлен в виде да да да дЦ ( г)г1* дць дЯ* дЯь ч) (, дд: Ор, др. дуз! з=1 =~На, а)~~",ь=, Аналогичные вычисления для остальных блоков матрицы (16) позволнют записать равенство (15) в следующей форме: ~1(а, аьп." ~, ~~(а., Рн) ~~",=, (17) — ЦС~г, .Р,Н,". „, ЦР;, Ря) ~~", „, и п с 'р рь3аь — ~~ РьбЯь ь=г ь=г (18) является полнььн ди44еренциалом некоторой у1ункции Р(д, р, 1).
При этом под полньгми дифферендиалами 6Г и бф, (Й = 1, 2,..., и) понимаются дифференциалы, соответствующие изменению переменных д, р: величина 1 считается параметром. Доказательство. Для доказательства этой теоремы достаточно показать, что условия того, что выражение (18) есть полный дифференциал, эквивалентно равенствам (11).
Из (4) имеем ю.=т.(, и;~ . ь) г Пь1ь . дч)ь ~,ду, ' др; Подставив эти дифференциалы в выражение (18) и изменив порядок суммирования, получим зто выражение в виде ~ ~'(Х„бу;+ У,бр,), а=1 Отсюда следует, что равенства (14) и (7) эквивалентны, что и доказывает теорему. Приведенные критерии каноничности, как и само определение (7), позволяют по явно заданному преобразованию (4) решить, является оно каноническим или пет. Для дальнейшего построения теории канонических преобразований очень важен следующий критерий каноничности. Теорема.
Для каноничности преобразовании (4) необходимо и достаточно, чтобы существовала отличная от нуля постоянная с такая, что выраисение 1 4. Канонические преобрпзования где приняты обозначения Х„= ср; — ~~ Р~, ', 1; = — ~~ Р~, (з' = 1, 2,..., и). (20) дЕ " дЕ Условие того, что выражение (19) есть полный дифференциал, записы- вается в виде совокупности равенств дХ, дХь дуз д1 ь дХ; д1'ь доь дои ' дрь др; ' дрь даи Непосредственное вычисление, использующее обозначения (20), пока- зывает, что равенства (21) запишутся соответственно в виде (суи дь) = О, (рз, рь) = О, (уз, рь) = сбзь (з, й = 1, 2,..., п). (22) Доказательство.
Действительно, из (б) и (1) имеем — = — — + —, =~ЛН'+ —, д«д«йх д«, д« йг дх аг 04 ' дг' (20) Но ! н,' = н, —.« ~ = (н,м)' = м'н,'. Позтому, учитывая тождество (15), равенство (23) можно записать в виде й«, д« вЂ” = Лсн4+ —, с)г дг (24) Так как зти равенства совпадают с равенствами (11), то отсюда следует справедливость доказываемой теоремы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
