1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 60
Текст из файла (страница 60)
отвечающая преобразованной к новым переменным Ц, Р системе (1), вычисляется по формуле (54). Мы видим, что при преобразовании системы (1) к новым переменным нужно все вычисления проводить не с 2п функциями (4), а с двумн функцинми 8 и Н. Ясно., насколько это важно при рассмотрении конкретных задач, особенно при большом числе степеней свободы и. Примення векторно-матричные обозначении, запишем зти равенства в виде — — + =0 дб до д1дд 351 йакоккческке преобразования Можно заранее задать структуру новой функции Гамильтона 74(«г, Р, 1) и пытаться так подобрать производящую функцию Я, чтобы удовлетворялось равенство (54), которое, с учотом формул (48), записывается в виде +сН»7, — „, —, 1 =74 «г., — —,', » . (55) Можно, например, потребовать, чтобы какие-то (или даже все) «коордннатьв «»»«(« = 1, 2,..., и) не входили в новую функцию Гамильтона.
И если удастся так подобрать Я, чтобы удовлетворялось уравнение (55). то среди новых переменных в рассматриваемой задаче будут циклические «координаты», что позволяот (см. и. 164) понизить порядок системы дифференциальных уравнений движения на величину 2Й (Й вЂ” число циклических координат). А если все координаты циклические, то задача сводится к злементарным квадратурам, так как тогда 74 = 'К(Р, т), и уравнения движения в новых переменных имеют вид К1 074 а;. 074 д4 дР« ' ' ' «П д91« =7«(Р, ь), ' = —, =0 («=1, 2,..., п), и, если ф», Р;е — начальные значения величин Щ, Р«, отсюда следует, что »,)« = / ~.(Ро; 1) с(1+«'1«о, Р« =Ре (» =-1, 2,..., и). Таким образом, мы имеем вполне определенный метод упрощения уравнений движения., который приводит к новой постановке задачи интегрирования уравнений динамики (1) — поиску функции Я, удовлетворяющей уравнению в частных производных (55).
Пгимкг 1. Канонические преобразования примеров 1, 3, 5 и. 170 не являются свободными. В ник переменные»7, Ц зависимы и свободно задаваться не могут. Пгимкг 2, Остальные канонические преобразования, рассмотренные в примерах и. 170, являются свободными, причем для преобразования (29) (56) с= — 1, для преобразования (31) (57) 352 Глава Х1 для преобразования (34) и с=1, о= ) ~~ д,сбнь»1 »'=1 (33) и для преобразования (37) и с= 2»,', Я = ~ (д,; — 2д»бд»+ уЯь)»).
»=1 (69) г)ет —, ~ О. др (60) Тогда из последних и равенств (4) можно выразить р через д, Р и 1 и можно получить производящую функци»о Я» канонического преобразования (4), зависящую не от (д, Я, 6), как это было в случае свободного преобразования, а от переменных (д, Р, 1) . В самом деле, перепишем (18) в виде и и и и с~ Рйддй — ~~»,Рйб»,»й — ~ ЯйдРй+~ ЯйбРй =бЕ(д; р~ 1) й=1 й=1 й=1 й=1 или с~ рйбдй+ ~~» ЯйдРй = д (Р(д, р., С)+ ~» ЯйРй й=1 й=1 Последнее равенство можно окончательно записать в виде и и с~~» рйддй + ~~ сдйдРй = аЯ»(д, Р, 1), й=1 й=1 (61) Следует иметь в виду, чта если каноническое преобразование свободное, то для нега производящая функция не обязвтельна есть функция Я ат (д, 11, 1).
Неравенстве (46) и (60) могут, нвпример, выполннться одновременна, и тагде длн свободного канонического преобрвзоввнин в качестве производящей функции мощно также взпть функцию а» от (д. Р, 1). 174. О других типах производящих функций. Мы видели, что не все канонические преобразования являются свободными. и позтому не каждое каноническое преобразование можно задать при помощи производящей функции вида Я(д, Ц, 1). Однако можно перейти к иным типам производящих фуш»пий. Пусть, например, преобразование (4) таково, что 353 Лаконические преобразования гДе чеРез гзз обозначена фУнкЦиЯ Р+ 2 ЯьРвм в котоРой величины Щ ь=г заменены на их выражения из порвых в равенств (4), а переменная р заменена затем на ее значение р(дз Р, 1), получающееся из последних я равенств (4).
Из (61) следует, что =срм . =Я1, (1=1, 2,..., и). (62) И в точности так же, как и для свободного канонического преобразо- вания, можно получить выражение для функции Гамильтона преобра- зованной системы (1) дЯг д1 (63) (64) то формулы (62) задают каноническое преобразование с валентностью, равной с. При условии (64) формулы (62) можно записать в виде равенств (4). Мы рассмотрели два типа производящих функций Я(г2, О, 1) и Яг(д, Р„1). Эти функции наиболее часто применяются при интегрировании (точном или приближенном) уравнений динамики.
Ио о и Р тоже не всегда можно принять за независимые переменньге. Однако если заданы 2и независимых функций ф, Р; от 2в независимых переменных 6н р;, то нз 4п величин Яо Рз, дм р; (1 = 1, 2,..., и) всегда можно выбрать 2~ независимых так, чтобы при соответствующей нумерации переменных производящая функция Вг зависела от величин ды...,91з рз+ы...,р„з Я1ы..., Щ, Рзты....,Р„(1 3 О,й ( и), (65) и, быть может, от времени (в наборе 2в переменных (65) отсутствуют пары канонически сопряжонных переменных щ, р; нли Я1зч Р;).
Прн гсм. 1 29 книги: Гантмахер Ф. Р. Лекции по анатитичеекая механике, Мн Наука, 1966. где Н и ВЯг,101 должны быть записаны в новых переменных. Верно и обратное: если заданы число с Р'= 0 и дважды непрерывно дифферепци- руемая функция Яг(з2, Р, 1), удовлетворяющая условию 354 Глава Х1 "~'=ср "~'=-сд дП = Р д~ =д 166) дд, 'Р" 'дрз * л' дф ' ПРь Я = сН+ —, (»' = 1»... » П д = 1+ 1, .., » п; дГ д1 (67) 2=1,...,й; 6=1+1,... »и).
Пгимиг 1. Тозкдестеенное преобразование (28) (у = 1, 2,..., п) »,) =- »7зч Р. = рз задается производящей функцией Я» — — ~~» д, Е»зч з=» (68) при этом с = 1. Пгимьл 2. Для преобразования (30) с = а~3, Я» — — сз»» »1»Рз. (69) Пеимие 3. Для кинонического преобразования (32), определяющего пе- ренос начала координат в фазовом пров»пранстве, п и с — 1 Я1 з ЧД + Е(%И)чз»з» )Рз)' з=1 з=1 (70) Пеимиг 4. Пусть задана произвольная дифференцируемая обритимая замена обобщенных координат д — »».г, определяемая формулами »,)г = Г»(ды..., д„, Ц (1=1» 2»..., и). (71) При этом преобразовании новые координаты выражаются тполько через старые координаты (но не импульсы). Оно является частным случаем канонических преобразований. Действительно, если положить с = 1 и о 5» =ЕР,Ь(ч' уо 1).
3=1 (72) этом капоннческан замена переменных н новая функция Гамильтона определяются по формулам 355 Ланоиические преобразования то, согласно формулам (62), новьзе и старые импульсы связаны соотно- шениями рс=~~ Р . (з=1, 2,..., и). ПД з=1 з Пуг (73) Прицкер 5. Рассмотрим важный частный случай предыдущего примера: переход к вращиющейся системе координат. Пусть (74) (75) Р =Ар определяют унивалентное каноническое преобр зование. Согласно фор- муле (72), этому преобразованию соответствует производтцая функ- ция (76) Яз =Р Ад.
Примечательно, что обобщенные импульсы преобразуются по тем же формулам, что и обобщенные координаты. Навин функция Гамильтона 24(ь4, Р,~) вышсляется по старой Н(д, р, ~) в соответствии с равенством (63): (77) Если матрица А постоянна, то ПЕз(д1 = О. Если же А не будет по- стоянной матрицей, то (78) Так как А ортогональная матрица, то произведение — А 1 (см. сП п, 24) — кососимметрическая матрица. Пусть щз юз Π— озз О дАА — ь су где А — ортогональная матрица (А' = А ), которая не обязательно постоянна. Непосредственным вычислением нетрудно показать, что формулы (74) вместе с заменой переменных 856 улова Х1 если ввести вектор щ = (свг, щг, щз), то с(АА 11~ — с ) х д1 и формули (78) мелеет быть записана в виде ' ' = Р ° [ис х ф = 1о ° [Ц х Р).
Такал образом, окончательно получаем функцию Гамильтона, соот- ветствующую двилсению во вращающейся системе координат: Я = Н(А'Ц, А'Р, 1) + аз ° [О х Р). (79) ПРимеР 6 (Петеход от деклттопых кооединлт к погспспым). Пусть х = теодор, у = те!п~р. (80) Если взять с = 1, а 51 = р тсовсс+ р„т япсо, то из равенств ддг р„= =р соеср+рее1пр, дт дЯ1 р = — = — р тяпср+ретсовчз д~р находил япср . сов р р =р„.чр — т р, рв=р„я р+ 'т рт.
(81) П = — (рг + рг) + П(хсг+ уг). (82) то Я = — (р„+ — гр~ ) + П(т). (83) ПРИМЕР 7 (ПЕРЕХОД ОТ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ К СФЕРИЧЕСКИМ). Если х = тв1пдсое1с, у = тяпдяпр, г = тсовд, (84) Форму сы (80), (81) задают увив лентное каноническое преобразова- ние х, у, р, рз — ь т, ср, р„, р„. Если, например, 'В 4. Канонические преобразования то, пололсив с = 1, а Я1 — — р,тяп дсов1р+ ротвшдяпср+ р,т сов 0, из соотношений д01 001 дЯ1 де~ Рт — д„~ Рв= дд получим вся ср сов д сов ~р р, =япдсовьср, — . р„+ ' „' ' рвс тяп д сов иг сов д в1п ср Ре — — вспдвш1РРе+ . Рт+ т Рв, т вшу (85) р = сов бр — т ре.
яп0 Равенства (84), (85) задают униволентное каноническое преобразова- ние:с, у, 2, р., р„, р„— ь т, ус, О, р„, р„, ре. Например, для е= — '[е.'+р'~ее~а(,тг„'~у) [ещ имеем г 'Н = — р„+ + — ) + П(т). 1 2 Рт Рв 2т ~ с тгч;пгд (87) рс = 81(Р1, Рг, ..., Р„, С) (1 = 1, 2, ..., и), деС вЂ”, ф О. (88) дф дР Формулы (88) задают связь старых и новых импульсов (но не координат). Полоясим с = 1, а (89) Ь=1 Тогда из формул (62) находим соотношения д01 с)д'ь 1,1= д — — ~~цадР (1 =1, 2,", и). Ь=1 (90) Пгимпг 8.
Пусть видана некоторая дифференцируемая обратимая за- мена обобщеннь х импульсов: улова Х1 91 = 1ь;Ю,, Ъ,..., 11ь, Рм Рз,..., Рв, 1) (г = 1, 2, ..., и). (91) Формулы (88) и 191) задают унивалентное каноническое преобразова- ние. 9 5. Метод Якоби интегрирования уравнений движения 175. Уравнение Гамильтона — Якоби. Теория канонических преобразований приводит нас к методу Якоби интегрирования канонической системы уравнений движения ййчв ОН сзР ' ОЯ д1 др сЫ до, Если эту систему подвергнуть свободному унивалентному каноничес- кому преобразованию, определяемому уравнениями = — Р; (1=1, 2,..., п), до Юь 1зг ~ д8 дгя 12) где производпщая функция 8 имеет в качестве аргументов величины ою...,о„, Г1м...,ьд„, 1, то.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
