1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Они находят широкое применение в теории возмущений. Чтобы понять сущность метода Делонэ, целесообразно сначала рассмотреть случай системы с одной степенью свободы. Фазовое пространство такой системы является двумерной плоскостью о, р, и периодические движения могут быть двух различных типов. В движениях первого типа функции д(1), р(1) являются периодическими функциями с одним и тем же периодом. Точка, изобрагкающая движение в фазовой плоскости, описывает замкнутую кривую. В атом случае говорят, что имеет место случай колебаний. Примером могут служить колебания мантника, рассмотренные в и. п. 93 — 96.
На рис. 91 им отвечают замкнутые фазовые кривые, окружасощие особые точки типа центр. В движениях второго типа сама величина д(1) не является периодической функцией. но когда она увеличиваетсн или уменьшаетсл на величину до, конфигурации системы не меняется. Здесь фазовые кривые р = р(9) незамкнуты и имеют период до по ср Периодические движения второго типа называют вращениями. Простейшим примером может служить движение твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Координата д здесь являетсл углом поворота тела, и ее изменение на величину до = 2л не изменяет положения тела.
На рис. 94 случаю вращений отвечают незамкнутые фазовые кривые, заполннющие части плоскости, лежащие выше и ниже сепаратрис. Пусть Н = Н(П,р) — функция Гамильтона системы с одной степенью свободы, причем — ф. О. Тогда, согласно и. 177 — 179, характерис- дУ др тическал фУнкцил Гамильтона 1' = г'(9, сг)с гдо а = 6 постолппал 372 Глава Х1 интеграла Н = 6. Из формул (17) и. !78 имеем Вместо а введем величину 1 по формуле (2) где интеграл берется по полному циклу изменения о (цикла колебания нли вращения, смотря по тому, какому случаю отвечает фазовая кривая, определнемая уравнением Н(о, р) = 6).
Величина 1 называется переменной действие. Из (2) видно, что 1 зто поделенная на 2н плошадь, ограниченнан замкнутой фазовой кривой, в случае колебаний или площадь, заключенная между фазовой кривой и отрезком осн о длины оо, в случае вращений. Подставив (1) в (2), получим (3) т. е. 1 = 1(а). При условии — ф О из (3) находим а = а(1). И И Иа тогда (см.
и. 178) получаем новую функцию Гамильтона 11 = а(1). Производящая функция унивалентного канонического преобразования д,р — > ин1, вводящего переменные действие — угол, будет функцией д, 1: г' = Ъ'(д, а(1)). Угловая переменная и~ определяется равенством д$' д1 Таким образом. алгоритм введения переменных действие — угол в гамильтоновой системе с одной степенью свободы выглядит так. Из уравнения Щв, р) = 6 находим функцию р = р(о, 6), а затем вычисляем переменную 1 ьак функцию 6: Обращение функции 1 = 1(6) дает 6 = 6(1). Производящая функ- ция И(д, 1), задающая замену д,р — > иб 1, определяетсн равенством (б) 2 б. Переменные действие- угол Неявно замена у,р — 1 ю,1 задается формулами дг д$' 1В = дЪ' д1' (7) Новая функция Гамильтона Я = Я(1) = Ь(1).
В переменных действие — угол уравнения движении будут такими: — = — — = О, — = —. = гв(1). д1 дЯ ди~ дЯ сЫ дю ' Ж д1 (9) Отсюда следует, что 1 = 1о — сгтв1, 111 = гв(1о)1-Ь 1но- (1й) Величина га называется частотой рассматриваемого периодического движения. Существенно то, что процедура получения величины аг не потребовала ничего, кроме квадратур и разрешения уравнений относительно некоторых переменных. Отметим, что когда координата у совершает полный цикл изменения (в случае колебаний или вращений), то угловая переменная ю возрастает на 2к. В самом деле, обозначая через Ьи1 приращение ю за цикл изменения у, имеем.
с учетом (4)., ~дю д ~ дз)г Вынеся производную по 1 за знак интеграла и приннв во внимание формулу ~3), получим Аею = —, у —,г111 = —,(2к1) = 2к, д Гд)г д д17 ду ' д1 2 Т= — Агр~, И=О; р„=Ар, Н= — ~. Это поясняет название величины и~ угловой переменной.
За один цикл величина и. изменяется на 2з., и налицо полная аналогии с вращением тела вокруг оси (частота га — аналог угловой скорости тела, ю— аналог угла его поворота вокруг оси). Пример 1 ("ХВВРДОК телО, ВРАЩАюЩеесй В011РУГ непОДВижной оси). Будем считать, что моменты внешнис сил отсутствуют. Тогда, если А — момент инерции тела относительно оси вращения, а у2 — угол его наворота вокруг оси, то Глава ХУ Считая, что ф ) О, из уравнения Н = 6 находим р = ЛА6 и, следо- вательно, )г = / ро йр = 1~Р: ю = — = ~Р~ ро = — = 1' дЪ' д~' д1 ' д~о Поимке 2 (Гярмоничкский осциллктог частоты оз).
Функцию Гамильтона возьмем в виде Н = 1аз (дз + рз) Из уравнения Н = 6 имеем р = ~)( — — уз. Ест в правой части 26 равенства сделать замену д = ч( — езпх, то получ м /26 / = — 1з соя х йх = —, 6 ) з 6 яы / о то есть Я = оз1. з7ля производящей функции замены д,р — > щ,1 имеем выражение Из формул (7) находпм замену, вводящую переменные действие-угол, в виде д = 421ешиц р =>ИЕсоею. С заменой (11) мы уже встречались ранее. в примере 6 п.
170. 12 и= —, 2А' дЯ 1 д1 А' З б. Перелсеияеге действие — угол 182. Переменные действие — угол в задаче о движении маятника. Задача о движении маятника подробно исследована в и. и. 93 — 96. Несколько изменяя принятые там обозначения, напишем дифференциальное уравнение, описыващее движения маятника, в виде с1 + иго згп Ч = О (12) Это уравнение второго порядка может быть представлено в виде систе- мы двух гамильтоновых дифференциальных уравнений первого порлд- ка с функцией Гамильтона 11 = — р — ыо сов й. 1 2 (13) Для введения переменных действие — угол случай колебаний и вращений мантника надо рассмотреть отдельно. В случае колебний константа интеграла энергии Н = Ь удовлетвоРвет неРавенствам †со < Ь < иго~. ПУсть Д вЂ” амплитУда колебаний, Тогда, если Й~ = вш —, то ..д' 2' й = 2и'ойг и'о 2.2 2 (14) 1= — урй9=4 — ~'р 1Ч, Г 1 Г 2я1" 2к / (1ое) причем в последнем интеграле Р = 2ого 1:; — з1п д, гЧ 2' (16) Введя вместо П переменную гд по формуле ф = вгсвш ~ — гйп — ~, /1 с 91 1Ь, /' 117) выражение (15) можно переписать в виде гсг сов~ ф 8соо Иф =— ьг (18) (1 йз) сг а действие 1 вычисляется по формуле з о з ,Е:с,' и'Евр- о 376 Глава Х1 т.
е. 6шо (Е(1 ) (1 11з)1-(ь. )) (19) д1 ~ше~ 1,-(~ ) (20) Отсюда видно, что, ф 0 и, следовательно, на основании теоремы о д1 ч неявной функции, равенство (19) разрешимо относительно 15. причем для производной функции 11 по 1 имеем выражение (2Ц д1 8шо1з 1т (1с~) Новая функция Гамильтона Я зависит только от 1, она опредслнется из (14) и (19). Отбросив несущественную постоянную — ше, получим, что Я = 2шо "з: (22) где Й, = 4(1) — обратная к 1(1ч) функция, определяемая из (19). Из (21), (22) находится частота колебаний дЯ дЯ д~~ з ша д1 гИд д1 2 К(й~) ' (26) 4К(йз) Для периода колебаний т = ~ получаем выражение т = сов- Щ шо падающее с выражением, полученным в п. 96. Для производнщей функции (6) канонического преобразования д, р — ~ ш, 1 после замены переменных (17) получаем выражение 1'(4 1) = 4шо (Е(Ф, 1ч) — (1 — ЮЕ(Ф, 1ч)1 ., (24) где Е и Š— эллиптические интегралы первого и второго рода (см.
п. 95), ф определена равенством (17), а й~ = 15(1) равенством (19). Для угловой переменной ш, согласно второй формуле из (7), имеем выражение д1' д1' доз д1 д15 01 (25) где А и Š— полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно. Равенство (19) определяет 1 как функцию 11. Продифференцировав обе его части по 12, получим, при учете формул (21) и. 95, 378 Глава ХУ где (32) а фазовая кривая р = р(г7, Ь) задается уравнением ьгг! 1 12е 3 Ч 2' (33) Для действия 1 имеем такое выражение: Е = — у рг1г7= — ~ 1 — 1с еггг — г1г7, гве .
„2 ° 2 г' 2я) я1з / з' 2 илиг если воспользоваться четностью подынтегрального выражения и сделать замену гг = 2ж, 2 1 — йз з!и т. ггж,. 4 ~е 3 2 явз е т. е. 4ыоЕ(,Ез) я1гз (34) Принимая во внимание формулы (21) и. 95, из (34) находим д1 4 71Ю д1з кЦ Так как ф О, то равенство (34) разрешимо относительно 1з, причем д1 для производной функции 1з по Г имеем выражение джаз л1з д1 4ь еК(1з) ' (35) 2ьгез Я=— г.г 3 (36) Новая функция Гамильтона определяется из (31) и (34).
Отбросив несущественную постоянную — гв„г получим з 379 З й. Переменные действие-угол где 1з = йз(1) функция, обратная функции 1(И~) из (34). Учитывая (35), для частоты игз вращений получим такое же выражение: Д'И 074 дйз кыо джаз д7 5зК(1,)' (37) За промежуток времени, равный —, величина П получает прираще2я ыз пие 2я. Для производящей функции (6) получаем выражение 'Г,(П~, йз). (38) Угловая переменная ш вводится при помощи равенства д$' дЪ' дйз 07 01е 07: которое, при учете формул (35) и выражения (20) и. 95, преобразуетсл к виду К(йз) и с о Отсюда и из (33) находим (К(яз)гв'~ 2ые (К(гсз)п~) 1Е(Чб ам ае ° ° ° ао — Ы й) о=1 (40) Отсюда и из формул (17) п.
178 получим Р;= —,=, =Р,(йе, аы аз.....аи ы Я) (г=1, 2,..., и). (41) д1г дУ, дое дое Здесь йз — — йз ( Г) из (34). Формулы (39) задают унивалентное каноническое преобразование о, Р— ~ щ, 1, приводящее функцию Гамильтона (13) к виду (36). 183. О переменных действие — угол для системы с и степенями свободы. Ограничимся лишь случаем, когда уравнение (13) п.
177, определяющее характеристическую функцию Гамильтона е', является уравнением с разделяющимися переменными. Тогда 380 Глава Х1 Эти уравнения задают проекции траектории в 2и-мерном фазовом пространстве ды оз,..., а„.ры рз,, р„на плоскости дь р; (1 = 1, 2,..., и). Ьудем предполагать, что движение в каждой из плоскостей обладает свойством периодичности, т. е. в плоскости о;, р; кривая (41) замкнута или периоднчна по ри с некоторым периодом аль Так как в случае (40) происходит полное разделение переменных, то при фиксированных величинах аы жз,...оа ы и движения в плоскостях о;, р; (1 = 1, 2,..., и) независимы и каждое из них можно исследовать, как это было сделано в и. 181 в случае одной степени свободы. Имеем ~р~дч' = 2 ~ д '1% (~ =1~ А~..- и); (42) 1 1 1 )дУ 2 ~дд, где интеграл берется по полному циклу периодического движения (колебания или вращении, смотря по тому, какой случай имеет место).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
