1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 65
Текст из файла (страница 65)
рис. 9 и 126). Учитыван еще, что = — = О, получало~ дЯ Дс д1~ ем, что иц — это некоторый постоянный угол, отсчитываемый в плоскости Ожр. Примем, что щз совпадает с долготой восходящего узла й. "1аким образом (см. рис. 126 и формулу (70)): 1,= ~=Г,с 1=~% З- ) ~, »,=Й, (72) где 1 -- наклонение орбиты.
Введенные канонически сопряженные переменные 1з, 1з, 1з, щз, шз, шз называются каноническими переменными фелояэ или, кратко, элементами Делона. Следуя Делонэ, для них часто используются обозначении Н, С, А, 1к л; ! (не путать обозначения Н, Ь, Ь элементов Делона с обозначенннми функций Гамильтона, Лагранжа н константы интеграла энергии!). Элементы Делона связаны с обычными элементами орбиты й, С а, е, ы, т следук>щими получаемыми нз (68) — (72) соотношениями: ! = и(! — т), (73) Э 6.
Переменные действие-угол В переменных Делона функция Гамильтона задачи двух тел записывается в виде 2' (74) Две системы канонических элементов Пуанкаре. Длн многих приложений (например, связанных с исследованием движения планет) целесообразно иметь канонически сопряженные переменные, среди которых есть такие, которые малы для малых значений эксцентриситетов и наклонений орбит. Пуанкаре ввел две системы таких переменных. Их называют элементами Пуанкаре. Первая система элементов Пуанкаре Л, Г, Я, Л, тб з свнзана с элементами Делона при помощи унивалентного канонического преобразования вида: Г = 7, — С, г = С вЂ” Н, (75) Отсюда и из (73) получаем выражения элементов Л.
Г, Е. Л, 7, г через обычные элементы кеплеровской орбиты: Л = ъгсраао Г = Ла(1 — ъг1 — ез), г =,~Й~Г-,. |Π— -гс, Л = н(1 — т) +ы+ й, у= — ы — й, г = — й. (76) ~ = ъ 2Гсоэу, й = ъг2ГГэ1п у, р = ъ'2Я созе, д = ъ'2Яэ1пж (77) Для орбиты малого эксцентриситета и наклонения величины с, П и р, д имеет порядок е и г соответственно. И для первой, и для второй систем канонических элементов Пуанкаре функция Гамильтона задачи двух тел имеет вид йз 2Лз (78) Для орбиты малого эксцентриситета и наклонония элементы Г и Я будут величинами порядка ез и дз соответственно. Во второй системе элементов Пуанкаре величины Л, Л вЂ” — те жс канонически сопряженные переменные, что и в первой системе, а остальные четыре элемента определяются формулами (~, р — импульсы, ц., у — координаты): 388 Глава Х! 87.
Канонические преобразования в теории возмущений 186. Предварительные замечания. Точное интегрирование дифференциальных уравнений двияшнин реальной механической системы возможно только в очень редких случаях. Эти случаи являютсн скорее исключением, чем правилом. Поэтому разработано много методов, позволнющих проводить приближенное исследование систем, уравнения движения которых не могут быть решены точно, но в то же время некоторая упрощеннан задача, называемая невозмушенной задачей, допускает точное решение.
Совокупность этих методов образует теорию возмущений, которая находит самое широкое применение во всех областях науки и техники, где рассматриваются процессы, описываемые дифференциальными уривненнямн. В теории возмущений предполагается, что различие между реальной (возмущенной) системой и ее упрощенной (невозмущенной) моделью можно рассматривать как малые возмущении. Возмущения появляются, например, за счет того, что к основным силам, приложенным к точкам механической системы, добавляются некоторые другие силы, нвляющнеся в определенном смысле милыми по сравнению с основными силами. Например, если пренебречь влиянием Солнца и считать Землю и Луну материальными точками, то невозмущенной задачей о движении Луны вокруг Земли будет задача двух тел (материальных точек).
Влияние притяжения Солнца и отличие Земли и Луны от точечных масс можно считать малыми и отнести к возмущающим воздействиям, которые можно учесть методами теории возмущений. Бывает и так, что уравнения движении механической системы очень сложны и получить их точное решение нельзя,. но можно подобрать другую систему, которая в определенном смысле почти тикая же, как и исходнан, но ее уравнения движения могут быть проинтегрированы точно. Различие между исходной и таким образом подобранной системой приводит к появлению малых возмущений.
В механике тщательно изуча|отся системы, уравнения движения которых точно интегрируются. Это связано с тем, что интегрируемые задачи часто используются в качестве невозмушеиных в более сложных, но реальных и нужных задачах. Методы теории возмущений позволяют исследовать движение механических систем, как правило, на конечном (хотя иногда и очень большом) интервале времени. В этом параграфе мы рассмотрим некоторые вопросы применения канонических преобразований в теории возмущений систем, движение которых описывается дифференциальными уравнениями Гамильтона.
З 7. Канонические преобразования в теории возмущений 389 ссЧ1 дН ссрз дн сМ др;' сМ дЧ,' функция Гамильтона Н(Ч1, рз, 1) может быть представлена в виде сум- мы (2) Н=Н -ьН„ причем дифференциальные уравнения (1) с функцией Н = Но "Ч = дно 1Р1 = дио (; = 1. 2 ...
.) (3) 111 др, ' си дЧ, могут быть проинтегрированы в замкнутой форме. Пусть решение сис- темы (3) записано в виде Чл = Ч1(Ч1о1 ° ° Ч о: Рзо1 ° ° ° ° Р о 1); Р Рз(Ч1о . ~ Чпо~ Р1о> ~ Рпо ~). (4) гДе Чзо и Рш значениЯ величин сйи Р, в начальный момент 1 = О. Длн интегрирования уравнений (1) сделаем в них замену переменных по формулам (4), принимая величины Чзо, Рзо за новые переменные. Так мы приходим к проблеме вариации произвольных постоянных в задачах механики, описываемых каноническими уравнениями Гамильтона (1). Формулы (4) задают (см.
и. 171) унивалентное каноническое преобразованио. Это преобразование имеет обратное: Чзо= Чзо(Ч1," .. Ч., Р11", рп 1). Рео =Рю(Ч» ° °: Ч Р1 °: Р 1): (5) которое также является унивалентным каноническим преобразовани- ем. Следовательно, скобки Пуассона функций (5) удовлетворяют равен- ствам (см. п. 169) (Чзо Чьо) = О (Рзо 1гно) = О (Чсо, Рно) = бм (6) Кроме того, функции (5), являясь интегралами системы (3), удовлетворяют, согласно п.
Иб, равенствам дЧсо др о + (сйо, Но) — О, + (Рзо Но) — О. (7) 187. Вариация постониных в задачах механики. Предположим, что в уравненилх движения механической системы ййо Глава ХЕ Чае + ~;- д1 ь=з — (Чаоа Но) д . Рю ~~' д1 ь=г — (Рю Но) + (Чао Н) (8) аЧао й + (Чао, Н) = (Чаоа Н— с дрю 4Чь драв дрв ') дЧ„й "дрь й/ Но) = (Чао Нз) дРао +(рю, Н) = д1 (й) Но) = (Р,о, Е1,). гМо й + (Ро 1Х) = (р'о, Е1— Пусть Н, *— вто функция Ны в которой сделана замена переменных (4), Тогда дНз ~-~ (дН„* дадо дН,* дрю ) дйь ~-,~ (,дЧ1о доь др1о дйь/ дН, ~ (дН7* дЧю дН~ дрю'~ дрь ~-, а, дЧ1о дрь др1о дрь/ ' (10) Используя эти равенства и соотношения (о), имеем (дЧао дНз дЧао дН, ~ Е'.Е~ дЧао ч 1адН,* дЧю дН,* дрю + дЧь ~- 1, дфю д7ь дрю др, аа„~ <ав," аа, ав~ аа„а +, дрь дЧ1о дЧь др1о доь / дН," дН,* дН,* (Часа Ч7Ю) + ~ д (Чаоа РЮ) = ,, дЧ1о ,, др1о дрю Аналогично дН," дН, *дН~ (Р;о, На) = ~ — (Рао~ йо) -Ь ~~~ — (Рао Едо) = — (а2) део дРю ' дЧао Соотношения (11), (12) позволяют записать урввнения (8), (9) в виде ЙЬо дН; дро дНг* — — (1=1, 2,..., и).
(13) й др„о ' й дрло НайДем пРоизвоДпые по вРемени новых пеРеменных Ч;о, Рао в силУ уравнений движения (1). Дифференцируя выражения (5) и учитывая равенства (7) и (2), получаем 5 7. Канонические иреолразованил в теории во»мук»ений 391 — + ЕЕо(фи —,, 1) = О. дН до др " дсК' (14) Пусть К = Я(сЕы ..,, д„, аы..., аа с) полный интеграл этого уравнения. Сделаем в уравнениях (1) каноническую замену переменных по формулам (9) п. 175, принимая полный интеграл Н за производящую функцию — =рб ' = — Д (»=1, 2,..., и).
(15) При такой замене переменных роль новых координат играют величи- ны а„..., а„, а роль новых импульсов — величины ))ы..., ЕЕ„. Новая функция Гамильтона 24(аы..., ао, А,...,.,д„, 1) вычисляется по фор- муле (см. п. 173) »г = Но + Нз + —. ОН д1 Принимая во внимание уравнение (14), имеем отсюда Я = Нг*, где теперь Н, *— это функдия Ны выраженная через переменныс с«е, Д, 1 согласно равенствам (15). Таким образом, новые переменные аб Д (г = 1, 2...., п), которые постоннны, если Н, = О, в «возмущенной» системе удовлетворяют каноническим уравнениям лое дН* др дЕЕ» ' — — (» =1, 2,..., и).
(16) сЩ дН,* с1» доп Для получения решения системы (1) нужно из равенств (15) найти функции щ = д;(оы..., аа, Е)ы..., Е)„, 1), р; =р,(аы..., аа, Д,..., Д„, б) и подставить в них величины а;, Д, являющиесн решениями диффе- ренциальных уравнений (16), Таким образом, если Н = Но, то величины о;о, р,о постоянны, а уравнения, описывающие их изменение, в системе с функцией Гамильтона Но + Н» имеют каноническую форму, причем соответствующан функция Гамильтона Н,* получаетсн подстановкой в «возмущающу|о» функцию ЕЕ1 величин до р; определнемых по формулам (4), отвечающим решению задачи Коши для «невозмущенной» задачи с функцией Гамильтона Но. Задачу о вариации произвольных постоянных для системы (1) можно рассмотреть и иначе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
