1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Нормализованная во всех степенях функция Гамильтона зависит только от переменных (д',Р") (й = 1, 2,..., п). Тогда преобразованная система уравнений движения может быть проинтегрирована, причем для этого не надо пренебрегать в ее правых частях никакими членами. Казалось бы, что это должно означать локальную (в окрестности положения равновесия) интегрируемость уравнений движения. Однако это не так.
Дело в том, что пре- 2 7. Даяоиичесвие преобразования а теории аозлущеинй 498 образование Биркгофа, нормализуюшее функцию Гамильтона во всех степенях, будет, как правило, расходягцимся'. В последние десятилетия разработаны новые способы применении канонических преобразований в теории возмущений, например метод Депри — Хори. С алгоритмической точки зрении он выгодно отличается от изложенных классических методов. Например, его применение не требует одной из самых громоздких процедур — обрашенин рядов, а формулы метода задаютсн рекуррентно, и необходимые преобразования могут быть достаточно просто реализованы на вычислительной машине . Нримкр 1 1Колквднии мдткмлтичкского маятника). Функция Гамильтона молсет йьопь 1см. пример в и.
149) записана в виде Н = — р, — гпя1соячь 1, 2 2гп12 Р Для удобства введем йезразлерггьге перелеииьие 9г', р' . У но формулал с ~ рь" ! Ю 9 =р. р,= 1= (тг ггг1,гу) 157) Н = — р, — соэьз. ~2 2 (58) Рассмотрим двизкекие маятника в окрестности его положения равновесия у = О. В этом случае 9з' и р' малые величины.
Разлагая функцию 158) в ряд по степенял со', р' и отбрасывая несущественный для уравнений движения постоянный член, аолучаел Н= -1г1з +ьз ) — —,уг +.. 1 ,г гв 1 2 24 159) Изложение современного состоиния задачи нормазизации систем дифферснциазьиых уравнений и подробную бибзиографию см, в исследовании; Брюно А.
Д, Анвзитическан форма дифференциаяьных ураннении Н Труды Московского математического общества. 1971., Т. 26., С. 119 262; 1972, Т. 26, С. 199 239. См., например: Джаказья Г. К.О. Методы теории возмущений дзя нелинейных систем, Мз Наука, 1979. Замена У, Рт -+ 97'. 17 -- каноническое пРеойРазоеаиие с валеитностью с =- (сл. пример 3 в и.
170). Учитывая еще, что введение 1 гп1 х/ф вместо времени 1 новой независимой переменной В приводит к делению функции Галильглона на Ь78)1, получим, что уравнениям движения в безразмерных переменных (57) огпвечает функция Гамильтона Глава Х1 «« Ч = «р — 1Р, Р=Ч«+ьрр« «, « (60) получим Н = Нэ -~- Н4 + где Нз = ьЧР« Нл = — †', (Ч~ -ь 4Чзр -ь 6Чгр -~- 4ЧРз + Р~). Неслонп«ые вы шелепин показывают, что преобразование Биркгофа Ч, Р— ь Ч*«Р*, задаваемое пРоизводЯщей фУнкцией ЧР* + $з(Ч«Р*), где 1 з 1 з 1 3 1 4 — 768Ч + 96ч Р 96ЧР 768Р приводит функцию Гамильтона к виду Н = (ЧР) ° (ЧР) ° (61) причем переменнь«е Ч, р выражаются через Ч*«р' по формулам Ч=Ч вЂ” (2Ч вЂ” 6ЧР— Р ) Р=Р + — (Ч +6Ч Р вЂ” 2Р ).
192 ' 192 (62) В формулах (61), (62) отброшены члены, степень которых выше степени оставшихся членов. Канонические уравнения с функцией Гамильтона (61) интегрируются. Если Ч„', Р„* — начальные значен я величин Ч', Р*, то ан Ч =Чае Р*=рое ™ (63) где введено обозначение ьь = 1 — И(Чо Ро). (64) где многоточием обозначены члены выше четвертой степени относительно «р«, рэ'. Если в разложении (59) пренебречь всеми неквадратичны,и членами, то уравнения двизкения станут линейными. В этом линейном приближении движение маятника представляет собой гармонические колебания. Чтобы выявить влияние нелинейностей в уравнениях движения, учтем в розлозкении (59) член — (1/24)«р«и для приближенного исследования не ьинейних колебаний используем преобразование Биркгофа.
Сделав замену переменных (каноническую, с валентностью с = 21) 5 7. Лаконические преобразования в теории возмущений 405 Приближенное решение задачи о нелинейных колебаниях маятника получается теперь из формул (57), (60). (62), выражающих исходные величинзя уй р через новые переменные, в которых записано решение (63).
Пусть момент ~ = 0 соответствует максимальному углу отклонения П маятника от вертика и. Тогда из формул (57), (60), (62) следует, что с точностью до квадратов величины,д включительно С той же точностью для периода т нелинейных колебаний маятника получаем оырожение которое совпадает с выражением., полученным в п.
96 (формула (28)) при помощи разложения в ряд точного значения периода колебаний маятника, записанного через полный эллиптический интеграл первого рода. Глдвл ХП Теория импульсивных движений В 1. Основные понятия н аксиомы 191. Ударные силы и импульсы. Рассмотрим механическую систему, состоящую из Л материальных точек Р, ~и = 1,2,...,Ж). До сих пор мы изучали такие движения, в которых скорости точек Р, изменялись непрерывно как по величине, так и по направлению. По на практике иногда приходится встречатьсн с явленинми, когда точки материальной системы., начиная с некоторого момента г = Гв, в течение очень малого промежутка времени т скачком изменяют скорости, а система за тот же промежуток не меняет заметно своего положения. В таких случаях говорят, что система, испытывает удар.
Примером может служить движение брошенного в стену и отскочившего от нее упругого мяча. Явление удара вызывается силами большой величины, действующими па систему в течение столь малого промежутка времени т, что точки системы не успевают переместиться сколь-нибудь заметным образом. Такие силы называют ударными. Движение системы под действием ударных сил называют импульсивным движением. При аналитическом представлении импульсивного движения промежуток времени т, в течение которого оно происходит, считается бесконечно малым.
При этом модуль импульса 1, ударной силы Р„, приложенной к точке Р, (он называется ударным импульсом), мет Х„= / Р„дг (а=1,2,...,Дг), считается конечной величиной. Так как точки системы во все времн удара т имегот конечные скорости, то при т — ~ 0 их перемещениями можно пренебречь. Ускорение же гв точки Р под действием ударной силы бесконечно велико, и поэтому оно не может служить кинематической характеристикой импульсивного движения. С кинематической точки зрении в импульсивных движениях, помимо момента 1в и положения точек Р„, нужно рассматривать лишь векторы скоростей точек 407 З 1. Оеноаные паннтпин и аксиомы в момент, непосредственно предшеству|ощий, и в момент, непосредственно следующий за 1о. Эти скорости называют скоростью до удара и скаростьн~ после удара.
Примем для иих обозначения о„н оч. 192. Аксиомы. Пусть Рн — равнодействующая всех снл, действующих па точку Рн, тн — масса этой точки, предполагаемая постоянной, а зо, абсолютное ускорение точки. Из уравнения ап оз, = йн посредством интегрирования по времени от 1а до 1о+ т получим равенства т„(оь — о,, ) = Х (и = 1,2,....Л'). (2) В правых частях этих равенств содержатся только импульсы ударных сил. так как обычные силы, т.
е. силы, имеющие конечную величину, дают при т — > 0 пренебрежимо малые импульсы. Следовательно, на скачкообразное изменение скоростей точек системы при уларах обычные силы не влияют. Например, при ударе мяча о стену влиянием силы тяжести на импульсивное движение мяча можно пренебречь. Соотношения (2) утверждают. что приращение количества движения точки за время удара равно ударному импульсу. При действии ударных сил па несвободную систему возникают, вообще говоря, ударные реакции связей.
Поэтому изменение скорости каждой точки системы определяется не только импульсами приложенных к ней (активных) ударных сил, но также и ударными импульсами реакций связей. Соотношение (2) явлнется основным в теории импульсивных движений. Оно заменяет основную аксиому динамики (второй закон Ньютона). Роль ускорения в (2) играет приращение скорости Ьон = о,ь — о„, а роль силы — ударный импульс 1„. В теории импульсивных движений принимается еще ряд аксиом, аналогичных обычным аксиомам динамики: ударные импульсы, сообщаемые друг другу двумя материальными точками, равны по величине и направлены вдоль прямой, соединя|ошей эти точки, в противоположные стороны; два ударных импульса, приложенных к точке, складываются по правилу параллелограмма: полный ударный импульс для каждой точки системы складывается из ударных импульсов активных сил и ударных импульсов реакций связей.
193. Главный вектор и главный момент ударных импульсов. Прн исследовании импульсивных движений системы материальных точек Р (и = 1,2,..., Х) часто целесообразно подразделять ударные импульсы на внешние и внутренние. Внешние и внутренние ударные импульсы это соответственно импульсы внешних н внутренних ударных сил системы. При таком подразделении импульсов основное 468 Ршеа ХЕЕ где 1„' — сумма внешних ударных импульсов, а 1, — сумма внут(к) 6) ренних ударных импульсов, действующих на точку Р системы.
Сумма всех ударных импульсов системы (4) называется главным вектором ударных имлульсое. Пусть сь радиус-вектор точки Р„относительно точки О. Сумма моментов ударных импульсов относительно точки О Я 1о= ) грх1~ (6) называется главным моментом ударных мпульсоа относительно зтой точки. Слагаемые, содержашие внутренние импульсы, входят в правые части выражений (4), (5) попарно и взаимно уничтожаются.
Позтому и М Я = Я~г) = ~1~"), Ео = Е~~') = г ~„Е~'~, (6) и=г т. е. главный вектор и главный момент всех ударных импульсов системы равен соответственно главному вектору Я~') и главному моменту Хо внешних ударных импульсов. 194. Задачи теории импульсивного движения. Цель исследования импульсивного движения состоит в определении кинематического состонния системы после удара, если известно ее состояние до удара. При атом иногда целесообразно различать две основные задачи: 1) по заданным ударным импульсам определить изменение скоростей точек системы; 2) по заданному изменению скоростей точек системы определить ударные импульсы. Иногда требуется также определить ударные импульсы реакций связей.
уравнение (2) импульсивного движения системы можно записать в сле- дуюп)ем виде: 1 сч Теоремы ооизмекеяии основных динамических величин при импульсивном движении 9 2. Теоремы об изменении основных динамических величин при импульсивном движении 195. Теорема об изменении количества движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
