1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Показать, что первоначально покоящееся тело в его импульсивном движении относительно центра масс начнет вращаться вокруг радиуса-вектора той точки Пептрального эллнпсонда инерции, в которой плоскость, касательная к поверхности эллипсоида, перпендикулярна главному моменту ударных импульсов относительно центра масс. Найдем изменение кинетической энергии твердого тела под действием заданных ударных импульсов.
Согласно теореме Кенига (см. п. 83, 84), имеем такое выражение для кинетической энергии: Т = — тиоз+ — (Лра+ Вдз+ Сг ). 2 2 415 З У. Импульсивное движение твердого к~ело 7Ч- 7 — оо(ь) С о ( 5(ь) ш +ш 2 2 (5) Величины о~~ и ы+ можно отсюда исключить опнть же при помощи уравнений (2), (3). В результате получим следующее выражение для изменения кинетической энергии тела через главный вектор 5(е) и главный момент Х, заданных ударных импульсов и через величи(е) пы о „ы, которые определяют доудврное кинематическое состояние твердого тела: (6) Упглжинннв 2.
Неподвижное свободное твердое тело приводят к врвгаению относительно центра масс прн помощи пары ударных сил. Величине импульсивного моменте пары равна 1,. Глаппгае центрвльогне моменты инерции теле удовлетворяют неравенстввм А > В > С. Показать, что максимально возможное значение приобретаемой те- Е.г лом кинетической энергии равно —,', а вектор момента пвры должен 2С' быть при этом коллкнеарен наибольшей осн центрального эллипсоидв инерции теле. Пгимвт 1.
Горизонтальным кием ударяют бильярдный шар в его меридианной плоскости (рис. 148). Па какой высоте 1( над центром шара следует сообщить удар, чтобы после удара шар двигался без скольжения р Пусть т масса шара, П вЂ” его радиус, 1 — ве шчина ударного импульса. Если о — скорость центра, а ш — угловая скорость шара после удара, то справедливы уравнения Рис. 148 пью =1, -гпЯ'ы = 15. 2 5 (7) Подставив в зто выражение сначала значения о~~„ы+ векторов скорости центра месс и угловой скорости тела после удара, а затем их значения е „ш до улара н вычти почленно полученные равенства, найдем, на основвнии урввнений (2), (3) Глава ХП (Реакция плоскости конечна и не дает вклада в ударный импульс). Вз (7) и условия о = ыП отсутствия скольжения находим Ь = — П.
2 Пвимве 2. Твердое тело, меющее форму плас- Ц тинки, совершает произвольное движение в своей плоскости. Точку Р пластинки внезапно останавливают (шарнирно закрепляют). Где должна находиться точна Р, чтобы пластин- Ю ка остаиовиласье х Пусть о — скорость центра масс С, Р а ш — угловая скорость пластшти в момесст, Рис.
149 непосредственно предшествующий закреплению точки Р. Для удобства вьсчислений ось Сх иаиривим вдоль вшстори и, координиты исочки Р обознич м через х, у (рис. 149). Так как Сг — главная центральная ось инерции, то для описания импульсивного движения применимьс уравнения (4). В этих уравнениях 1;, = хЯз — уВ., где Яз, Яз — компоненты ударного импульса, возникающего при закреплении точки Р. Учитывая, что о, = о, о „= о,„= о,и = О, г = ы, г'ь = О, из уравнений (4) находим В = — то, 5з — — О, х произвольная величина, а у = — — „, . Следовательно, точка Р должна лежать в полуплоскости у < О ио, прямой, параллельной направлению скорости центра масс и отстоящей от него на расстоянии —. Сы ос о Пусть в точке сг покоящегося тела приложен ударный импульс 1.
Из уравнений (1), (2) тогда получаем о~~ = — „,, Ть~о = Й) х 1. Отсюда следует, что послеударное кинематическое состояние первоначально поконщегося тела не вполне произвольно: скорость центра масс и кинетический момент относительно центра масс должны быть ортогональ- ными. Унеяживини 3. Из сказанного вьнпе сразу с.тедует, что если свободное твердое тело движется так, что Ьн исс у: О, то его нельзя остановить одним импульсом. Показать, что если Тьсс исс = О и ин ф О, то тело можно остановить, приложив к нему единственный импульс. Каковы будут его величина и линия действия? 199. Удар по телу с одной неподвижной точкой.
Неподвижную точку 0 примем за начало координат, а оси х, у, г совместим с главными осями инерции тела длн точки 0; через Я и Х обозначим главный вектор н главный момент ударных импульсов активных сил. З о. Иииульеионое доинеение тоеддого тела талип = Я+ 1'.
Так как положение центра масс при ударе не меняется. то Лип = Ьео х ОС. Поэтому на основании уравнения (8) заключаем. что Х' = гпЬы х ОΠ— Я. (9) Рассмотрим частный случай, когда на тело действует единственный активный ударный импульс 1, приложенный в точке Р. Тогда Я = 1, а Х = ОР х 1. Поставим следующий вопрос: возможно ли, и при каких условиях, чтобы заданный активный импульс Х не вызывал ударной реакции связи. Этот вопрос требует ответа, когда, например, необходимо посредством удара привести тело в движение вокруг неподвижной точки, но нет уверенности в достаточной прочности связи.
Пусть жп, рп, зп известные координаты центра масс. а л, р, х— координаты точки Р приложения неизвестного импульса Х. При Х' = 0 из (9) и (3) получим три уравнения: ( Хи,1,) (л1 ц1и) — и'(т1и — у1 ) — ~ (91, — з1„) = Д, ф (д'- ") — — ("*-.') - и. (10) Эти уравнения линейны и однородны относительно неизвестных проекций импульса 1, поэтому величина 1 этого импульса может быть произвольной. Броме того, 1 определяется еще с точностью до изменения его направления на противоположное. Так как по смыслу задачи 1 ф О, то определитель системы (10) Задача состоит в нахождении приращения Хьы вектора угловой скорости тела и ударного импульса реакции, который может возникнуть в точке О.
Проекции приращения вектора угловой скорости определяются уравнениями (3), в которых теперь Л, В, С вЂ” главные моменты инерции тела относительно точки О. Ударный импульс 1' реакции в точке О определяется первым из уравнений (1), которое в рассматриваемом случае принимает вид Глава Х11 должен равняться нулю: хус уус с С В ггс аз с 1 ух.с С угс В= Л+ С ххс уус 1 В з згь г71с Л Отсюда следует, что геометрическим местом возможного положения точек Р в общем случае является поверхность третьего порядка. Импульс, приложенный в любой точке этой поверхности, не вызывает ударной реакции связи.
Линия действия импульса 1 определяется из уравнений (10),, если в ннх подставить координаты х, у, л выбранной точки указанной поверхности. В некоторых частных случаях поверхность (11) может вырождаться в более простые поверхности. Пусть, например, ось ОС, проходящая через неподвижную точку О и центр масс тела, будет главной осью инерции. Если ее принять за ось Ог, то хс = ус = О, и уравнение (11) получит вид т.
е. точка Р должна лежать на одной нз двух плоскостей, перпендику- лярных главной оси инерции Ог и расположенных по ту же сторону от точки О, что н центр масс: В Л тгс ' тпгс (12) Из уравнений (10) тогда следует, что (при Л ф В) импульс 1 должен быть параллелен оси Ох в первом случае и оси Оу во втором. Для динамически симметричного тела (Л = В) плоскости (12) сливаютсн в одну, а импульс 1 имеет произвольное направление в этой плоскости.
Пгимкг 1. Твердое тело вращается вокруг неподвизкной точки О. В некоторый момент времени, когда угловая скорость тела равна аз в нем внезапно закрепляется вторая точка Ос, так, что после этого тело молсет только вращаться вокруг оси и, проходящей через точки О и Оы Найти угловую скорость тела в этом вращении. Обозначим через с, Н., т косинусы углов, ообразуемых осью и с осями Ох, Оу, Ог. Минепшческий моменьп тела относительно оси и перед 419 з 3. Импульсивное движение твердого тела Ар о+ Вс1 В+ Сг т Ао'+ ВВз+ Суз 200. Удар по телу с неподвижной осью. Пусть твердое тело вращается вокруг Г' оси, проходящей через его неподвижные точки О и Ос (рис. 100).
К телу прикладыва- О ется ударная сила с импульсом 1. Требуется найти изменение угловой скорости вращения, 1 тела, а также ударные импульсы реакций в точках 0 и Ос. Пусть Охдз — система координат с на- 0 у чалом в точке О, ось Ог которой направлена х по оси вращения, а ось Ох перпендикулярна направлению ударного импульса, так что вектор 1 задается компонентами О, 1и, 1,. Центр масс С и точка Р. приложения импульса имеют соответственно координаты хп, усз, гсз н х„, у„, г„, вектор угловой скорости ы задается компонентами О, О, г. Для компонентов ударных импульсов Х' и Х" реакций в точках О и Ос примем обозначения 1', 1„', 1', и 1", 1„", Хи соответственно.
Матрица Л тензора инерции тела длн точки 0 имеет вид (4) и. 77. Расстояссие между точками О и Ос обозначим через Ь. Из теорем об изменении кинетического момента и количества движенин имеем гпЬси х ОС = 1 4- Х -~- 1", ЛЬсв = ОР„х 1 -ь ООс х 1". В скалярной форме зти соотношении запишутся в виде следующих шес- ти уравнений: 1! + 1 зз 1„+ 1„' ь 1,",, 1 Хз + Хв 1 — г„1г — Ы„ — х,1,+И,", х„1з. (13) (14) (1") (16) (17) (18) — гаусссьг зпх<,йсг Я„1ьг закреллениелс точки Ос равен Ар о+ Вес В+ Сг 7, а после закрепле>сия имеет (см.
п. 77, 82) величину (Аоз + ВВз + Суз) ые. Но ударные импульсы реакций в точках О и Ос яе создают момента относительно оси и. Следовательно, кинетический момент тела относительно этой вси ие изменяется во время удара. Поэтому 420 1зааа ХП Из последнего уравнения определяется изменение угловой скорости 7хг.
Если ударный импульс 1 и ось вращения тела не лежат в одной плоскости, то величина Ьг отлична от нуля. Остальные пять уравнений (13) — (17) служат для нахождения шести проекций ударных импульсов реакций в точках О и Оы Эта задача является неопределенной: нельзя найти отдельно величины ~У и ~1', а можно определить только их сумму. Полаган, что Ьг ф О, рассмотрим задачу об определении условий, при выполнении которых ударные импульсы реакций в точках О и Оз не возникают, При 1' = 1а = 0 из (15) следует, что 1, = О, т. е.
направление ударного импульса параллельно оси Оу. А из (13) получаем, что уо = О. Следовательно, центр масс лежит в плоскости, проходящей через ось вращения и перпендикулярную направлению импульса. Если жо = О. т. е. центр масс лежит на оси вращения., то (см. (14)) поставленная задача не имеет решения: при 1 ф 0 всегда будут возникать ударные реакции. Пусть жо ф О. Из (14) и (16) имеем,Уз, — тшоз„= О, нли Ж ~ т,ш, (з„— з,) = О.
(19) (20) Равенства (19) и (20) означают (см. п. 78), что ось вращении является главной осью инерции тела для своей точки с координатами О, О, л„. Таким образом, произвольный по величине ударный импульс не вызывает ударных импульсов реакций в точках О и Оз только тогда, когда ось вращения явлнется главной осью инерции тела. Если зто условие выполнено, то импульс доюкеп быть перпендикулярен плоскости, проходящей через ось вращения и центр масс тела, причем он должен лежать в плоскости, перпендикулярной оси и проходящей через ту ее точку, для которой оиа нвлнется главной осью инерции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
