1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Поэтому, согласно (9), при центральном ударе угловые скорости ых. обоих тел остаются неизменными. Рассмотрим задачу о соударенни двух абсолютно гладких тел, предполагая, что удар является прямым и центральным. В этом случае пентры масс тел лежат на линии удара, а их скорости направлены вдоль этой линии как до, так и после удара. Так как еще и угловые скорости тел при ударе не изменяются, то задача о прямом центральном ударе сводится к нахождению изменений проекций скоростей центров масс тел па лици1о удара.
Простейшим примером задачи о прямом центральном ударе двух тел может служить задача о соударении двух одинаковых шаров, центры масс которых движутся вдоль одной прямой. За положительное направление па лилии удара примем направление н = нз внутренней нормали к поверхности тела Вз. Пусть ах и 11~~ (й = 1, 2) — проекции на линию удара скоростей центров масс тел В1 до и после удара. Для того, чтобы удар произошел, необходимо, чтобы до удара относительная скорость центра масс одного из тел, например, В1, была направлена к центру масс второго тела (11 > о.
). Так как сь = йь = 1,"1 = О, то формула (12) принимает вид Соударение 7иеердих 7пел 7П1(О1 О1 ) = 17 7П2(О2 О2 ) = 1 Отсюда, принимая во внимание формулу (21)7 находим проекции пос- леударных скоростей центров масс тел на линию удара: (770 ют2)О1 + 7112(1 + а.'.)772 О1 + (22) ш1(1+ ж)О1 + (тз — ют1)О2 Оз 7П1 + 7712 Изменение кинетической энергии за время удара вычисляется по формуле (18) при учете равенств (19) и (20)1 Ш17П2 2 т1+ тз (23) Рассмотрим частные случаи.
а) Абсолютно упругий удар (щ = 1). Из (23) следует, что в этом случае нет потери кинетической энергии (ЬТ = О), а формулы (22), (21) дают следующие выражения длн послеударных скоростей центров масс тел и ударного импульса: (ш1 ™2)171 + 2771202 .г (ш2 — ш1)О2 + 21п!О1 О, 172 (24) Ш1+тз т1 + гпз Ш,1 7П2 п11 + те (23) Если, кроме того, массы тел равны, то О = Оз, О2 —— О, т.
е. центр масс каждого нз тел будет иметь послеударную скорость, каку1о имел центр масс другого тела до удара. Таким путем происходит перенос количеств движения прн столкновении молекул идеального газа. б) Абсолютно неупругий удар (гв = О). Из (22) получаем 7П1'О1 + 7П1172 О1 О2 7П1 + 7П2 (26) т. е. скорости центров масс тел после удара становятся одинаковыми. При этом происходит потеря кинетической энергии; по формуле (23) находим гп1 тз 2(7п1 + тз) (27) Применяя теорему об изменении количества движения к каждому из тел, получаем два равенства 434 Глава ХП Согласно (21), ударный импульс определяется выражением тзтз т о1 12 т.
е. он в два раза меньше, чем при абсолютно упругом ударе. ПРимеР 1 (ПРЯМОЙ ПентРАльный УДАР О непОДВижнУю ОтенкУ), Пусть стенка есть тело Вз. Полагая о = О и устремляя тз к бесконечности, находим из (21) — (23), что в этом случаеь дьТ = — — (1 — ш )тзо 1 2 2 2 —, =О, 1=(1+ ) 2 оп 2 Т ( ' )т1+тг При заданных вели шних а. и тг величина ц будет у1ункцией от п11.
Ьсли мы хотим придать телу Вз наибольшую возможную скорость, то надо уменьшать потери ~ сьТ ~, т. е. уве шчивать возможную лассу т1 тела В1. Выгоднее, например, забивая гвоздь, пользоваться тяжелыл молотком, сообщая елу малую скоростьч чел более легким при ббльшей скорости. Совсем другая ситуация возникнет, когда надо будет разрушить тело Вз. Здесь надо увеличивать ве.шчину ~ ЬТ ~, т. е.
увели швать ц. Это означает, что надо уменьшать т1. Наприиер, ковать лучше более легким молотком, сообщая ему (при заданной величине Т) большую скорость. ПРимеР 3. Найдем необходимое и достаточное условие гпого, что при прялол центральном ударе двух поступательно движущихся тел В1 и Вз тлело В1 после удара остановилось. Нз первой формулы (22) следует, что такил условием будет выполнение равенства (т, — а.тг)оь + зпз(1+ьв)о = О.
1П1 Отсюда, в частности, следует: а) если о = О, то ш = —; б) если 1П2 ' до удара скорости тел были равны по модулю и противот1о»ожны по 1П1 напривлению (оз = — о, ), то — = 1+ 'Ьв. ПРимеР 2 (О нккотовых ИРАктических ИРиложенинх еОРмулы (23)). Пусть тело Вз неподвижно (оэ = О) и надо привести его в движение, ударяя по нему телом В1. Кинетическая энергия тела В1 перед ударом приобретается за счет мускульных усилий человека и будет рав- 1 2 на — тзо . Пусть это количество кинетической энергии Т задано. По- ложим 'З б. Дифференциальные вариацивнные принципы механики 435 Упрлжнкпик 4 (Косой хдлр двух шаров).
При соудареняя двух шаров удар является цеятральнымг но он яе обязательно будет прямым, так как скорости центров масс шаров могут нс быть направлены по общей линии центров. В общем случае это будет косой удар двух таргзв. Показать, что при косом соударонии двух однородных абсолютно гладких шаров ях угловые скорости и проекции скоростей центров масс яа общую касательную плоскость не изменяются, а проекции на линию удара изменяются как при прямом центральном ударе. 3 5.
Дифференциальные вариационные принципы механики в теории импульсивных движений 205. Общее уравнение динамики. Рассмотрим систему Х материальных точек Р„(ц = 1, 2,..., Х). Состояние системы в некоторой неподвижной прямоугольной декартовой системе координат задается радиусами-векторами ги и скоростями е ее точек. Система предполагается свободной илн несвободной со связями вида (1), (2) из ~3 главы 1. Импульсивное движение возникает из-за того, что к точкам системы прикладываются ударные импульсы 1, либо накладываются новые связи, либо снимаются некоторые (или все) из старых связей, либо из-за того, что и то, и другое, и третье осуществляется одновременно.
Ограничения на скорости точек системы задаютсн (см. равенства (2), (3) из 33 главы 1) равенствами вида В ьи+Ьч=О(у=1, 2,..., 1). и= 1 Векторы В, и скадары Ь заданные непрерывно дифференцируемые функции гы гз,..., г„и Ь Через 1 в (1) обозначено общее количество связей системы, голономных и неголономных. Если удар вызван заданными ударными импульсами и при ударе структура системы не изменяется, то г равно числу г+ в голоцомных и неголономных связей системы.
Если же при ударе изменяется структура системы (изменяется количество связей), то число 1 отличаетсн от величины г + в. Если связи стационарные, то величины Ь в (1) тождественно равны нулю, а вектор-функции В явно не зависят от й В дальнейшем также будут рассматриваться связи, для которых величина Ьз в (1) тождественно равна нулю, но вектор-функции В зависят явно от Ь Эти связи линейны и однородны по компонентам 436 Слава Х11 векторов скоростей точек системы. Наряду с движениями с, возможными скоростями а' онн допускают движения, для которых скорости всех точек системы имеют противоположные направления — а„*.
По этой причине такие связи назывшот обратилсьики!. Пгимкг 1. Связь, расаиотренная в примере п. 64, является обратимой нестациоиарной связью. Виртуальные перемещения бг„точек системы опроделяются следукипими уравнениями !см. уравнения (12), (13) из 33 главы 1): !2) В бг =0(у=1, 2,..., 1). и=! Ввиду кратковременности процесса удара вектор-функции В в уравненинх (2) можно считать постоянными. Отсюда следует, что векторы виртуальных перемещений бг„могут считаться независящими от времени на промежутке времени удара от ! = йо до ! = 4о + т. Пусть В, — равнодействуннцая реакций связей, приложенных к точке Р . Все связи системы будем предполагать идеальными во все время удара, т.
е считаем, что равенство (10) и. 55 справедливо для любого момента времени из промежутка от !о до !о + т. Обозначим через 1 и ударный импульс реакций связей, приложенных к точке Р„ сс Тогда интегрирование по ! от !о до !а+ т обеих частей равенства (1О) п. 55, при учете постоянства величин бг„, приводит к соотношению (3) 1п Бг =О. я=! Пусть 1, — — ударный импульс активных сил, приложенных к точке Р„. Тогда равенства (3) и.
192 можно записать в виде (4) т с!в = 1„+ Х и (м = 1, 2,..., !у). Переписав равенства (4) в виде 1, — т с5а„= — Х„п, умножив каждое из ннх скалярно на дг и произведя суммирование по м, получим при Эти связи назынают таама катяасмамкческкмн. Пм., например: !!арс Л.А. Лнааитичаская динамика. Мс Наука, !971.
'з' б. Дифференциальные вариациалиие принцицы механики 437 учете равенства (3) следующее соотношение: (5) (Š— та Ьо ) бг =О. »=1 Это соотношение является общим уравнением динамики в теории импульсивных движений. Величины — т,,т5о„= — т,(от — э ) можно назвать ударными импульсали сил инерции. И уравнение (5) может быть прочитано следующим образом: истинное послеударное состояние системы выделяется из всех кинематичесни возможных тем, что для него и только для него сулла работ антиеных ударных импульсов и ударных илпульсоа сил инерции на любых виртуальных перемещениях равна нулю.
Остановимся подробнее на смысле величин бг„, входящих в соотноше- У ние (5). Если при ударе структура системы не меняется., то величины бт; А сохраняют свой обычный смысл: они удовлетворяют уравнепиям (12), (13) ЗЗ главы 1 (или эквивалентым им уравнениям (2) данного пункта). Если же при С улаРе структура системы изменяется, Рис.
157 то ситуация несколько сложнее. Поясним это. Пусть бг совокупность виртуальных перемещений непосредственно перед ударом и пусть в момент времени 1 = Фе на систему наложена новая идеальная связь, сохраняьошаяся и после удара. В системе с изменившейся структурой будет новая совокупность виртуальных перемещений бге. Из-за наложения новой связи совокупность виртуальных перемеп1ений бг будет, очевидно, шире совокупности бге. И для того чтобы в соотношении (5) иметь виртуальные перемещения, пригодные во время всего ударного процесса от 1 = 1а до 1 = 1а + т, надо в (5) положить бг = бге. Иное дело, когда идеальнан связь во время удара снимается.
В этом случае совокупность виртульпых перемешений бг„системы с доударной структурой уже совокупности бг„ь, и в (5) сдадут тгринять бгк = бг» . Пвимвг 2. Дан ромб ОАВС, образованный четырьмя шарнирно соединенными невесомыми стержняли (см. Рис. 157). Шарнир О неподвижно закреплен.
В шарнирих А и С помещены точечные массы вели шны та,. ЕЕо налраалению диагонали ВО к ромбу прикладыааетсл ударный импульс Е. Считая угол ьт заданныл, найдем послеударные скорости шарниров А и С. Глава Х11 Общее уравнение динамики (5) записывается в виде 1 - бгв — гавел . бз'л — ~оЬас . бгс = О. Пусть 1 — длина каждого из стержней. Из рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
