1611690520-cad13a71384007d4c452b5b97d2163c9 (826920), страница 76
Текст из файла (страница 76)
1'лава ЛУ дш=1 — +х,,1= — т1 +тх. 1 г, 2 12 /' ' 12 1 2 Для кинетической энергии стержня Т = с учетом (1) имеем вы- 2 ражение 2з„У( ). У( ) 31г (1 -ь 2х)з (2) Из условия — = 9 находим т = †, и из (1) получаем ьо = — . ДТ 61 йх 6 т(' Пусть а, кинематически возможные послеударные скорости точек первоначально поконщейсн системы. Согласно теореме об изменении кинетической энергии при импульсивном движении, величины е Пгимвг 1. Иллюстрацией к теореме могут служить примеры 2 и 3 из п. 196 (см. также п. 197).
Для свободного стержня имеем 1'( ) = —. 21з Если же один из концов стержня закрепить, то Т' ' = —. Лоэтому (г) 2т Т(з) = —, т. е. (при заданном импульсе 1) наложение связи (закрепле- Т(з) 3' ние конца стержня) уменьшило кинетическую энергию. Содержание теоремы Делонэ-.Бертрана можно выразить еще следующим образом. Рассмотрим кинематическое состояние системы после действия заданных ударных импульсов как одно из кинематических состояний системы с увеличенным числом связей.
Тогда среди бесконечного множества таких состонний системы истинное послеударное кинематическое состонние выделяется тем, что для него кинетическая энергия имеет максимальное значение при тпех же импульсах. Пгнмнг 2. Определим при помощи теоремы Делона — Бертрана после- ударное кинематпическое состояние стержня в примере 2 п. !96. Кинематическое состояние стержня вполне определится, если найти его послеударную угловую скорошпь ш и положение мгновенного центра скоростей. Мысленно наложим на стержень новую связь, шарнирно ззакрепивз его в точке, лежащей слева от центра масс стержня на расстоянии;с от него (рис. 146).
Согласно теореме Делонэ -Бертрана, истинное положение мгновенного центра скоростей после удара найдется из условий мансимума кинетической энергии как функции х при заданной величине импу гьса 1. Теорема об изменении кинетического комента дает следующее соогпношение между ш и х: 453 З 7. Теоремы Делано -Бертрана и Томсона и ударные импульсы Т„свлэапы равенстном (см. формулу (10) п.
197): ,З ~~, лн (3) о=1 о=1 Поэтому теореме 1(елопэ — Бертрапа можно дать такую формулировку: кинетическая энергия, сообщаемая системе с идеальными обратимыми связями заданными импульсами Тн, есть максимум при условии (3). Примни 3 (См. тлкжп и. 198). В покоящемуся свободному твердому телу приложены ударные импульсы с главным вектором Я1'~ и главнььм моментом ь1 ~ относительно центра масс тела. Определим кинематическое состояние тела после удара при помощи теоремьь Делонэ— Бертрана. Пусть тп — масса тела, А, В, С' — его главные центральные моменты инерции, иа и аз скорость центра масс тела и его угловая скорость после удара. В системе координат Самуе, образованной 69 главными центральными осями инерции, имеем: Я~а = (В, Ви, Я,), ХЫ1 = (Бе, Ти, В,), иа' = (иа, иа„, иа,), со' = (р, у, т).
В соответствии с теоремой Делона — Бертрана, в послеударном состоянии тела величина Т = 2зп(иа. + иа, + иа.) + фАр'+ ВЧ'+ Сз') (4) является максимальной при условии (3), которое в рассматриваемом случае, согласно формуле (5) п. 198, может быть записано в виде Влиан+ Вииаи+ В,иа, + Й р+ Йид+ С,т = 2Т'. (5) Для решения задачи об условном экстремуме используем метод неопре- деленных множителей Лагранжа. Составим функцию Г = Т вЂ” Л(Я,иае -~ Явиаи ~-Я,иа„+Е,рч-Бич+С,т — 2Т) = = (1 + 2Л)Т вЂ” Л(В оа, + Вииаи + В,иа, + В р + Вид + Т.,т).
Приравняв нулю частные производные функции Г по иа, иаи, оа„ р, д, т, получаем следующие уравнения: (1+ 2Л)тиа, = ЛВ,. (1+ 2Л)тиа„= ЛВи, (1+ 2Л)птоа„= ЛЯ„ (1+ 2Л)Ар = ЛЬ, (1+2Л)ВП = ЛВи, (1+ 2Л)Ст = ЛЬ,. (6) Глава Х11 Из (5) и (6) находим Л = — 1, а я, чв я, есл = т оол = т еал = т ~ 1в В' 1 А' А, т=— С' ~ ~.1, ов = ~~~ 1„° е,'. (7) Напишем уравнение (15) и. 206 длн системы импульсов 1, и двух систем кинематически возможных скоростей е' и е,": М М (1, — т,„е,') е,' = О, ~~> (1, — т,е,') ев = О. Отсюда па основании условия (7) получаем равенство М пь,(ев — е') е' = О, которое тождественными преобразованиями приводится к виду — т,о,", — — ~~~ т е' =,— ~~~ т (е" — е„'), а=а т.
е. Ж Тв — Т' = — ~~~ гп„(ев — е„')' ) О. чгпо нахвдшпся в соответствии с фврлулали (2) и (3) п. )У8. 213. Теорема Томсона. Еак мы видели в предыдущем пункте, теорема Делонэ Бертрана позволяет свести задачу об импульсивном движении системы с идеальными обратимыми связями к задаче о нахождении максимума некоторой функции. Теорема Томсона, изучаемая ниже, сводит задачу об импульсивном движении к рассмотрению некоторого минимума. Пусть точки Р, первоначально покоящейся системы под действием ударных импульсов 1, приобретают скорости е'.
Коли ь системе приложить другие ударные импульсы, то ее состояние после удара будет, как правило, иным, нежели в первом случае: если ев — скорости точек системы во втором случае, то, вообще говоря, равенство е,', = е," ,не будет выполняться для всех точек Р„. Пусть при этом поные импульсы таковы, что новые скорости е" удовлетворнют равенству 455 З 7. Теоремы Делопэ — Бертрана и убмсона Это означает, что длн рассматриваемой системы метериельных точек справедливо следующее утверждение.
Теорема (Томсона). Кинетическая энергия, которую приобретает система в действительности от приложенных импульсов, будет наименьшей из всех тех кинетических энергий, которые сообпцили бы системе всевозможные и,кпульсы, удовлетворяющие условию (7). Доказатезшство. Предположим, что находящаяся в В о покое система материальных точек Р„ (и = 1, 2, ..., зч') приводится Рис. 160 в движение неизвестными ударными импульсами, приложенными к некоторым заданным точкам системы Ры 1'з,..., Р„(п < Х), причем эти точки приобретают данные скорости о,' (и = 1, 2..., п). К остальным точкам системы пе приложено никаких активных ударных импульсов, их послеударные скорости обусловлены только наличием свнзей. В этом случае условию (7) можно удовлетворить, если новые импульсы подобрать так, чтобы выполнялись условия оо =- о,' для и =- 1, 2,..., и. Теореме Томсона можно, следовательно, дать такую формулировку: если некотпорые точки системы внезапно приведены в двилсение с заданными скоростями, то кинетпическая энергия, приобретенная системой, меньше, чем кинетическая энергия во всяком другом кинематически возможном состоянии, при котором указанные точки системы имеют заданные скорости.
Прнмьв 1. Два одинаковых тонких однородных стержня АО и ОВ массы т, и длины 1 каждый ширнирно соединены в точке О и находятся в покое перпендикулнрно один другому. Концу В стержня ОВ внезапно сообщается скорость о, параллельная направлению ОА (рис. 160). Определить кинематическое состояние стержней после удара. При заданной скорости точки В послеударное кинематическое состояние стержней АО и ОВ вполне определяется их угловыми скоростями юз иьоз. Пусть оь и сз — скорости центров масс Сз и Сз стержней после удара. Тогда Т = тМоз Ч- оз) + 24зл1 М + юз). 1 з 3 1, 3 2 2 2 Но из кинематических соотношений оо = оз '-ьоз х СзО = о ~-ьоз х ВО 456 Глава ХН и ог = о + итг х ВСг следуют равенства т!ол — 'т! и!21~ етэ — и!1: ога — т! ! '2 ~ ега 2' 2 поэтому Т = 2 т (о + ~з1) ~т 4 + (о + ~г 2) ~ + 24 т1 1ют + ~г)' г 21 Из уравнений 0 дат! ОТ 0 ди!т Польти 2.
К заданной точке свободного твердого тлела пр ложен импульс, сообщающий этой точке данную скороппь. Определить после- ударное состояние тела. Как и в последнем примере и. 212, за начало координат примем центлр масс С тела. а за оси С;с, Су, Сг — главные центральные оси инерции. Кинетическая энергия Т тела после удара вычис.яется по формуле (4) п.
212. Пусть и, 6, с — координаты точки приложения импульса, а о„оа, о, -. заданные проекции вектора ее скорости на координатные оси. Тогда еа — — оса + ха — рс, о„= т!с, + р6 — уа. (8) о =ос +ус — т6., Нахождение величин оста, отта, ев„р, д, с, доставляющих минимум функции Т при условиях (8), приводит к уравнениям тптттз, = Л„, тптттзч = Ла, !лесть = Л„ (9) Ар = 6Л, — сЛз, Вд = сЛ вЂ” аЛ„Со = аЛо — 6Л, (10) где Л . Л„! Л, неопределенные множители Лагранжа, которые опредезяютлся вместе с ве шчинами етла, отта, ест„, р, д, х из системы девяти уравнений (8) — (!О).
Отметим, что из формул (2), (3) п. 198 и уравнений (9), (10) следует, что Л, Ла, Л, проекции неизвестлного вектора ударного импульса на оси Сх., Су, Сг. находим итт — — О. азз —— — —. Таким образом, непосредственно после уда9о 81 ' ра ппержень АО находится в состоянии мгновенного поступательного движения, а стержень АО вращается по часовой стлрелке с угловой скоростью — ' 9тт 81 З 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
